1、讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1 2.2.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质第一课时第一课时 第2章 圆锥曲线与方程 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 1 1.椭圆的定义: 到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。 2.椭圆的标准方程是： 3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2 |)|2(2| 2121 FFaaPFPF 当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0(
2、 1 2 2 2 2 ba b x a y 课前导入 二、椭圆 简单的几何性质 -axa, -byb 知 , 1 2 2 a x 得：得：1 2 2 b y o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b 1、范围： 椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中 新知探究 新知探究 椭圆的对称性 Y X O P（x，y） P1（-x，y） P2（-x，-y） 新知探究 2、对称性： o y B 2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （
3、3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成 中心对称。 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心， 叫椭圆的中心。 新知探究 3、椭圆的顶点（截距） )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做 椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b (0,b) (a，0) (0,-b) (-a，0) 新知探究 1
4、2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 根据前面所学有关知识画出下列图形 1 1625 22 yx 1 425 22 yx （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 新知探究 4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量) a c e 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。 1离心率的取值范围： 2离心率对椭圆形状的影响： 0eb c e a a2=b2+c2 新知探究 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标
5、 半轴长 离心率 a、b、c的关系 22 22 1(0) xy ab ba 22 22 1(0) xy ab ab |x| a,|y| b 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. ab c e a a2=b2+c2 |x| b,|y| a 同前 (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前 同前 新知探究 它的长轴长是： 。短轴长是： 。 焦距是： 。 离心率等于： 。 焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。 例
6、1已知椭圆方程为9x2+25y2=225, 4 5 10 6 8 ( 5,0),(0, 3)(0, 4) 60 解题的关键： 1 925 22 yx 2、确定焦点的位置和长轴的位置 题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质 1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b 新知探究 已知椭圆方程为6x2+y2=6 它的长轴长是： 。短轴长是： 。 焦距是： .离心率等于： 。 焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。 2 62 )5, 0( 52 6 30 (0,6) ( 1,0) 4 6 1 61 22 yx 其标准方程是其标准方程是 5 1 6 22 bacba则 新知探究 练习1.
7、练习 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。 （1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1 22 (1)1 819 xy 22 (3)1 25 25 16 xy 22 (2)1 925 xy 22 (4)1 11 45 xy 新知探究 练习：已知椭圆 的离心率 求m的值及椭圆的长轴和短 轴的长、焦点坐标、顶点坐标。 22 (3)(0)xmym m 3 , 2 e 22 1 3 xy m m m 椭圆： 222 (2) , 33 mm m am bc mm 2 23 34 m e m 1m 22a长轴长 2
8、1b短轴长 3 ,0) 2 焦点坐标( 1 1,0),(0,) 2 顶点坐标( 新知探究 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成:的两部分,且经过点 3 2,4P 22 1 94 xy 所求椭圆方程为： 解： 方法一： 设方程为mx2ny21（m0，n0，mn）， 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定位； 定量 题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程 将点的坐标方程，求出m1/9,n1/4。 新知探究 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦
9、点将长轴分成:的两部分,且经过点 3 2,4P 22 1 94 xy 解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： 定位； 定量 题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点， 故a3，b2，所以椭圆的标准方程为 新知探究 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成:的两部分,且经过点 3 2,4P 3 220, 5 c ae a ：解(2) 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：
10、定位； 定量 2222 11 1006410064 xyyx 椭圆方程为：或 题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程 10,6ac8.b 新知探究 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成:的两部分,且经过点 3 2,4P 一焦点将长轴分成：解:(3)的两部分 2222 11 145290 3632 49 xyyx 椭圆方程为：或 题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程 ():()2:1acac3ac 22 8bc 2222 2222 11 9889 xyxy cccc 椭圆方程可设为：或 2222 2222 ( 3
11、 2)4( 3 2)4 11 9889cccc 或 3 2,4P 椭圆过， 22 145 4 36 cc或 新知探究 练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0）， 求椭圆的方程。 222 2 11 9981 xxy y或 分类讨论的数学思想 23 2ab 3ab 3,1ab39ba或， 课堂练习 1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点. 一焦点坐标为（3，0）一顶点坐标为（0，5） 两顶点坐标为（0，6），且经过点（5，4） 焦距是12，离
12、心率是0.6，焦点在x轴上。 22 169 xy +=1 22 94 yx +=1 22 3425 xy +=1 22 10064 xy +=1 22 4536 xy +=1 课堂练习 2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆 的标准方程。 6c 2ab 3 6 2 a 4 3,2 3ab 22 1 4812 xy 椭圆方程为： 课堂练习 本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何 意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系， 这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了 基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需 要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭 圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。 小结 讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1 感谢你的聆听感谢你的聆听 第2章 圆锥曲线与方程 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 1
