1、31.5 空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标 2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题学生用书 P601空间向量的坐标运算设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则 ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3)，ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3 b3)，a(a 1，a 2，a 3)，aba 1b1a 2b2a 3b32空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则
2、 ababa 1b 1，a 2b 2，a 3b 3(R )；abab0a 1b1a 2b2a 3b30；|a| ；aacosa，b .ab|a|b|3空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，b 1，c 1)，B( a2，b 2，c 2)，则 A，B 两点间的距离 dAB| |AB .（a2 a1）2 （b2 b1）2 （c2 c1）2判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同( )(2)若 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)，ab，则 .( )a1b1 a2b2 a3b3(3)若 a(a 1，a 2，a 3)，
3、b(b 1，b 2，b 3)，则 aba 1b1a 2b2a 3b30.( )(4)若 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则| | AB AB AB .( )（x2 x1）2 （y2 y1）2 （z2 z1）2答案：(1) (2) (3) (4)已知向量 a(4，2， 4)，b(6，3，2) ，则下列结论正确的是( )Aab(10，5，6) Bab(2，1，6)Cab10 D.|a|6答案：D与向量 m(0，1，2)共线的向量是 ( )A(2，0，4) B(3，6，12)C(1，1，2) D.(0，12， 1)答案：D已知 a(2，1，3)，b( 4，5，x)，若 ab
4、，则 x _答案：1已知 A 点的坐标是( 1，2，6) ，B 点的坐标是(1，2，6)，O 为坐标原点，则向量 与 的夹角是_OA OB 答案：探究点 1 空间向量的坐标运算学生用书 P61(1)已知 a(2，1， 2)，b(0，1，4) ，求 ab，ab，ab，(2a)(b)，(ab)(ab)；(2)已知 O 是坐标原点，且 A，B，C 三点的坐标分别是(2，1，2)，(4，5，1) ，(2，2 ，3) ，求适合下列条件的点 P 的坐标： ( )； ( )OP 12AB AC AP 12AB AC 【解】 (1)ab(2，1， 2)(0，1，4) (20，11，24)(2， 2，2)；ab
5、(2，1，2)(0 ，1，4) (20，11，24)(2，0，6)；ab(2，1，2)(0，1， 4)20(1) (1)(2)47；(2a)(b)2(a b)2(7)14；(ab)(ab)(2，2，2)(2 ，0，6) 22202 (6)8.(2)由题意知， (2，6，3) ， ( 4，3，1)AB AC ( ) (6，3，4)(3 ，2)，则点 P 的坐标为(3，2) OP 12AB AC 12 32 32设 P(x，y，z)，则 (x2，y 1，z 2) AP 因为 ( )(3，2) ，AP 12AB AC 32所以x 2 3y 1 32，z 2 2)解得 x5，y ，z0，12则点 P
6、的坐标为(5，0) 12关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组) ，解方程 (组)求出其坐标 1.已知 a(1， 1，0) ，b(0，1，1) ，c (1 ，0，1)，pab，qa2bc，则 pq( )A1 B1C0 D.2解析：选 A.因为 pab(1，0，1)，qa2bc(0，3，1) ，所以pq1 003(1) 11，故选 A.2已知ABC 中，A(2 ，5，3)， (4，1，2) ， (3，2，5) ，求顶点 B、CAB BC 的坐标及
7、 .CA 解：设 B(x，y，z)，C(x 1，y 1，z 1)，所以 (x2，y 5，z 3)， (x 1x，y 1y，z 1 z)AB BC 因为 (4 ，1，2)，AB 所以 ，解得 ，x 2 4y 5 1z 3 2) x 6y 4z 5)所以 B 的坐标为(6，4，5)因为 (3，2，5)，BC 所以 ，解得 ，x1 6 3y1 4 2z1 5 5) x1 9y1 6z1 10)所以 C 的坐标为(9，6，10)， (7，1，7) CA 探究点 2 坐标形式下的平行与垂直学生用书 P61已知空间三点 A(2， 0，2) 、B(1，1，2)、C( 3，0，4) 设 a ，bAB .AC
8、(1)设|c| 3，c ，求 c；BC (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.【解】 (1)因为 ( 2，1，2) 且 c ，BC BC 所以设 c (2， ，2)(R )，BC 所以|c| 3| 3.（ 2）2 （ ）2 （2）2解得 1.所以 c(2，1，2)或 c(2 ，1，2)(2)因为 a (1，1，0)，b ( 1，0，2)，AB AC 所以 kab(k1，k ，2)，ka2b(k2，k ，4)因为(ka b) (k a2b)，所以(ka b)( ka2b)0，即(k1 ，k，2)(k 2，k，4)2k 2k100.解得 k2 或 k .52变条件 将本例(2)中“若
9、kab 与 ka2b 互相垂直”改为“若 kab 与 akb 互相平行” ，其他条件不变，求 k 的值解：a(12，10，2 2)(1，1，0) ，b(32，00，42)(1，0，2) ，所以 kab(k，k ，0)(1 ，0，2) (k1，k，2)akb(1 ，1，0)(k ，0，2k )(1k，1，2k)，因为 kab 与 ak b 平行，所以 kab(ak b)，即(k1 ，k，2)(1k，1，2k)，所以 k 1 （1 k），k 1，2 2k， )则 或k 1， 1) k 1， 1.)判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行(2)对于 a(x
10、 1，y 1，z 1)，b(x 2，y 2，z 2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据 x1x 2，y 1y 2， z1z 2(R )或 (x2，y 2，z 2 都不为 0)判断两向量是x1x2 y1y2 z1z2否平行1.已知 a(1， 2，y) ，b(x，1，2)，且 (a2b)(2ab) ，则( )Ax ，y1 Bx ，y 413 12Cx 2，y D.x1，y 114解析：选 B.由题意知，a2b (2x1，4，4y)，2ab (2x，3，2y2)因为(a2b) (2 ab)，所以存在实数 ，使 a2b(2ab)，所以 解得2x 1 （2 x），4 3，4 y （ 2y
11、2），) 43，x 12，y 4.)2已知空间三点 O(0，0，0)，A( 1，1，0)，B(0，1，1)，若直线 OA 上的一点 H 满足 BH OA，则点 H 的坐标为 _解析：设 H(x， y，z)，则 (x，y，z)， (x，y1，z1)，OH BH (1，1， 0)因为 BH OA，所以 0，即 xy10 ，又点 H 在直线OA BH OA OA 上，所以 ，即OA OH ，联立解得 1 x，1 y，0 z ) x 12，y 12，z 0. )所以点 H 的坐标为 .( 12，12，0)答案： ( 12，12，0)探究点 3 向量夹角与长度的计算学生用书 P62如图，直三棱柱 ABC
12、A1B1C1，在底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，N 是 A1A 的中点(1)求 的模；BN (2)求 cos ， 的值BA1 CB1 【解】 如图，以 C 为坐标原点，分别以 ， ， 为正交基底建立空间直角坐标CA CB CC1 系 Cxyz.(1)依题意得 B(0，1，0)，N(1，0，1)所以| | .BN （1 0）2 （0 1）2 （1 0）2 3(2)依题意得 A1(1，0，2)，B(0，1，0) ，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) 所以 (1 ，1，2)， (0，1，2) ，BA1 CB1 所以 3，| | ，| | .BA1 CB1 BA1 6 CB
13、1 5所以 cos ， .BA1 CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 3010利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算(4)转化：转化为夹角与距离问题已知空间三点 A(1，2，3) ，B(2，1，5)，C(3，2，5) 求：(1)向量 ， 的模；AB AC (2)向量 ， 夹角的余弦值AB AC 解：(1)因为 (2，1，5)(1，2，3) (1，3，2)，AB (3，2，5)(1 ，2，3)(2，0，8) ，AC 所以| | ，AB 1
14、2 （ 3）2 22 14| | 2 .AC 22 02 （ 8）2 17(2)因为 (1，3，2)(2，0，8)AB AC 12(3)02( 8) 14，所以 cos ， AB AC AB AC |AB |AC | . 1414217 23834因此，向量 ， 夹角的余弦值为 .AB AC 238341已知向量 a(0，1，1)，b(4，1，0) ，| ab| ，且 0，则 ( )29A2 B3C4 D.5解析：选 B.ab(0，1 ，1) (4，1，0) (4，1 ， )，由已知得| ab| ，且 0，解得 3.42 （1 ）2 2 292已知点 A( 1，3，1) ，B(1，3，4)，若
15、 2 ，则点 P 的坐标是_AP PB 解析：设点 P(x，y，z)，则由 2 ，得(x1，y3，z1)AP PB 2(1 x，3 y ，4z)，则 解得 即 P(1，3，3)x 1 2 2x，y 3 6 2y，z 1 8 2z，) x 1，y 3，z 3，)答案：(1，3，3)3已知向量 a(1，2，2)，b(2，4，4) ，c (2 ， x，4)(1)判断 a，b 的位置关系；(2)若 ac，求|c |；(3)若 bc，求 c 在 a 方向上的投影的长解：(1)因为 a(1，2，2)，b(2，4，4) ，所以 b2a，所以 ab.(2)因为 ac，所以 ，解得 x4.21 x2 4 2所以
16、 c(2 ，4，4)，从而|c| 6.22 42 （ 4）2(3)因为 bc，所以 bc0，即( 2，4，4)(2 ，x，4)44x160，解得x5，所以 c(2 ，5，4)所以 c 在 a 方向上的投影的长为|c|cosa，c |c | 0.ac|a|c| 12 25 2412 22 （ 2）2 2 10 83学生用书 P63知识结构 深化拓展对空间向量坐标运算的两点说明(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即 a(x，y) 而在空间中则表示为a(x， y，z
17、)(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数. 学生用书 P135(单独成册 )A 基础达标1已知 a(1，0，1)，b(2，1，1) ，c (3 ，1，0)，则 ab2c( )A(9，3，0) B(0，2，1)C(9，3，0) D.(9，0，0)解析：选 C.ab2c (1，0，1)( 2，1，1)(6，2，0) (3，1，0)(6 ，2，0)(9，3 ，0) 2已知ABC 的三个顶点为 A(3，3，2)，B(4，3，7)，C(0，5，1)，则 BC 边上的中线长为( )A2 B3C4 D.5解析：选 B.设 BC 边的中点
18、为 D，则 ( )(1，2，2)，AD 12AB AC 所以| | 3.AD 1 4 43若向量 a(1，1，x)，b (1，2，1)，c(1，1，1) ，满足条件(ca)(2b)2，则 x 的值为( )A2 B2C0 D.1解析：选 A.因为 ca(0， 0，1x )，2b(2，4，2) ，所以(c a)(2b)2(1x )22x 2.所以 x2.4若ABC 中，C90， A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k) ，则 k 的值为( )A. B10 10C2 D.5 10解析：选 D. (6，1，2 k)， (3，2，k) ，CB CA 则 ( 6) (3)22k(k)CB
19、CA 2k 2200，所以 k .105(2018四川南充高二(下)月考)已知向量 a(1 ，2，3)，b(2，4，6) ，| c|，若 (ab) c7，则 a 与 c 的夹角为( )14A30 B60C120 D.150解析：选 C.ab(1，2，3)a，故( ab)cac 7，得 ac7，而|a| ，所以 cosa，c ， a，c120.12 22 32 14ac|a|c| 126已知点 A(1， 1，3)，B(2，2)，C(3 ，3，9) 三点共线，则实数_， _解析：因为 ( 1，1，23)， (2，2，6)，由 A，B，C 三点共线，得AB AC ，即 ，解得 0，0.AB AC 1
20、2 12 2 36答案：0 07在空间直角坐标系中，已知点 A(1，2，11) ，B(4，2，3)，C(6，1，4) ，则ABC 一定是_三角形解析：因为 (3 ，4，8) ， (5，1，7) ， (2，3，1)，所以| |AB AC BC AB ，| | 5 ，| | ，所32 42 （ 8）2 89 AC 52 12 （ 7）2 3 BC 22 （ 3）2 1 14以| |2 | |2 | |2，所以ABC 一定为直角三角形AC BC AB 答案：直角8若 a(x，2，2)，b(2，3，5)的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是_解析：ab2x23252x4，设 a， b 的夹角为 ，因为
21、 为钝角，所以 cos 0，又| a|0，| b|0，所以 ab0，即 2x40，所以 x2.又 a， b 不会反向，ab|a|b|所以实数 x 的取值范围是( ，2) 答案：(，2)9已知向量 a(x，4，1)， b(2，y，1)，c(3，2，z)，且 ab，bc.(1)求向量 a， b， c；(2)求向量 ac 与向量 bc 所成角的余弦值解：(1)因为 ab，所以 ，x 2 4y 1 1解得 x2，y4，此时 a(2，4，1)，b( 2，4，1) 又由 bc 得 bc0，故(2，4，1)(3，2，z) 68z0，得 z2，此时 c(3 ，2，2) (2)由第一问得，ac(5 ，2，3)，
22、bc (1 ，6，1)，因此向量 ac 与向量 bc 所成角 的余弦值为 cos .5 12 33838 21910已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A(3，1，2) ， B(1，2，1)，C(1，1，3)，D(3，5， 3)，求证：四边形 ABCD 是一个梯形证明：因为 (1 ，2，1) (3，1，2)( 2，3，3)，AB (3，5，3)(1，1，3) (4，6，6)，CD 且 ，所以 与 共线 24 3 6 36 AB CD 又因为 AB 与 CD 不共线，所以 ABCD.又因为 (3，5，3) (3 ，1，2)(0，4，1) ，AD (1，1，3)(1 ，2， 1)(2，1，2)
23、 ，BC 且 ，所以 与 不平行0 2 4 1 1 2 AD BC 所以四边形 ABCD 为梯形B 能力提升11从点 P(1， 2，3) 出发，沿着向量 v(4，1，8) 方向取点 Q，使|PQ|18，则Q 点的坐标为( )A(7，0，19)B(9，4，13)C(7，0，19)或(9，4，13)D(1，2，3)或(1 ，2，3)解析：选 C.设 Q(x0，y 0，z 0)，则 v，即PQ (x01， y02，z 03)(4，1，8)由|PQ |18 得 18，（ 4）2 （ ）2 （8）2所以 2，所以(x 01，y 02，z 03)2(4，1，8) ，所以 或x0 7，y0 0，z0 19)
24、 x0 9，y0 4，z0 13.)12已知 O 为坐标原点， (1，2，3) ， (2，1，2)， (1 ，1，2)，点 Q 在OA OB OP 直线 OP 上运动，则当 取得最小值时，点 Q 的坐标为 ( )QA QB A. B.(12，34，13) (12，23，34)C. D.(43，43，83) (43，43，73)解析：选 C.设 ，则 (1，2，32) ， OQ OP QA OA OQ OA OP QB (2，1，22 )，所OB OQ OB OP 以 (1 ，2，32 )(2，1，22)2(3 285) 23( )2 QA QB 43 13所以当 时， 最小，此时 ( ， )，
25、即点 Q 的坐标为( ， )43 QA QB OQ 43OP 4343 83 4343 8313已知空间三点 A(0，2， 3)，B(2，1，6)，C(1，1 ，5) (1)求分别以向量 ， 为一组邻边的平行四边形的面积 S；AB AC (2)若向量 a 与向量 ， 均垂直，且| a| ，求向量 a 的坐标AB AC 3解：(1)因为 (2，1，3) ， (1 ，3，2)，AB AC 所以| | ，AB （ 2）2 （ 1）2 32 14| | ，AC 12 （ 3）2 22 14所以 cosBAC ，AB AC |AB |AC | 12所以 S| | |sin 607 .AB AC 3(2)
26、设 a(x，y，z )，则 a 2xy 3z0，a x3y2z0，AB AC |a| x2y 2z 23，3解得 xyz1 或 xyz1，所以 a(1，1，1)或( 1，1，1) 14(选做题) 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，四边形 ABCD 中，AB AD，ABAD4，CD ，CDA45.设 ABAP，在线段 AD 上是否存在一个点2G，使得点 G 到点 P，B，C， D 的距离都相等？说明理由解：因为 PA平面 ABCD，且 AB平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以 PAAB，PAAD.又 ABAD ，所以 AP，AB，AD 两两垂直以 A 为坐标原点，建立如图所
27、示的空间直角坐标系 Axyz.假设在线段 AD 上存在一个点 G，使得点 G 到点 P，B，C，D 的距离都相等连接GB，GC，GP，设 ABAPt ，则 B(t，0，0)，G (0，m，0)(其中 0m4t)，则 P(0，0，t)，D(0，4 t，0)因为CDA45，所以 C(1，3t ，0) 所以 (1，3tm，0)， (0，4tm ，0) ， (0，m ，t )GC GD GP 由| | |，得 12(3 tm )2(4t m) 2，GC GD 即 t3m.由| | | |，得(4tm) 2m 2t 2.GD GP 由消去 t，化简得 m23m 40.由于方程没有实数根，所以在线段 AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 P，C，D的距离都相等
