1、讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 第2章 圆锥曲线与方程 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 1 双曲线的标准方程: )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 形式一： （焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0） 1 F 2 F 形式二： （焦点在y轴上，（0，-c）、 （0，c） 其中 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 1 F 2 F 222 bac 双曲线的图象 特点与几何
2、性 质? 现在就用方程来探究一下! 类似于椭圆几何性质的研究. 复习回顾 Y X F1 F2 A1 A2 B1 B2 1 2 2 2 2 b y a x 焦点在x轴上的双曲线图象 新知探究 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质 1、范围 2 22 2 1, , x xa a xa xa 即即 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的中心. x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 22 22 1(0,0) xy ab ab 另外另外, , 22 22 0 xy ab 可知并夹可知并夹在在两两 相交直线相
3、交直线之之间间.(.(如如图图) ) 新知探究 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y o -b 1 B 2 B b 1 A 2 A-a a 如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长 为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲 线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴 长. 2 A 1 A 2 B 1 B （2） (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 22 (0)xym m 顶点是顶点是 12 (,0)( ,0)AaA a 、 新知探究 4、渐近线 1 A 2 A 1 B 2 B x y o b yx a b yx a a b 利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
4、(2) 渐近线对双曲线的开口的影响 (3) 双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢? 双曲线双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的渐近线为的渐近线为 b yx a 注注: :等轴等轴双曲线双曲线 22 (0)xym m 的渐近线为的渐近线为yx 如何记忆双曲线的渐近线方程？ 新知探究 5、离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 e的的范围范围: : ca0 e 1 e的含义的含义: : 22 22 ( )11 bcac e aaa 当当(1,)e时时, ,(0,) b a , ,且且e增大增大, , b a 也增大也增大. . e增大时增大时, ,渐近线与实轴的
5、夹角增大渐近线与实轴的夹角增大. . 另外另外 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 2 ,反过来也成立反过来也成立. . 222 , c eabc a 新知探究 定义:双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率. 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度. 在在 四个参数中四个参数中, ,知二求二知二求二. . X Y F 1 F 2 O B 1 B 2 A 2 A 1 1 2 2 2 2 b x a y 焦点在y轴上的双曲线图像 新知探究 焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程： Y X 1 2 2 2 2 b x a y 0 b y a x 双曲线性质： 1、 范围： ya或y-
6、a 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a） 4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 A1 A2 B1 B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=c/a F2 F2 o 如何记忆双曲线的渐进线方程？ 新知探究 小 结 ax 或 ax ay ay 或 )0 ,( a ), 0(a x a b y x b a y a c e ) ( 222 bac 其中 关于坐标 轴和 原点都对 称 性 质 双 曲 线 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 范围 对称性 顶点 渐近线 离心
7、率 图象 新知探究 例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程. 可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3 焦点坐标为（0，-5）、（0，5） 4 5 a c e离心率离心率 xy 3 4 渐进线方程为渐进线方程为 解：把方程化为标准方程 22 1 169 yx 课堂练习 变式训练 1.如果直线ykx1与双曲线x2y24没有公共点，求k的取值范围 解：由解：由 y kx1 x2y24得 得(1k2)x22kx50， 易知此方程无解易知此方程无解 由由 1 k20 4k220（1k2） 5 2 或或 k 5 2 或或 k 5 2 . 课堂练习 1若直线y
8、kx1与双曲线x2y21有且只有一个交点，则k的值为_ 解析：解析：由由 ykx1， x2y21， 得得(1k2)x22kx20. 当当 1k20 时，即时，即 k 1 时，时， 方程变为方程变为 2x20，则则 x 1. 此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点 课堂练习 当当 1k20 时，时，4k28(1k2)0， 解得解得 k 2. 此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点 综上所述综上所述,k 1， 2. 答案：答案： 1, 2 2过点P(8,1)的直线与双曲线x24y24相交于A,B两点，且P是
9、线段AB的中点，求直线AB的方程 解：解：设设 A,B 的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)， 则则 x2 1 4y2 1 4， x2 2 4y2 2 4. 得得 (x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0. 课堂练习 P 是线段是线段 AB 的中点，的中点， x1x216，y1y22. y1y2 x1x2 x1x2 4 y1y2 2. 直线直线 AB 的斜率为的斜率为 2. 直线直线 AB 的方程为的方程为 y12(x8)， 即即 2xy150. 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 1 (0) xy ab ab 2222 2222 A
10、1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 1 00 yx (a,b) ab 2222 2222 yaya xR，或或 关于x轴、y轴、原点对称 (1) c ee a 渐进线 a yx b . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) xaxa yR，或或 (1) c ee a b yx a 小 结 椭 圆 双曲线 方程 a b c关系 图象 1 2 = + b y a x 2 2 2 （ a b 0） 1 2 2 2 2 = - b y
11、 a x ( a 0 b0) 2 2 2 = + b a (a 0 b0) c 2 2 2 = - b a (a b0) c y X F1 0 F2 M X Y 0 F1 F2 p 小 结 椭圆与双曲线的性质比较 渐近线 离心率 顶点 对称性 范围 准线 |x| a,|y|b |x| a，y R 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 （-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e = a c ( 0e 1 ) a c e= (e 1) 无 y = a b x c a x 2 c a x 2 小 结 讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1 感谢你的聆听感谢你的聆听 第2章 圆锥曲线与方程 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 1
