1、第 2 课时 椭圆方程及性质的应用探究点 1 直线与椭圆的位置关系已知直线 l：y 2xm，椭圆 C： 1试问当 m 取何值时，直线 l 与椭x24 y22圆 C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点【解】 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 y，y 2x m，x24 y22 1，)得 9x28mx2m 240方程的判别式 (8m )24 9(2m24)8m 2144(1)当 0，即3 012这时直线的方程为 y2 (x4)，12即 y x412法二：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有两式相减得 0，整理得 kAB ，y2 y1x2 x1 9（x2 x1
2、）36（y2 y1）由于 P(4，2) 是 AB 的中点，所以 x1x 28，y 1y 24，于是 kAB ，98364 12于是直线 AB 的方程为 y2 (x4)，12即 y x412变问法 试求满足条件(2)的线段 AB 的长度解：由(2)知直线 AB 的方程为 y x4，12由 得 x28x 140，y 12x 4，x236 y29 1)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 28，x 1x214，由弦长公式可得|AB| 1 k2（x1 x2）2 4x1x2 ，52 64 56 10所以线段 AB 的长度为 10(1)直线与椭圆相交弦长的求法直接利用两点间距离公式：当
3、弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长求弦长的公式：设直线 l 的斜率为 k，方程为 ykxb ，设端点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)则|AB| （x1 x2）2 （y1 y2）2 1 k2 （x1 x2）2 4x1x2(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)是椭圆 1(ab0)上的两
4、个x2a2 y2b2不同的点，M(x 0，y 0)是线段 AB 的中点，则由12 ，得 (x x ) (y y )0，变形得1a2 21 2 1b2 21 2 ，y1 y2x1 x2 b2a2x1 x2y1 y2 b2a2x0y0即 kAB b2x0a2y01已知斜率为 2 的直线 l 经过椭圆 1 的右焦点 F1，与椭圆交x25 y24于 A，B 两点，则 |AB|_解析：因为直线 l 经过椭圆的右焦点 F1(1，0)，且斜率为 2，则直线 l 的方程为y2(x 1)，即 2xy20由 ，得 3x25x02x y 2 0x25 y24 1)解得 ， x1 0y1 2)x2 53y2 43)|
5、AB| 259 (43 2)2553答案：5532已知椭圆 1，求过点 Q(8，2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程x216 y24解：设椭圆中弦的两端点分别为 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)(x1x 2)，弦 AB 的中点为 R(x，y)，则 2xx 1x 2， 2yy 1y 2因为 A、B 两点均在椭圆上，故有 x 4y 16，x 4y 1621 21 2 2两式相减得(x 1x 2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)因为 x1x 2，所以 kAB y1 y2x1 x2 x1 x24（y1 y2） x4y由 kAB kRQ得， ，x4y y 2x 8得所求轨迹方程
6、为(x4) 24(y1) 220 (00，只能 x ，于是 y 32 523所以点 P 的坐标是 (32，523)(2)直线 AP 的方程是 x y603设点 M 的坐标是(m，0) ，则 M 到直线 AP 的距离是 ，|m 6|2于是 |m6|，又6m 6，|m 6|2解得 m2，所以点 M(2，0)设椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d，有d2(x 2)2y 2x 24x420 x259 (x )215，49 92由于6x6所以当 x 时，d 取最小值 92 151直线 ykxk 1 与椭圆 1 的位置关系为( )x29 y24A相切 B相交C相离 D不确定解析：选 B直线 ykxk
7、1 恒过定点(1 ，1)又因为 1，129 124所以点(1，1) 在椭圆 1 的内部，x29 y24所以直线 ykxk 1 与椭圆相交故选 B2过椭圆 1 的右焦点且倾斜角为 45的弦 AB 的长为( )x225 y29A5 B6C D 79017解析：选 C椭圆的右焦点为 (4，0)，直线的斜率为 k1 ，所以直线 AB 的方程为 yx 4，由 y x 4，x225 y29 1，)得 9x225( x4) 2225，由弦长公式易求|AB| 90173若过椭圆 1 内一点(2，1) 的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是x216 y24_解析：设弦两端点 A(x1，y 1)，B( x2，y
8、2)，则 1， 1，两式相减并把 x1x 24，y 1 y22 代入得， ，y1 y2x1 x2 12所以所求直线方程为 y1 (x2)，12即 x2y40答案：x2y404已知直线 l：y x ，椭圆 C：x 24y 2412(1)求证：直线 l 与椭圆 C 有两个交点；(2)求连接这两个公共点所成线段的长解：(1)证明：由 y x 12，x2 4y2 4)消去 y 得 5x24x 30所以 (4) 245(3)760，所以直线 l 与椭圆 C 有两个交点(2)设两交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由(1)知 x1x 2 ，x 1x2 45 35所以|AB| （y2 y1）2
9、 （x2 x1）2 2 （x2 x1）2 2 （x1 x2）2 4x1x2 2 (45)2 4(35) 2538知识结构 深化拓展1直线与椭圆的位置关系直线 ykxm 与椭圆 1( ab0)的x2a2 y2b2位置关系的判断方法：联立得消 y 得一个一元二次方程y kx m，x2a2 y2b2 1，)位置关系 解的个数 的取值相交 两解 0相切 一解 0相离 无解 02设而不求思想解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程；(4)利用
10、根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为 x1x 2，x 1x2 或y1y 2，y 1y2，进而求解学生用书 P109(单独成册)A 基础达标1点 A(a，1) 在椭圆 1 的内部，则 a 的取值范围是 ( )x24 y22A 2 2C2b0) 的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，Bx2a2 y2b2两点若 AB 的中点坐标为(1 ，1) ，则椭圆 E 的方程为( )A 1 B 1x245 y236 x236 y227C 1 D 1x227 y218 x218 y29解析：选 D设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，代入椭圆方程，有 1， 1，两式相减得
11、，因为线段 AB 的中y1 y2x1 x2 b2a2x1 x2y1 y2 12点坐标为(1 ，1)，所以 因为右焦点为 F(3，0)， c3，所以 a218，b 29，所以b2a2 12椭圆 E 的方程为 1x218 y296椭圆 y 21 被直线 x y10 所截得的弦长|AB| _x23解析：由 得交点为(0，1) ， ，x y 1 0，x23 y2 1) ( 32， 12)则|AB| (32)2 (112)2322答案：3227过椭圆 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐x25 y24标原点，则OAB 的面积为_解析：将椭圆与直线方程联立： 4x2 5y
12、2 20 0，y 2（x 1）， )解得交点 A(0， 2)，B 设右焦点为 F，(53，43)则 SOAB |OF|y1y 2|12 1 12 |43 2| 53答案：538已知椭圆的方程为 1( m0) 如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 xx216 y2m2 22轴上的射影恰为椭圆的右焦点 F，则椭圆的离心率为_解析：焦点在 x 轴上，由题意知，M (16 m2，m24)又因为点 M 在 y x 上，22所以 ，m24 22 16 m2解得 m2 ，2所以 e ca 224 22答案：229已知椭圆 1(ab 0) 截直线 yx 1 所得弦的长度为 ，且离心率为 ，x2b2 y2
13、a2 225 32求这个椭圆的方程解：因为 e ，所以 ，所以 a24b 2代入椭圆方程，得32 1 b2a2 324x2y 24b 20将 yx1 代入，得 5x22x14b 2 0(*)设直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则 x1，x 2 为方程(*)的两个相异实根，所以 420(1 4b 2)0，即 b2 由弦长公式得 ，解得 b2 ，所以 a21，所以所求椭15 252 2 ( 25)2 41 4b25 14圆的方程为 y 21x21410已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的
14、最长弦所在的直线方程解：(1)由 得 5x22mxm 2104x2 y2 1，y x m，)因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220( m21)0，解得 m 52 52(2)设直线与椭圆交于点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，由(1)知 5x22mx m 210，由根与系数的关系，得 x1x 2 ，x 1x2 (m21) 2m5 15所以弦长 d （x1 x2）2 （y1 y2）2 2（x1 x2）2 2（x1 x2）2 4x1x224m225 45（m2 1） ，25 10 8m2所以当 m0 时，d 最大，此时直线方程为 yxB 能力提升11(2018广东肇庆期末)已知动直线 y
15、k( x1) 与椭圆 C：x 23y 25 相交于 A、B 两点，点 M 的坐标为 ，则 的值是( )( 73，0) MA MB A B94 94C D49 49解析：选 D将 yk(x1)代入 x23y 25 中得(13k 2)x26k 2x3k 250，所以 36k44(3k 21)(3 k25) 48k 2200，设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，6k23k2 1 3k2 53k2 1所以 MA MB (x1 73，y1)(x2 73，y2) y 1y2 k 2(x11)(x 21)(x1 73)(x2 73) (x1 73)(x2 73)(1
16、k 2)x1x2 (x1x 2) k 2(73 k2) 499(1k 2) k 23k2 53k2 1 (73 k2)( 6k23k2 1) 499 k 2 3k4 16k2 53k2 1 499 49故选 D12F 1、F 2 为椭圆的两个焦点，以 F2 为圆心作圆，已知圆 F2 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于 M 点，若直线 MF1 恰与圆 F2 相切，则该椭圆的离心率 e_解析：易知圆 F2 的半径为 c，又直线 MF1 恰与圆 F2 相切，所以F 1MF2 是直角，因为|F 1F2|2c，|MF 2|c，|F 1M|2ac，所以在直角三角形 F1MF2 中，有(2ac) 2c 24c
17、2，化简得 c22ac2a 20，即 2 20，(ca)2(ca)所以 e 1( 负值舍去)ca 3答案： 1313设 F1，F 2 分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2x2a2 y2b2与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N(1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；34(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN| 5|F 1N|，求 a，b解：(1)根据 c 及题设知 M ， ，a2 b2 (c，b2a)b2a2c 342b23ac将 b2a 2c 2 代入 2b23ac ，解得 ， 2(舍去)ca 12 ca故 C
18、 的离心率为 12(2)由题意知，原点 O 为 F1F2 的中点，MF 2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0，2) 是线段 MF1 的中点，故 4，即 b24ab2a由|MN | 5|F1N|，得| DF1|2|F 1N|设 N(x1，y 1)，由题意知 y1b0)的右x2a2 y2b2顶点为 A，上顶点为 B，M 为线段 AB 的中点，若MOA30，则该椭圆的离心率为_解析：如图所示，因为MOA30，由直角三角形知识得BAO30 所以 tanBAO ，ba 13所以 a b，即 a23b 2，3又 a2b 2c 2，所以 a2 a2c 2，13所以 a2c 2，23所以 e
19、ca 23 63答案：6314(2018新乡高二检测)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1(ab0) 的x2a2 y2b2离心率为 ，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为 ，则椭圆 C 的方程为_32 4105解析：由题意知 ，a2 b2a 32可得 a24b 2椭圆 C 的方程可简化为 x24y 2a 2将 yx 代入可得 x ，5a5因此 ，可得 a2225a5 4105因此 b1所以椭圆 C 的方程为 y 21x24答案： y 21x24三、解答题15求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在 y 轴上，焦距是 4，且经过点 M(3，2)；(2)离心率为 ，且椭圆上一点到两焦点
20、的距离之和为 26513解：(1)由焦距是 4 可得 c2，又焦点在 y 轴上，则焦点坐标为(0，2)，(0 ，2)由椭圆的定义，知 2a 8，32 （2 2）2 32 （2 2）2所以 a4，所以 b2a 2c 216412所以椭圆的标准方程为 1y216 x212(2)由题意，知 2a26，即 a13，又 e ，所以 c5，ca 513所以 b2a 2c 213 25 2144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 1 或 1x2169 y2144 y2169 x214416设 F1，F 2 分别是椭圆 E： 1(ab0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭x2a2 y2b2圆
21、 E 于 A，B 两点， |AF1|3| BF1|(1)若|AB|4，ABF 2 的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cosAF 2B ，求椭圆 E 的离心率35解：(1)由|AF 1|3|F 1B|，|AB|4，得|AF 1| 3，| F1B|1因为ABF 2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，|AF1|AF 2|2 a8故|AF 2| 2a|AF 1|835(2)设|F 1B|k，则 k0，且|AF 1|3k，|AB |4k由椭圆定义可得|AF 2|2a3k，|BF2|2 ak在ABF 2 中，由余弦定理可得|AB| 2|AF 2|2|BF 2|22| AF2|BF2|c
22、osAF 2B，即(4k)2(2a 3k)2(2ak )2 (2a3k)(2ak)，化简可得(a k)(a3k)0，而 ak0，故65a3k于是有|AF 2|3k|AF 1|，|BF 2|5k因此|BF 2|2| F2A|2|AB| 2，可得 F1AF 2A，故AF 1F2 为等腰直角三角形从而 c a，22所以椭圆 E 的离心率 e ca 2217已知椭圆 C： y 21x23(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知定点 E(1，0)，若直线 ykx2(k0)与椭圆交于 A，B 两点，则是否存在实数 k，使得以 AB 为直径的圆过点 E？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由解：(1)由
23、题意，知 a23，b 21，则 a ，c ，3 a2 b2 2所以椭圆 C 的离心率为 ca 23 63(2)假设存在实数 k 满足条件，由 ，得(13k 2)x212kx90，y kx 2x23 y2 1)所以 (12k)236(13k 2) 0，即 k1 或 k1设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 ，x1 x2 12k1 3k2x1x2 91 3k2 )而 y1y2( kx1 2)(kx22)k 2x1x22k(x 1x 2)4要使以 AB 为直径的圆过点 E(1，0)，只需 AEBE，即 0，即 y1y2(x 11)(x 21)0，AE BE 所以(k 21)x 1x2(2
24、k1)( x1x 2)50将代入，解得 k ，满足题意76综上，存在 k ，使得以 AB 为直径的圆过点 E7618如图，椭圆 E： 1(ab0) 的离心率是 ，点 P(0，1) 在短轴 CD 上，且x2a2 y2b2 22 1PC PD (1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点，是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由OA OB PA PB 解：(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为 (0，b)，(0 ，b) 又点 P 的坐标为(0，1) ，且 1，PC PD 于是1 b2 1，ca 22，a2 b2 c2，)
25、解得 a2，b 2所以椭圆 E 的方程为 1x24 y22(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，点 A，B 的坐标分别为(x1，y 1)，( x2，y 2)联立直线与椭圆方程得 x24 y22 1，y kx 1，)得(2k 2 1)x2 4kx20其判别式 (4 k)28(2k 21)0 恒成立由根与系数的关系可得，x 1x 2 ，x 1x2 4k2k2 1 22k2 1从而， x 1x2y 1y2x 1x2(y 11)(y 2 1)(1)(1 k 2)OA OB PA PB x1x2k( x1x 2)1 2，（ 2 4）k2 （ 2 1）2k2 1 12k2 1所以当 1 时， 23 12k2 1此时， 3 为定值OA OB PA PB 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即直线 CD此时， 213OA OB PA PB OC OD PC PD 故存在常数 1，使得 为定值3OA OB PA PB
