1、31.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题 2.理解基底、基向量的概念3掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中正确写出向量的坐标学生用书 P571空间向量基本定理条件 三个不共面的向量 a，b，c 和空间任一向量 p结论 存在有序实数组 x，y，z，使得 pxaybzc2.基底(1)条件：三个向量 a，b，c 不共面(2)结论：a， b，c 叫做空间的一个基底(3)基向量：基底中的向量 a，b，c 都叫做基向量(1)基底选定后，空间所有向量均可由基底惟一表示(2)构成基底的三个向量 a，b，c 中，没有零向量，其中的每个向量称为基向量
2、3空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点 O 的三个两两垂直 的单位向量，记作 e1，e 2，e 3空间直角坐标系以 e1，e 2，e 3 的公共起点 O 为原点，分别以e1，e 2，e 3 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 px e1ye 2ze 3，则把x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底e1，e 2，e 3 下的坐标，记作 p( x，y，z)判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底( )(2)若a ， b， c
3、为空间一个基底，则a，b，2c 也可构成空间一个基底 ( )(3)若向量 的坐标为(x，y，z)，则点 P 的坐标也为( x，y，z)( )AP (4)若三个非零向量 a， b， c 不能构成空间的一个基底，则 a， b， c 共面( )答案：(1) (2) (3) (4)下列各组向量能构成一个基底的是( )A长方体 ABCDA1B1C1D1 中的向量 ， ，AB AC AD B三棱锥 ABCD 中的向量 ， ，AB AC AD C三棱柱 ABCA1B1C1 中( E 是 A1C1 的中点)的向量 ， ，AA1 AE AC1 D四棱锥 SABCD 中的向量 ， ，DA DB DC 答案：B已知
4、正方体 OABCOABC的棱长为 1，若以 ， ， 为基底，则向量 的坐OA OC OO OB 标是( )A(1，1，1) B(1，0，1)C(1，1，1) D(1，0，1)答案：A探究点 1 空间向量的基底学生用书 P58已知e 1，e 2，e 3是空间的一个基底，且e 12e 2e 3， 3e 1e 22e 3， e 1e 2e 3，试判断 ， ， 能否作为OA OB OC OA OB OC 空间的一个基底【解】 假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数 x，y，使得OA OB OC x y 成立，即 e12e 2e 3x(3e 1e 22e 3)y (e1e 2e 3)(3x
5、y)OA OB OC e1( x y)e2 (2xy )e3.因为e 1，e 2，e 3是空间的一个基底，所以 e1，e 2，e 3不共面，所以 ，此 3x y 1x y 22x y 1)方程组无解即不存在实数 x，y ，使得 x y 成立，所以 ， ， 不共面OA OB OC OA OB OC 故 ， ， 能作为空间的一个基底OA OB OC 基底的判断思路判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程
6、组无解，则三个向量不共面 设 xab，ybc，zc a，且 a，b ，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，b，c，z ，x，y，a bc，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A1 个 B2 个C3 个 D.0 个解析：选 B.因为 xab，所以向量 x，a，b 共面如图，令 a ，b ，c ，AB AA1 AD 则 x ，y ，z ，AB1 AD1 AC abc .AC1 可知向量 b，c，z 和 x，y ，abc 不共面，故选 B.探究点 2 空间向量基本定理学生用书 P58如图，在三棱柱 ABCABC中，已知 a， b， c ，点 M，N 分别是AA AB AC BC， B
7、C的中点，试用基底 a，b，c表示向量 ， .AM AN 【解】 连接 AN(图略) AM AB 12BC ( )AB 12BC CC AB 12BC 12CC ( )AB 12AC AB 12AA 12AB 12AC 12AA (abc) 12 AN AA AN ( )AA 12AB AC ( )AA 12AB AC a b c.12 12变条件 若把本例中的“ a”改为“ a” ，其他条件不变，则结果是什么？AA AC 解：因为 M 为 BC的中点，N 为 BC的中点，所以 ( )AM 12AB AC a b.12 12 ( )AN 12AB AC ( )12AB BB AC 12AB 1
8、2CC 12AC ( )12AB 12AC AC 12AC 12AB AC 12AC ba c.12 12用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底 )表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底 a，b，c 可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有 a，b，c，不能含有其他形式的向量 已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，M，N 分别为 PC，PD 上的点，且 M 分 PC 成定比 2，N 为
9、 PD 的中点，求满足 x y z 的实数 x，y，zMN AB AD AP 的值解：法一：如图所示，取 PC 的中点 E，连接 NE，则 .MN EN EM 因为 .EN 12CD 12BA 12AB .EM PM PE 23PC 12PC 16PC 连接 AC，则 PC AC AP ，AB AD AP 所以 ( )MN 12AB 16AB AD AP ，23AB 16AD 16AP 因为 ， ， 不共面AB AD AP 所以 x ，y ，z .23 16 16法二： MN PN PM 12PD 23PC ( ) ( )12PA AD 23PA AC ( )12AP 12AD 23 AP A
10、B AD ，23AB 16AD 16AP 因为 、 、 不共面，AB AD AP 所以 x ，y ，z .23 16 16探究点 3 空间向量的坐标表示学生用书 P59在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知ABC 的边长为 1，三棱柱的高为 2，建立适当的空间直角坐标系，并写出 ， ， 的坐标AA1 AB1 AC1 【解】 分别取 BC，B 1C1的中点 D， D1，以 D 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 xDC DA DD1 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 A(0， ，0) ， A1(0， ，2)， B1( ，0，2)，C 1( ，0，2) ，所以 (0，
11、0，2)，32 32 12 12 AA1 ( ， ，2) ， ( ， ，2)AB1 12 32 AC1 12 32用坐标表示空间向量的方法步骤如图，PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PAAB1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量 的坐标MN 解：因为 PAAB AD1，PA平面 ABCD，ABAD，所以 ， ， 是两两垂直的单位向量AB AD AP 设 e 1， e 2， e 3，以 e1，e 2，e 3为基底建立空间直角坐标系 Axyz.AB AD AP 因为 MN MA AP PN 12AB AP 12PC ( )12AB AP 12PA
12、AC ( )12AB AP 12PA AB AD e2 e3，12AD 12AP 12 12所以 .MN (0，12，12)1设 p：a ， b， c 是三个非零向量；q：a ， b， c为空间的一个基底，则 p 是 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选 B.当非零向量 a， b， c 不共面时， a， b， c可以当基底，否则不能当基底当 a， b， c为基底时，一定有 a， b， c 为非零向量因此 pq，qp.2三棱锥 PABC 中，ABC 为直角，PB平面 ABC，ABBCPB1，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点，以 ，
13、， 为基底，则 的坐标为_BA BC BP MN 解析： MN BN BM ( ) ( )12BA BC 12BP BC ，12BA 12BP 故 .MN (12，0， 12)答案： (12，0， 12)3如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中， a， b， c，E 为 A1D1 的中AB AD AA1 点，F 为 BC1 与 B1C 的交点(1)用基底a， b，c 表示向量 ， ， ；DB1 BE AF (2)化简 ，并在图中标出化简结果DD1 DB CD 解：(1) abc .DB1 DC CB1 DC BB1 BC a bc.BE BA AA1 A1E 12 a (bc )a b
14、 c.AF AB BF 12 12 12(2) ( ) .DD1 DB CD DD1 CD DB DD1 CB DD1 D1A1 DA1 如图，连接 DA1，则 即为所求DA1 学生用书 P60知识结构 深化拓展1.对空间向量基本定理的两点说明(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量(2)惟一性：基底确定后，空间向量基本定理中实数组x，y，z是惟一的2空间向量坐标表示注意点(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为e 1，e 2，e 3，be 1e 2k e3，则 b的坐标为( ， ，k)(2)点的坐标反映了点在空间直角坐标系中的位置，而向量的坐标
15、实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能间接反映向量的方向与大小. 学生用书 P133(单独成册)A 基础达标1已知 O、A、B、C 为空间四点，且向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ( )OA OB OC A. ， ， 共线OA OB OC B. ， 共线OA OB C. ， 共线OB OC DO、A、B 、C 四点共面解析：选 D.由 ， ， 不能构成基底知 、 、 三向量共面，所以一定有OA OB OC OA OB OC O、A 、 B、C 四点共面2已知a ， b， c是空间一组基底， pab，qab，一定可以与向量 p， q 构成空间另一组基底的是( )Aa
16、 BbCc D. p2q13解析：选 C.因为 a， b， c 不共面，所以 p， q， c 不共面若存在 x，yR，使 cx p yq( xy) a(xy)b 成立，则 a， b， c 共面，这与已知a， b， c是空间一组基底矛盾，故 p， q， c 不共面3已知 A(1， 2，1) 关于平面 xOy 的对称点为 B，而 B 关于 x 轴的对称点为 C，则( )BC A(0，4，2) B(0，4，0)C(0，4，2) D.(2，0，2)解析：选 C.易知 B(1，2，1)，C(1，2，1) ，所以 (0 ，4，2)BC 4.如图，梯形 ABCD 中，AB CD，AB2CD，点 O 为空间内
17、任意一点，设a， b， c ，则向量 可用 a， b， c 表示为 ( )OA OB OC OD Aab2cBab2cC a bc12 12D. a bc12 12解析：选 D. OD OC CD OC 12BA ( ) a bc .OC 12OA OB 12 125设i，j，k是单位正交基底，已知向量 p 在基底a， b，c 下的坐标为(8，6，4)，其中 aij，bjk，c k i ，则向量 p 在基底i，j ，k 下的坐标是( )A(12，14，10) B(10，12，14)C(14，12，10) D.(4，3，2)解析：选 A.依题意，知 p8 a6b4c8( ij)6(jk)4(ki
18、)12i14j10k，故向量 p 在基底i，j，k下的坐标是(12，14，10) 6在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 3i， 2j ， 5k，则向量 在基底AB AD AA1 AC1 i， j， k下的坐标是_解析： 3i 2j5k，所以向量 在基底AC1 AB BC CC1 AB AD AA1 AC1 i， j， k下的坐标是(3，2， 5)答案：(3，2，5)7已知空间的一个基底a ， b， c，m abc，nxa ybc，若 m 与 n 共线，则x_， y_解析：因为 m 与 n 共线，所以存在实数 ，使 mn，即 abcxaybc，于是有 解得1 x， 1 y，1 ，) x
19、1，y 1.)答案：1 18正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E、F 分别是底面 A1C1 和侧面 CD1 的中心，若 0( R)，则 _EF A1D 解析：如图，连接 A1C1，C 1D，则 E 在 A1C1上，F 在 C1D 上，易知 EF 綊 A1D，所以 ，12 EF 12A1D 即 0，所以 .EF 12A1D 12答案：129.如图所示，在三棱锥 OABC 中，OA ，OB，OC 两两垂直，OA1， OB 2，OC3，E，F 分别为 AC，BC 的中点，建立以 ，OA ， 方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系 Oxyz，求 EF 中OB OC 点 P 的坐标解：令 Ox，
20、Oy，Oz 轴方向上的单位向量分别为 i， j， k，因为 ( )OP OE EP 12OA OC 12EF ( ) ( )12OA OC 14OB OA 14OA 14OB 12OC i 2j 3k14 14 12 i j k，14 12 32所以 P 点的坐标为 .(14，12，32)10已知平行六面体 OABCOABC，且 a， b， c .OA OC OO (1)用 a，b，c 表示向量 ；AC (2)设 G，H 分别是侧面 BBCC 和 OABC的中心，用 a，b，c 表示 .GH 解：(1) AC AC CC bca.OC OA OO (2) GH GO OH OG OH ( )
21、( )12OB OC 12OB OO (abcb) (abcc ) (cb)12 12 12B 能力提升11如图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE BB1，DF DD1.若 x y z ，则 xyz( )13 23 EF AB AD AA1 A1 B0C. D.113解析：选 C.因为 ( )EF AF AE AD DF AB BE ，AD 23DD1 AB 13BB1 AB AD 13AA1 所以 x1，y 1，z ，所以 xyz .13 1312已知 i， j， k 是空间直角坐标系 Oxyz 中 x 轴，y 轴， z 轴正方向上
22、的单位向量，且向量 pi3j k，则 p 的坐标为_12答案： (1， 3，12)13(选做题)(2018黑龙江哈师大附中高二(上) 期末考试)已知e 1，e 2，e 3为空间的一个基底，且 2e 1e 23e 3， e 12e 2e 3， 3e1e 22e 3， e 1e 2e 3.OP OA OB OC (1)判断 P，A ，B，C 四点是否共面；(2)能否以 ， ， 作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示 ；若不能，OA OB OC OP 请说明理由解：(1)假设 P，A，B，C 四点共面，则存在实数 x，y ，z，使 x y z ，且 xy z1，OP OA OB OC 即 2e1
23、e 23e 3x(e 12e 2e 3)y(3e 1e 22e 3)z(e 1e 2e 3)比较对应的系数，得到关于 x，y，z 的方程组x 3y z 22x y z 1， x 2y z 3)解得 ，与 xyz1 矛盾，x 17y 5z 30)故 P，A，B，C 四点不共面(2)若 ， ， 共面，则存在实数 m，n，使 m n ，OA OB OC OA OB OC 同(1)可证， ， ， 不共面，因此 ， ， 可以作为空间的一个基底，令OA OB OC OA OB OC a， b， c ，OA OB OC 由 e12e 2e 3 a，3e 1e 22e 3b，e 1e 2e 3c，得 ，e1 3a b 5ce2 a ce3 4a b 7c)所以 2e 1e 23e 32(3ab5c)( ac )3(4ab 7c)OP 17a5b30c 17 5 30 .OA OB OC
