1、2019 年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Mx |x0，N x|x240，则 MN（ ）A （，2（0，+） B （，22 ，+ ）C3，+） D （0，+ ）2 （5 分）在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）2019 年是中国成立 70 周年，也是全面建成小康社会的关键之年为了迎祖国70 周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动
2、如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ ）A甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4 （5 分）已知等比数列a n满足 ，且 a2a44（a 31） ，则 a5（ ）A8 B16 C32 D645 （5 分）已知函数 是奇函数，则曲线 yf（x）在 x1 处的切线得倾斜角为（ ）A B C D6 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 AE 的中点，设 ，则 （ ）A B C
3、 D第 2 页（共 28 页）7 （5 分）如图所示，网格上小正方形的边长为 1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D8 （5 分）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论” ，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径” 、 “随机端点” 、 “随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B，连接 AB，所得弦长 AB
4、大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，01 B0，1 C （，02 D0 ，210 （5 分）设 F1，F 2 分别为椭圆 的左右焦点，点 A，B 分别为椭圆 C 的右顶点和下顶点，且点 F1 关于直线 AB 的对称点为 M若 MF2F 1F2，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D11 （5 分）已知函数 在区间 上恰有一个最大值点和最小值点，则实数 的取值范围为（ ）A B C D12 （5 分）如图，在
5、四面体 ABCD 中，ABCD2，ACBD ，E，F第 3 页（共 28 页）分别是 AD，BC 中点若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）设实数 x，y 满足 则 的最大值为 14 （5 分）已知双曲线 ，且圆 E：（x2） 2+y21 的圆心是双曲线 C 的右焦点若圆 E 与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为 15 （5 分
6、）精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障某单位拟组成 4 男 3 女共 7 人的扶贫工作队，派驻到 3 个扶贫地区 A、B、C 进行精准扶贫工作若每一个地区至少派驻 1 男 1 女两位工作人员，且男性甲必须派驻到 A 地区，则不同的派驻方式有 种16 （5 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和，且 a13，当 n2 时，有Sn+Sn1 2S nSn1 2na n，则使得 S1S2Sm2019 成立的正整数 m 的最小值为 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演
7、算步骤.17 （12 分）已知ABC 中，AB BC，AC 2 ，点 D 在边 AC 上，且AD2CD，ABD 2CBD （1）求ABC 的大小；（2）求ABC 的面积第 4 页（共 28 页）18 （12 分）在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AB、AD 的中点，以CE，CF 为折痕将DFG 和 BCE 折起，使点 B、D 重合于点 P，连结 PA，得到如图所示的四棱锥 PAEF（1）求证：EFPC；（2）求直线 PA 与平面 PEC 所成角的正弦值19 （12 分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量 y（单位：千件）与月售价x（单位：元/件）之间的关系，对近
8、几年的月销售量 yi 和月销售价xi（i 1，2，3 ，10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，yc+dlnx 与 ybx+a 哪一个更适宜作为月销量 y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由） ，并根据判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为 Z（单位：千元） ，当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额月销售量 x 当月售价）参考公式、参考数据及说明：对一组数据（v 1，w 1） ， （v 2，w 2） ，（v n，w n） ，其回归直线 w+v 的斜率和截距
9、第 5 页（共 28 页）的最小二乘估计分别为 ， 参考数据：（x i） 2（u i） 2（x i ）（y i ）（u i ）（y i ）6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 143.25 27.54表中 uilnx i， ui计算时，所有的小数都精确到 0.01，如 ln4.061.4020 （12 分）已知抛物线 C： x24y，过点（2，3）的直线 l 交 C 于 A、B 两点，抛物线 C在点 A、 B 处的切线交于点 P（l）当点 A 的横坐标为 4 时，求点 P 的坐标；（2）若 Q 是抛物线 C 上的动点，当|PQ|取最小值时，求点 Q 的坐标及直线 l 的方程21
10、（12 分）已知函数 f（x ）e xae x （a+1 ）x （aR） （其中常数 e2.71828，是自然对数的底数） （1）求函数 f（x ）极值点；（2）若对于任意 0a1，关于 x 的不等式f（x ） 2（e a1 a）在区间（a1，+）上存在实数解，求实数 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数）圆 C2 的方程为（x2） 2+y24，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标
11、方程为 0（0） （l）求曲线 C1 和圆 C2 的极坐标方程：第 6 页（共 28 页）（2）当 时，射线 l 与曲线 C1 和圆 C2 分别交于异于点 O 的 M、N 两点，若|ON| 2| OM|，求MC 2N 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 （）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集；（）证明： 第 7 页（共 28 页）2019 年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Mx |x0，N x|x240，则 MN（ &nb
12、sp;）A （，2（0，+） B （，22 ，+ ）C3，+） D （0，+ ）【分析】先分别求出集合 M， N，再利用并集定义求解【解答】解：集合 Mx |x0，Nx| x240x|x 2 或 x2 ，MN x|x2 或 x0（，2（0，+） 故选：A【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：在复平面内，复数 i 所对应的点（ ， ）位于第三象限故选：C【点评】本题考查了复数的运算
13、法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）2019 年是中国成立 70 周年，也是全面建成小康社会的关键之年为了迎祖国70 周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ ）第 8 页（共 28 页）A甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差【分析】先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解【解答】解：由茎叶图可知：
14、 84， 84，即 ，故选项 A 错误，甲组选手得分的中位数为 83，乙组选手得分的中位数为 84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项 B 错误，由选项 B 可知，选项 C 错误，因为 S 甲 2 （7584） 2+（8284） 2+（8384） 2+（8784） 2+（9384） 2 ，S 乙 2 （7784） 2+（8384） 2+（8484） 2+（8584） 2+（9184） 2，即 S 甲 2S 乙 2，即选项 D 正确，故选：D【点评】本题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题4 （5 分）已知等比数列a n满足 ，且 a2a44（a 31） ，则 a5
15、（ ）A8 B16 C32 D64【分析】先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出 a5 的值【解答】解：等比数列a n满足 ，且 a2a44（a 3 1） ，则 q q34（ q21） ，第 9 页（共 28 页）解得 q24，a 5a 1q4 428，故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题5 （5 分）已知函数 是奇函数，则曲线 yf（x）在 x1 处的切线得倾斜角为（ ）A B C D【分析】由奇函数的定义可得 a0，求得 f（x ）的导数，求得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角【解答】解：函数 是奇函数，可得 f
16、（x） f（x ） ，可得 a0，f （x）x+ ，f（x）1 ，即有曲线 yf（ x）在 x1 处的切线斜率为 k121，可得切线的倾斜角为 ，故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线斜率，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题6 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 AE 的中点，设 ，则 （ ）A B C D【分析】由题可知， ，可求出【解答】解：由题可知， 故选：D【点评】本题考查了平面向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向第 10 页（共 28 页）量加法法则的合理运用7 （5 分）如图所示，网格上小正方形的边
17、长为 1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【分析】首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用表面积公式求出结果【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为 2，高为 2，圆柱的底面半径为 1，高为 2所以：S 故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用8 （5 分）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论” ，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径” 、 “随机端点” 、 “随机中点”三个
18、合理的求解方法，但结果都不相同该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B，连接 AB，所得弦长 AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）A B C D【分析】由题意画出图形，求出满足条件的 B 的位置，再由测度比是弧长比得答案第 11 页（共 28 页）【解答】解：设“弦 AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件 M，以点 A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形 ACD，如所示，则要满足题意点 B 只能落在劣弧 CD 上，又圆内接正三角形 A
19、CD 恰好将圆周 3 等分，故 P（M） ，故选：C【点评】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦 AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题9 （5 分）已知函数 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，01 B0，1 C （，02 D0 ，2【分析】求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定满足条件的 a 的范围即可【解答】解：函数 ，f（x ） + ，x0，当 a0 时，f（x ） 0 恒成立，f（x）是增函数，x+时，f（x）+ ，f（1）a10，函数 有且仅有一个零点；当 a0 时，令
20、 f（x ）0，解得：xa，令 f（x）0 ，解得：xa，故 f（x）在（0 ，a）递减，在（a，+）递增，故只需 f（x） minf（a）lna 0，解得：a1，综上：实数 a 的取值范围为（，01故选：A【点评】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题第 12 页（共 28 页）10 （5 分）设 F1，F 2 分别为椭圆 的左右焦点，点 A，B 分别为椭圆 C 的右顶点和下顶点，且点 F1 关于直线 AB 的对称点为 M若
21、 MF2F 1F2，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】画出图形，利用已知条件求出 A 的坐标，然后求解 MF1 的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率【解答】解：F 1、F 2 分别是椭圆 C： 的左、右焦点，点 A，B 分别为椭圆 C 的右顶点和下顶点，点 F1 关于直线 AB：bx ayab 的对称点 M，且 MF2F 1F2，可得 MF2 的方程为xc，MF1 的方程 y ，可得 M（c， ） ，MF1 的中点为（0， ） ，代入直线 bx+ayab，可得： acb 2a 2c 2，e 1，可得 e2+e1 0，解得 e 故选：C【点评】本题考查椭圆的简单
22、性质的应用，是基本知识的考查11 （5 分）已知函数 在区间 上恰有一个最大值点和最小值点，则实数 的取值范围为（ ）A B C D第 13 页（共 28 页）【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数 ，2sin（x+ ） 令： ，所以：f（x） 2sint，在区间 上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数 y2sint 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 ，则： ，解得： ，即： 故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和
23、转换能力，属于基础题型12 （5 分）如图，在四面体 ABCD 中，ABCD2，ACBD ，E，F分别是 AD，BC 中点若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A B C D第 14 页（共 28 页）【分析】补成长，寛，高分别为 ， ，1 的长方体，在长方体中可解决【解答】解：补成长，寛，高分别为 ， ，1 的长方体（如下图）由于 EF，故截面为平行四边形 MNKL，可得 KL+KN ，设异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ，则 sinsinHFBsinLKN，算得 sin ，S 四边
24、形 MNKLNK KLsinNKL （ ） 2 ，当且仅当 NKKL 时取等号故选：B【点评】本题考查了平面的基本性质及推论，属中档题二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）设实数 x，y 满足 则 的最大值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数 的几何意义，即可行域内的点与定点 D（1，0）连线的斜率求解【解答】解：由实数 x，y 满足 作出可行域如图，联立 ，得 A（2，2） ，由 z ，而 kDA 2目标函数 的最大值为 2故答案为：2第 15 页（共 28 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想
25、方法，是中档题14 （5 分）已知双曲线 ，且圆 E：（x2） 2+y21 的圆心是双曲线 C 的右焦点若圆 E 与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为 1 【分析】根据双曲线方程表示出 F 坐标，以及渐近线方程，由以点 F 为圆心，半径为 1的圆与双曲线 C 的渐近线相切，得到圆心 F 到渐近线距离 d1，整理得到 a，b，即可求解双曲线方程【解答】解：根据题意得：圆 E：（x2） 2+y21 的圆心 F（2，0） ，半径为 1，双曲线渐近线方程为 y x，即bx ay0，以点 F 为圆心，半径为 1 的圆与双曲线 C 的渐近线相切，且 4a 2+b2，圆
26、心 F 到渐近线的距离 d b1，可得 a ，所以双曲线方程为： 1故答案为： 1【点评】此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键15 （5 分）精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障某单位拟组成 4 男 3 女共 7 人的扶贫工作队，派驻到 3 个扶贫地区 A、B、C 进行精准扶贫工作若每一个地区至少派驻 1 男 1 女两位工作人员，且男性甲必须派驻到 A 地区，则不同的派驻方式有 72 种第 16 页（共 28 页）【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，只有甲一名男性工作人员派到 A 地区：，甲与另外一名男性工作人员
27、一起派到 A 地，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：，只有甲一名男性工作人员派到 A 地区：需要在 3 名女性工作人员中任选 1 人，与甲一起派到 A 地区，将剩下的 3 名男性工作人员分成 2 组，与剩下的 2 名女性工作人员一起全排列，对应 B、C 两个地区，此时有 C31C32A22A2236 种派驻方法；，甲与另外一名男性工作人员一起派到 A 地：需要在 3 名男性工作人员中任选 1 人，在 3 名女性工作人员中任选 1 人，与甲一起派到A 地区，将剩下的 2 名男性工作人员与剩下的 2 名女性工作人员一起全排列，对应B、C 两个地区，此时有 C31C31
28、A22A2236 种派驻方法；则一共有 36+3672 种派驻方法；故答案为：72【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题16 （5 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和，且 a13，当 n2 时，有Sn+Sn1 2S nSn1 2na n，则使得 S1S2Sm2019 成立的正整数 m 的最小值为 1009 【分析】把已知数列递推式变形，得到 ，令 ，则bnb n1 2（n2） ，可知数列b n是以 为首项，以 2 为公差的等差数列，求其通项公式，得到 Sn，再由累积法求得 S1S2Sm，求解不等式得答案【解答】解：S n+Sn1 2S nSn1 2na n，
29、S n+Sn1 2S nSn1 2n（S nS n1 ） ，2S nSn1 （2n+1）S n1 （2n1）S n， 令 ，则 bnb n1 2（n2） 第 17 页（共 28 页）数列b n是以 为首项，以 2 为公差的等差数列b n2n1即 ，得 S 1S2Sm 由 2m+12019 ，解得 m1009即正整数 m 的最小值为 1009故答案为：1009【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知ABC 中，AB BC，AC
30、2 ，点 D 在边 AC 上，且AD2CD，ABD 2CBD （1）求ABC 的大小；（2）求ABC 的面积【分析】 （1）由已知设ABD2CBD2 利用三角形的面积公式可求 ，结合 SBDC ， ，AB BC，可求 cos ，解得 ，可求ABC ABD + CBD3 （2）在ABC 中，由余弦定理可求得 BC2，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）AD2CD，设 ABD2CBD2 ，S BDC ， ，AB BC，解得：cos ，可得： ，ABCABD+ CBD3 8 分第 18 页（共 28 页）（2）在ABC 中，由余弦定理，可得：AC 2AB 2+
31、AC2 2ABBCcos3，因为 AC2 ，AB BC，可得（2 ） 2（ BC） 2+BC22 BCBCcos ，解得 BC2，10 分可得 SABC ABBCsin3 212 分【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AB、AD 的中点，以CE，CF 为折痕将DFG 和 BCE 折起，使点 B、D 重合于点 P，连结 PA，得到如图所示的四棱锥 PAEF（1）求证：EFPC；（2）求直线 PA 与平面 PEC 所成角的正弦值【分析】 （1）连接
32、AC，BD，EF，通过证明 PC平面 PEF 得出 PCEF，根据中位线定理得出 EFAC，故而可得 EF平面 PAC，于是 EFPC；（2）根据 VE PACV APCE 计算 A 到平面 PCE 的距离，再计算线面角的正弦值；【解答】解：（1）连接 AC， BD，EF，设 EFACO，连接 OPPCPE，PCPF ，PEPFP，PC平面 PEF，PCEF四边形 ABCD 是正方形，ACBD ，E，F 分别是 AB，AD 的中点，EFBD ，EFAC，又 PCACC，EF平面 PAC，又 PC平面 PAC，第 19 页（共 28 页）EFPC（2）由（1）可知 EF平面 PAC，PC 平面
33、PEFOC AC3 ，PC4，PO ，sinPCA ，cosPCA ，S PAC PA ，又 OE EF ，V EPAC ，又 SPCE 244，设 A 到平面 PCE 的距离为 h，则 VA PCE 4h ，解得 h 直线 PA 与平面 PEC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题19 （12 分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量 y（单位：千件）与月售价x（单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量 yi 和月销售价xi（i 1，2，3 ，10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图第 20 页（共 28 页）（1）根据
34、散点图判断，yc+dlnx 与 ybx+a 哪一个更适宜作为月销量 y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由） ，并根据判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为 Z（单位：千元） ，当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额月销售量 x 当月售价）参考公式、参考数据及说明：对一组数据（v 1，w 1） ， （v 2，w 2） ，（v n，w n） ，其回归直线 w+v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 参考数据：（x i） 2（u i） 2（x i ）（y i ）（u i ）（y i
35、）6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 143.25 27.54表中 uilnx i， ui计算时，所有的小数都精确到 0.01，如 ln4.061.40【分析】 （1）根据散点图得到 yc+dlnx 更适合销量 y 关于月销售价格 x 的回归方程类型，结合表格数据进行计算即可（2）求出 z 的表达式，求 z 的导数，结合函数的单调性最值之间的关系进行判断即第 21 页（共 28 页）可【解答】解：（1）yc +dlnx 更适合销量 y 关于月销售价格 x 的回归方程类型，令 ulnx，先建立 y 关于 u 的线性回归方程， 10.20，6.6+10.201.7524.45，y
36、关于 u 的线性回归方程为 ，因此 y 关于 x 的回归方程为 （2）由题意得 zxyx（24.4510.20lnx） ，则 zx（24.4510.20lnx）14.2510.20lnx，令 z0 得 14.2510.20lnx0，得 lnx1.40，得 x4.06，当 x（0，4.06 ）时，z0，此时 z 单调递增，当 x（4.06，+）时，z 单调递减，故当 x4.06 时，z 取得最大值，即月销售量 y10.17（千件）时，月销售额预报值最大【点评】本题主要考查回归方程的应用，结合数据进行计算，求出相应的系数是解决本题的关键考查学生的计算能力20 （12 分）已知抛物线 C： x24y
37、，过点（2，3）的直线 l 交 C 于 A、B 两点，抛物线 C在点 A、 B 处的切线交于点 P（l）当点 A 的横坐标为 4 时，求点 P 的坐标；（2）若 Q 是抛物线 C 上的动点，当|PQ|取最小值时，求点 Q 的坐标及直线 l 的方程【分析】 （1）通过导数的几何意义求得 PA，PB 的斜率，再求得 PA，PB 的方程，再联立解得 P 的坐标：（2）设出 A，B 的坐标后利用导数的几何意义求得 PA，PB 的方程，联立解得 P 的坐标，得点 P 在定直线 xy 30 上，点 P 在直线 xy30 上，当| PQ|取得最小值时，即抛物线 C：x 24y 上的点 Q 到直线 xy30
38、的距离最小再利用点到直线距离公式求出 Q 到直线 xy30 的距离及其最小值的条件，可得 Q第 22 页（共 28 页）的坐标，从而可得直线 l 的方程【解答】解：（1）点 A 的横坐标为 4，A（4，4） ，易知此时直线 l 的方程为y x+2，联立 ，解得 ，或 ，B（2，1） 由 y 得 y ，所以 kPA2，直线 PA 的方程为 y2x4，同理可得直线 PB 的方程为 yx 1，联立； ，可得 ，故点 P 的坐标为（1，2） （2）设 A（x 1， ） ，B（x 2， ） ，由 y 得 y ，所以 kPA ，所以直线 PA 的方程为 y （x x 1） ，即 y x ，同理 PB 的方
39、程为 y x ，联立解得 P（ ， ） ，依题意直线 l 的斜率存在，不妨设直线 l 的方程为 y3 k（x2） ，由 得 x24kx+8k120，易知0，因此 x1+x24k，x 1x28k12，P（2k，2k3） ，点 P 在直线 xy 30 上，当 |PQ|取得最小值时，即抛物线 C：x 24y 上的点 Q 到直线 xy30 的距离最小设 Q（x 0， ） ，Q 到直线 xy30 的距离d + ，所以当 x02 时，d 取最小值 ，此时 Q（2，1） ，易知过点 Q 且垂直于 xy30 的直线方程为 yx+3 ，由 解得 P（3，0） ，k ，所以直线 l 的方程为 y x，第 23 页
40、（共 28 页）综上，点 Q 的坐标为（2，1 ） ，直线 l 的方程为 y x【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属难题21 （12 分）已知函数 f（x ）e xae x （a+1 ）x （aR） （其中常数 e2.71828，是自然对数的底数） （1）求函数 f（x ）极值点；（2）若对于任意 0a1，关于 x 的不等式f（x ） 2（e a1 a）在区间（a1，+）上存在实数解，求实数 的取值范围【分析】 （1）求出 f（x ）e x+aex （a+1） ，根据a0，0a1，a1，a1，进行分类讨论，利用导数性质能求出函数 f（x）的极值点（2）令 g（a）lnaa+1，则 ，当 0
41、a1 时，g（a）0，a1lna，f（x）在区间（a1，+）上的最小值为 f（0）1a，只需当0a1 时，关于 a 的不等式（1a） 2（e a1 a）恒成立，只需当 0a1 时，不等式 恒成立即可，令函数 F（x） ，0x1，则 F（x），求出 F（x ） ，利用导数性质能求出实数 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（ x）e xae x （a+1 ）x （aR） 第 24 页（共 28 页）f（x）e x+aex （a+1） ，当 a 0 时，x （，0） 0 （0，+ ）f（x） 0 +f（x） 极小值 函数 f（x）的极小值
42、点为 x0，无极大值点当 0 a1 时，x （，lna）lna （lna，0） 0 （0，+）f（x） + 0 0 +f（x） 极大值 极小值 函数 f（x）的极大值点为 xlna ，极小值点为 x0当 a 1 时， 0，函数 f（x）单调递增，即 f（x）无极值点当 a 1 时，x （，0） 0 （0，lna） lna （lna，+）f（x） + 0 0 +f（x） 极大值 极小值 函数 f
43、（x）的极大值点为 x0，极小值点为 xlna综上：当 a0 时，函数 f（x）的极小值点为 x0，无极大值点当 0a1 时，函数 f（x ）的极大值点为 xlna ，极小值点为 x0当 a1 时，函数 f（x ）无极值点当 a1 时，函数 f（x ）的极大值点为 x0，极小值点为 xlna（2）e x1+x，当且仅当 x0 时取等号，第 25 页（共 28 页）当 0a1 时，lnaa1 0，当 0a1 时，e a1 1+a1a，lnaa10，令 g（a）lnaa+1，则 ，当 0a1 时，g（a）0，g（a）g（1）0，即 a1lna，a10，lnaa10 ，由（1）知 0a1 时，f（
44、x）在区间（a1，0）上递减，在（0，+）上递增，f（x）在区间（ a1，+）上的最小值为 f（0）1 a，关于 x 的不等式 f（x ） 2（e a1 a）在区间（a1，+）上存在实数解，只需当 0a1 时，关于 a 的不等式（1a） 2（e a1 a）恒成立，当 0a1 时，e a1 a0，只需当 0a1 时，不等式 恒成立即可，令函数 F（x） ，0x 1，则 F（x） ，0x 1，F（x） ，令函数 （x）（3x）e x1 在点 T（1，2）处的切线方程为 y2x1，即yx+1，如图所示，由题意得（3x）e x1 x+1，当且仅当 x1 时，取等号，当 0x1 时，G （x）0，当 0
45、x1 时，F（x）0，F（x ）F （0）e ，即 F（x）e，当 0a1 时，不等式 恒成立，只需 e综上，实数 的取值范围是e，+） 第 26 页（共 28 页）【点评】本题考查利用导数研究函数极值点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用分类讨论思想、数形结合思想求解，是难题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数）圆 C2 的方程为（x2） 2+y24，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线
46、 l 的极坐标方程为 0（0） （l）求曲线 C1 和圆 C2 的极坐标方程：（2）当 时，射线 l 与曲线 C1 和圆 C2 分别交于异于点 O 的 M、N 两点，若|ON| 2| OM|，求MC 2N 的面积【分析】 （1）由 ，得 C1 的普通方程为 +y21；把 xcos ，ysin代入，得 +（sin） 21，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得【解答】解：（1）由 ，得 C1 的普通方程为 +y21，把 xcos ，ysin 代入，得 +（ sin） 21，即 2 ，所以 C1 的极坐标方程为 2 ，由（x2） 2+y24，把 xcos，ysin 代入，得 4cos，所以 C2 的极坐标方程为 4cos（2）把 0 代入 2 ，得 M2 ，把 0 代入
