1、第 3 课时 空间向量与空间距离(选学)1.了解点到直线、平面距离的概念 2.会用空间向量求点到直线、平面的距离学生用书 P69空间距离的向量求法分类 向量求法两点间的距离 设 A(x1，y 1，z 1)，B (x2，y 2，z 2)为空间中任意两点，则 d| |AB AB AB （x2 x1）2 （y2 y1）2 （z2 z1）2点到平面的距离设平面 的法向量为 n，B ，A ，则 B 点到平面 的距离d|BA n|n|点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)平面 外一点 A 到平面 的距离，就是点 A 与平面内一
2、点 B 所成向量 的长度( )AB (2)直线 l平面 ，则直线 l 到平面 的距离就是直线 l 上的点到平面 的距离( )(3)若平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距离( )答案：(1) (2) (3) 空间内有三点 A(2，1，3)，B(0 ，2，5)，C(3，7，0)，则点 B 到 AC 的中点 P 的距离为( )A. B5102C. D.33102 5答案：C已知直线 l 过点 A(1，1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n(3，0，4) ，则P(3，5，0) 到 l 的距离为( )A5 B14C. D.145 45答案
3、：C已知直线 l 与平面 相交于点 O，Al，B 为线段 OA 的中点，若点 A 到平面 的距离为 10，则点 B 到平面 的距离为_答案：5探究点 1 点到直线的距离学生用书 P70如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC 2，AA3，求点 B 到直线 AC 的距离【解】 因为 AB1，BC2，AA3，所以 A(0，0，3)，C(1，2，0)，B (1，0，0)，所以直线 AC 的方向向量 (1 ，2，3)AC 又 (0，2，0)，BC 所以 在 上的投影长为 .BC AC |BC AC |AC | 414所以点 B 到直线 AC 的距离d ) |BC |2 |BC A
4、C |AC | |2 4 1614 .2357用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系(2)求直线的方向向量(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长(4)利用勾股定理求解另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1C，D 1A1 的中点，求点A 到 EF 的距离解：以 D 点为原点，DA，DC，DD 1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设 DA2，则 A(2，0，0)，E(0，2，1) ， F(1，0，2)，则 (1 ，2，1)，EF (1，0
5、， 2)FA | | ，EF 12 （ 2）2 12 6 110(2)( 2) 11，FA EF 在 上的投影长为 .FA EF |FA EF |EF | 16所以点 A 到 EF 的距离d|FA|2 (16)2 .296 1746探究点 2 点到平面的距离学生用书 P70如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD平面 ABCD，且 PD1，E，F 分别为 AB，BC 的中点(1)求点 D 到平面 PEF 的距离；(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离【解】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0) ，P (0，0，1)，A(1，0，0) ，C(0，1，0) ，E ，F
6、 .(1，12，0) (12，1，0)设 DH平面 PEF，垂足为 H，则x y zDH DE DF DP ，(x y z1)(x 12y，12x y，z) ， .PE (1，12， 1) PF (12，1， 1)所以 x y z xyz0.DH PE 12 12(12x y) 54同理， x yz 0，DH PF 54又 xyz1，所以可解得 xy ，z .417 917所以 (2，2，3)DH 317所以| | .DH 31717因此，点 D 到平面 PEF 的距离为 .31717(2)连接 AC，设 AH平面 PEF，垂足为 H，则 ，设 (2，2，3)AH DH AH (2 ， 2，3
7、)( 0)，则 (2 ，2，3)EH EA AH (0， 12，0) .(2，2 12，3)所以 4 24 2 920，即 .AH EH 117所以 (2，2，3)，| | ，AH 117 AH 1717又 AC平面 PEF，所以 AC 到平面 PEF 的距离为 .1717用向量法求点面距的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标(3)求向量：求出相关向量的坐标( ， 内两不共线向量，平面 的法向量 n)AP (4)求距离 d . |AP n|n|如图所示，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱若点 C 到平面 AB1D1 的
8、距离为 ，求正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的高43解：设正四棱柱的高为 h(h0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有 A(0，0，h)，B1(1，0，0) ， D1(0，1，0)，C (1，1，h)，则 (1 ，0，h) ， (0，1，h)，AB1 AD1 (1 ，1，0)，AC 设平面 AB1D1的法向量为 n(x，y ，z )，则 即 取 z1，得 n( h，h，1)，所以点 C 到平面 AB1D1的距nAB1 0，nAD1 0，) x hz 0，y hz 0，)离为 d ，解得 h2.故正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的高为 2.|nAC |n| h h 0h2 h2 1 431
9、若三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PAPBPC1，则点 P 到平面ABC 的距离是( )A. B.66 63C. D.36 33解析：选 D.分别以 PA，PB，PC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0) ， B(0，1，0)， C(0，0，1) 可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n(1，1，1)，则 d .|PA n|n| 332已知直线 l 经过点 A(2，3，1)，且向量 n(1 ，0，1)所在直线与 l 垂直，则点P(4， 3，2) 到 l 的距离为_解析：因为 ( 2，0，1) ，又 n 与 l 垂直，PA 所以点 P 到 l
10、 的距离为 .|PA n|n| | 2 1|2 22答案：223已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别是 C1C，D 1A1，AB 的中点，求点 A 到平面 EFG 的距离解：建系如图，则 A(2，0， 0)，E(0，2，1)，F(1 ，0，2)，G(2 ，1，0)，所以(0，1，0)，AG (2，1，1) ， (1，1，2)GE GF 设 n(x，y，z )是平面 EFG 的法向量，点 A 到平面 EFG 的距离为 d，则 ，nGE 0nGF 0)所以 2x y z 0， x y 2z 0，)所以 x z，y z，)所以 n(z，z，z)，令 z1，此时 n(1
11、 ，1 ，1)，所以 d ，|AG n|n| 13 33即点 A 到平面 EFG 的距离为 .33学生用书 P71知识结构 深化拓展点面距、线面距、面面距的求解思路线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 学生用书 P141(单独成册)A 基础达标1如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB BC2，AA 1 ，E，F 分别是面 A1B1C1D1，面
12、BCC1B1 的中心，2则 E，F 两点间的距离为( )A1 B.52C. D.62 32解析：选 C.以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 E(1，1， )，F2，所以 EF ，故选 C.(2，1，22) （1 2）2 （1 1）2 ( 2 22)2 622已知平面 的一个法向量 n( 2，2，1)，点 A( 1，3，0) 在平面 内，则点P( 2，1，4) 到 的距离为( )A10 B3C. D.83 103解析：选 D.由已知得 (1，2，4)，故点 P 到平面 的距离 d PA |PA n|n| .| 2 4 4|3 1033已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱
13、长为 2，点 E 是 A1B1 的中点，则点 A 到直线 BE的距离是( )A. B.655 455C. D.255 55解析：选 B.建立空间直角坐标系如图所示，则 (0 ，2，0)， (0，1，2)，BA BE 设ABE ，则 cos ，|BA BE |BA |BE | 225 55sin .1 cos2255故 A 到直线 BE 的距离d| |sin 2 .AB 255 4554如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中，A 1A5，AB12，则直线 B1C1 到平面A1BCD1 的距离是( )A5 B8C. D.6013 132解析：选 C.法一：因为 B1C1BC，所以 B1C
14、1平面 A1BCD1，从而点 B1到平面A1BCD1的距离即为所求如图，过点 B1作 B1EA 1B 于点 E.因为 BC平面 A1ABB1，且 B1E平面 A1ABB1，所以 BC B1E.又 BCA 1BB，所以 B1E平面 A1BCD1，B 1E 的长即为点 B1到平面 A1BCD1的距离在 RtA 1B1B 中，B 1E ，所以直线 B1C1到平面 A1BCD1的A1B1B1BA1B 12552 122 6013距离为 .6013法二：以 D 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立如图所DA DC DD1 示的空间直角坐标系，则 C(0，12，0)，D 1(0，
15、0，5)设 B(x，12，0)，B 1(x，12，5)( x0)设平面 A1BCD1的法向量为 n( a，b，c )，由 n ，n ，得BC CD1 n (a，b，c )(x ，0，0)ax0，n (a，b，c)(0，12，5)BC CD1 12b5c 0，所以 a0，b c，所以可取 n(0，5，12) 512又 (0 ，0，5)，所以点 B1到平面 A1BCD1的距离为 .B1B |B1B n|n| 6013因为 B1C1平面 A1BCD1，所以 B1C1到平面 A1BCD1的距离为 .60135正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，O 是 A1C1 的中点，则 O 到平面 AB
16、C1D1 的距离为( )A. B.32 24C. D.12 33解析：选 B.以 ， ， 为正交基底建立空间直角坐标系，DA DC DD1 则 A1(1，0，1)，C 1(0，1，1)， ，C1O 12C1A1 (12， 12，0)平面 ABC1D1的一个法向量 (1 ，0，1)，点 O 到平面 ABC1D1的距离DA1 d .故选 B.|DA1 C1O |DA1 |122 246在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA底面ABCD， BCAD，ABC 90 ，PAABBC2，AD 1，则 AD 到平面 PBC 的距离为_解析：AD 到平面 PBC 的距离等于点 A 到平面 PBC
17、 的距离由已知可知 AB，AD，AP两两垂直以 A 为坐标原点， ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系 (图AB AD AP 略)，则 A(0，0 ，0)，B(2，0 ，0) ，C (2，2，0)，P(0，0，2) ，则 (2，0，2)，PB (0，2，0)BC 设平面 PBC 的法向量为 n (a，b，c)，则 即n PB ，n BC ，) 2a 2c 0，b 0， )取 a1，得 n(1，0，1)，又 (2，0，0) ，AB 所以 d .|AB n|n| 2答案： 27(2018北京通州潞河中学高二( 上)期中考试)如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中
18、，AA1AB2，AD1，点 F，G 分别是 AB，CC 1 的中点，则点 D1 到直线 GF 的距离为_解析：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD 1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0，0，2)，F(1 ，1，0)，G(0 ，2，1)，于是有(1，1， 1)， (0 ，2，1)，所以 ，| | ，所以点GF GD1 |GF GD1 |GF | | 2 13 13 GD1 5D1到直线 GF 的距离为 .5 13 423答案：4238正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，求平面 A1BD 与平面 B1CD1 间的距离解：以 D 为坐标原点，分别以
19、 DA，DC，DD 1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A 1(1，0，1)，B(1，1，0)，D 1(0，0，1)，(0 ，1， 1)， ( 1，0，1) ， ( 1，0，0) A1B A1D A1D1 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y ，z )，则 nA1B 0，nA1D 0，)所以 y z 0， x z 0.)令 z1，得 y1，x 1，所以 n(1，1，1) 所以点 D1到平面 A1BD 的距离 d .|A1D1 n|n| 13 33因为平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离等于点 D1到平面 A1BD 的距离所以平面 A
20、1BD 与平面 B1CD1间的距离为 .339在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC AA 12，BAC90，M 为 BB1 的中点，N 为 BC 的中点(1)求点 M 到直线 AC1 的距离；(2)求点 N 到平面 MA1C1 的距离解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，A 1(0，0，2) ，M(2，0，1) ，C1(0，2，2)，直线 AC1的一个单位方向向量为 s0 ， (2，0，1) ，故点 M(0，22，22) AM 到直线 AC1的距离 d .|AM |2 |AM s0|2 5 12 322(2)设平面 MA1C1的法向量为 n(x，y，z)，则 n
21、 0 且 n 0，即A1C1 A1M (x，y， z)(0， 2，0)0 且(x，y，z)(2，0，1)0，即 y0 且 2xz0，取 x1，得z2，故 n(1，0，2)为平面 MA1C1的一个法向量，与 n 同向的单位向量为 n0.因为 N(1，1，0) ，所以 ( 1，1，1)，故点 N 到平面 MA1C1的距离 d|(55，0，255) MN n0| .MN 355B 能力提升10如图，ABCDEFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P 在正方体内部且满足 AP 34AB 12 ，则 P 到 AB 的距离为( )AD 23AE A. B.34 45C. D.56 35解析：选 C.如图，分
22、别以 AB、AD 、AE 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 、 、AB AD 可作为 x、y 、z 轴方向上的单位向量，AE ，AP 34AB 12AD 23AE ，AP (34，12，23)(1 ，0，0)， ，AB AP AB |AB | 34所以 P 点到 AB 的距离d|AP |2 |AP AB |AB |2 181144 916 .5611(2018陕西西安一中高二( 上)期末考试)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则点 B1 到平面 ABC1 的距离为 _解析：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A ， B(0，1，
23、0)，B 1(0，1，1) ，C 1(0，0，1)，则(32，12，0) ， (0，1，0)， (0，1，1) 设平面 ABC1的一个法向量为C1A ( 32，12， 1) C1B1 C1B n( x， y，1)，则有 解得 n ，则所求距离为 C1A n 32x 12y 1 0，C1B n y 1 0， ) ( 33，1，1) |C1B1 n|n| | .113 1 1 217法二：连接 AB1，VB 1ABC1 VA BB1C1，VA BB1C1 SBB 1C1 AB .设点 B113 32 312到平面 ABC1的距离为 h，则 VB1ABC1 SABC1h，SABC 1 AB ，所以
24、h13 12 72 74.217答案：21712(选做题) 在直角梯形 ABCD 中，ADBC ，BC 2AD2AB2 ，ABC90，2如图把ABD 沿 BD 翻折，使得平面 ABD平面 BCD(如图)(1)求证：CD AB；(2)若点 M 为线段 BC 的中点，求点 M 到平面 ACD 的距离；(3)在线段 BC 上是否存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60？若存在，求出的值；若不存在，说明理由BNBC解：(1)证明：由已知条件可得 BD2，CD2，CDBD.因为平面 ABD平面BCD，平面 ABD平面 BCDBD，所以 CD平面 ABD，又因为 AB平面 ABD，所以CDA
25、B.(2)以点 D 为原点， DB 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得 A(1， 0，1) ，B(2，0，0)，C(0，2 ，0) ，D(0，0，0)，M (1，1，0)，所以 (0，2，0)， ( 1，0，1)， (1，1，0)CD AD MC 设平面 ACD 的法向量为 n( x，y，z) ，则 n， n，CD AD 所以 y 0，x z 0，)令 x1，得平面 ACD 的一个法向量为 n(1，0，1) ，所以点 M 到平面 ACD 的距离 d .|nMC |n| 22(3)假设在线段 BC 上存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60，设 ，0 1，则 N(2 2，2，0)，所以 (1 2，2，1)，又因为平面 ACDBN BC AN 的一个法向量 n(1，0，1)，且直线 AN 与平面 ACD 所成的角为 60，所以 sin 60 ，可得 822 1 0，|AN n|AN |n| 32所以 或 (舍去) 14 12综上，在线段 BC 上存在点 N，使 AN 与平面 ACD 所成角为 60，此时 .BNBC 14
