1、- 1 - 高中数学选修 1-1 知识点 第一章 常用 逻辑用语 1、 命题： 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的 陈述句 . 真命题： 判断为真的语句 .假命题： 判断为假的语句 . 2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的 条件 ， q 称为命题的 结论 . 3、 原命题：“若 p ，则 q ” 逆命题： “若 q ，则 p ” 否命题：“若 p ，则 q ” 逆否命题：“若 q ，则 p ” 4、 四种命题的真假性之间的关系： （ 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （ 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 5、若 pq ，则 p
2、是 q 的 充分条件 ， q 是 p 的 必要条件 若 pq ，则 p 是 q 的 充要条件 （充分必要条件） 利用集合间的包含关系： 例如：若 BA ，则 A是 B的充分条件或 B是 A的必要条件；若 A=B，则 A是 B的充要条件； 6、 逻辑联结词： 且 (and) ：命题形式 pq ；或（ or）：命题形式 pq ； 非（ not）：命题形式 p . p q pq pq p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7、 全称量词 “所有的”、“任意一个”等， 用“ ”表示 ； - 2 - 全称命题 p： )(, xpMx ； 全称命题 p 的否定
3、 p： )(, xpMx 。 存在量词 “存在一个”、“至少有一个”等， 用“ ”表示 ； 特称命题 p： )(, xpMx ； 特称命题 p 的否定 p： )(, xpMx ； 第二章 圆锥曲线 一、椭圆 ( ) 1、平面内与两个定点 1F ， 2F 的 距离之和等于常数 （大于 12FF ）的点的轨迹称为 椭圆 即： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF 。 这两个定点称为 椭圆的 焦点 ， 两焦点的距离称为椭圆的 焦距 2、 椭圆的几何性质 ： 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 22 10xy abab 22 10yx abab 范围 a x a 且
4、 b y b b x b 且 a y a 顶点 1 ,0a 、 2 ,0a 1 0, b、 2 0,b 1 0, a、 2 0,a 1 ,0b 、 2 ,0b 轴长 长轴的长 2a 短轴的长 2b 焦点 1 ,0Fc 、 2 ,0Fc 1 0,Fc 、 2 0,Fc - 3 - 焦距 2 2 212 2F F c c a b 对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 离心率 221 0 1cbeeaa 3、 e越大，椭圆越扁； e越小，椭圆越圆。 2 = 2 +2二、双曲线 ( ) 1、 平面内与两个定点 1F ， 2F 的 距离之差的绝对值等于常数 （小于 12FF ）的点的轨迹称为 双曲线
5、 即： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF 。 这两个定点称为 双曲线的 焦点 ， 两焦点的距离称为双曲线的 焦距 4、 双曲线的几何性质 ： 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 22 1 0 , 0xy abab 2222 1 0 , 0yx abab 范围 xa 或 xa ， yR ya 或 ya ， xR 顶点 1 ,0a 、 2 ,0a 1 0, a、 2 0,a 轴长 实轴的长 2a 虚轴的长 2b 焦点 1 ,0Fc 、 2 ,0Fc 1 0,Fc 、 2 0,Fc 焦距 2 2 212 2F F c c a b 对称性 关于 x 轴、 y 轴
6、对称，关于原点中心对称 - 4 - 离心率 2211cbeeaa 渐近线方程 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为 等轴双曲线 (a=b). 6、 等轴双曲线的离心率 三、抛物线 1、平面内 与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等 的点的轨迹称为 抛物线 定点 F 称为 抛物线的 焦点 ，定直线 l 称为抛物线的 准线 7、抛物线的几何性质： 标准方程 2 2y px 0p 2 2y px 0p 2 2x py 0p 2 2x py 0p 图形 顶点 0,0 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 准线方程 2px2px 2py 2py 离心率 1e 范围 0x 0x 0y 0y ,02pF ,02pF
7、 0, 2pF 0, 2pF- 5 - 8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 ，称为抛物线的“ 通径” ，即 2p 9、 焦半径公式 ： 若点 00,xy 在抛物线 2 20y px p上，焦点为 F ，则0 2pFx ； 若点 00,xy 在抛物线 2 20x py p上，焦点为 F ，则0 2pFy ； 第三章 导数及其应用 1、 函数 fx从 1x 到 2x 的 平均变化率： 2、 导数定义： fx在点 0x 处的导数记作x xfxxfxfy xxx )()(lim)( 00000 ； 3、函数 y f x 在点 0x 处的 导数的几何意义是曲线 y f x 在点
8、 00,x f x处的切线的斜率 4、 常见函数的导数公式： C 0 ； 1)( nn nxx ； xx cos)(sin ； xx sin)(cos ； aaa xx ln)( ； xx ee )( ； axxa ln1)(log ； xx 1)(ln 5、 导数运算法则： 1 f x g x f x g x ； - 6 - 2 f x g x f x g x f x g x ； 3 2 0f x f x g x f x g x gxgx gx 6、在某个区间 ,ab 内， 若 0fx ，则函数 y f x 在这个区间内单调递增； 若 0fx ，则函数 y f x 在这个区间内单调递减 7、
9、 求函数 的极值的方法是： 解方程 当 0 0fx 时： 1 如果在 0x 附近的 左侧 0fx ，右侧 0fx ，那么 0fx是 极大值 （左增右减 ） ； 2 如果在 0x 附近的 左侧 0fx ，右侧 0fx ，那么 0fx是 极小值 （左减右增） 8、 注意极大值、极小值、极大值点和极小值点的区别 ； （极大值是一个函数值，极大值点是一个点，包括横坐标和纵坐标） 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。 导数 为 0的点 不一定是函数的极值点（例如： ）， 也就是说：函数在某一点的导数为 0是函数在这一点取极值的必要条件而不是充分条件 。 同一个函数的极大值不一定比极小值大。 （但是函数的最大值一定大于最小值） 9、 求函数 y f x 在 ,ab 上的最大值与最小值的步骤是： 1 求函数 y f x 在 ,ab 内的极值； 2 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 fa， fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 9、导数在实际问题中的应用： 最优化问题。 y f x 0fx
