2019版人教版高中数学选修4-5知识点清单(pdf版)
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1、高中数学选修 4-5 知识点 不等式 选讲 1、不等式的基本性质 (对称性) a b b a (传递性) ,a b b c a c (可加性) a b a c b c (同向可加性) dbcadcba , (异向可减性) dbcadcba , (可积性) bcaccba 0, bcaccba 0, (同向正数可乘性) 0 , 0a b c d ac bd (异向正数可除性) 0 , 0 aba b c d cd (平方法则) 0 ( , 1 )nna b a b n N n 且 (开方法则) 0 ( , 1 )nna b a b n N n 且 (倒数法则) babababa 110;110
2、2、几个重要不等式 22 2a b ab a b R ,,(当且仅当 ab 时取 “ 号) . 变形公 式:22.2abab (基本不等式) 2ab ab a b R, ,(当且仅当 ab 时取到等号) . 变形公式: 2a b ab 2.2abab 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大 ) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” . (三个正数的算 术 几何平均不等式) 33abc abc ()a b c R、 、 (当且仅当abc时取到等号 ) . 2 2 2a b c a b b c c a a b R , (当且仅当 abc时取到等号 ) . 3 3 3 3 ( 0 , 0
3、 , 0 )a b c a b c a b c (当且仅当 abc时取到等号 ) . 0 , 2baab ab 若 则 (当仅当 a=b 时取等号) 0 , 2baab ab 若 则 (当仅当 a=b 时取等号) banb nama mbab 1 ,(其中 0 0 0 )a b m n , , 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小 . 220;a x a x a x a x a 当 时 , 或 22 .x a x a a x a 绝对值三角不等式 .a b a b a b 3、几个著名不等式 平均不等式:22112 22a b a babab , ,ab R( ,当且仅当 ab 时
4、取 “号) . (即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均) . 变形公式: 2 22 ;22a b a bab 222 ().2abab 幂平均不等式: 2 2 2 21 2 1 21. . . ( . . . ) .nna a a a a an 二维形式的三角不等式: 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y 1 1 2 2( , , , ).x y x y R 二维形式的柯西不等式: 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( , , , ) .a b c d a c b d a b c d R 当且仅当 ad bc 时,等号成立
5、 . 三维形式的柯西不等式: 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) .a a a b b b a b a b a b 一般形式的柯西不等式: 2 2 2 2 2 21 2 1 2( . . . ) ( . . . )nna a a b b b 21 1 2 2( . ) .nna b a b a b 向量形式的柯西不等式: 设 ,是两个向量,则 , 当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,使 k 时,等号成立 . 排序不等式(排序原理): 设 1 2 1 2. , .nna a a b b b 为两组实数 . 12, ,., nc c c
6、 是 12, ,., nb b b 的任一排列,则1 2 1 1 1 1 2 2. . . . . .n n n n na b a b a b a c a c a c 1 1 2 2 . .nna b a b (反序和 乱序和 顺序和),当且仅当 12. na a a 或 12. nb b b 时,反序和等于顺序和 . 琴生不等式 :(特例 :凸函数、凹函数 ) 若定义在某区间上的函数 ()fx,对于定义域中任意两点 1 2 1 2, ( ),x x x x 有 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2x x f x f x x x f x
7、f xff 或则称 f(x)为凸(或凹)函数 . 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等 . 常见不等式的放缩方法: 舍去或加上一些项,如 221 3 1( ) ( ) ;2 4 2aa 将分子或分母放大(缩小), 如 211,( 1)k k k 211,( 1)k k k 2 2 1 2 ,21k k k k k k *12 ( , 1 )1 k N kk k k 等 . 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 2 0 ( 0 )ax bx c 或 2( 0 , 4 0 )
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