1、第 19 讲数字谜综合二内容概述各类综合性较强的复杂数字谜问题典型问题兴趣篇1将 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案，42在算式 中，a、b、c 分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是18多少？3如图 19-1，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以 12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆圈内逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数请问：对于第一行中不同的自然数 z，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？4将最小的 10 个合数填到图 19-2 的 10 个空格中，要求满足以下条件：填人的数能被它所在列的最上面给出的数整除；第三行中每个数都比它上面那一格中的数大；请问
2、：第三行中 5 个数的和最小等于多少？5将 l 至 7 这 7 个自然数填入图 19-3 中的 8 个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数字各用一次，并使图中右下角的 4 个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格内两个数的平均数，请给出一种填法，并求出共有多少种填法6请将数字 1 至 9 分别填入图 19-4 中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的差（大减小）均为 3 或 4请给出一种填法，并求出共有多少种填法7 . 301 6,. ,.0 6,. 在上面 4 个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除 4 个运算符号，使 4 个算式的得数之和尽可能大请问：这个最大的和
3、等于多少？8请用 0、l、2、3,4、5、6 、7、8、9 这 10 个数字各一次，组成 5 个自然数，使得它们依次是某个自然数的 l、2、3、4、 5 倍9在如图 19-5 所示表格第二行的每个空格内，填人一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，第二行中的 5 个数字各是多少？10图 19-6 中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字，且 是 5 的倍数，FIVE是 4 的倍数，求 的所有可能值FOURNIE拓展篇1自然数 12 和 60 是一对很有趣的数，它们的积 1260= 720，恰好是 12 +60 = 72 的 10 倍，满足上述条件的数对还有哪些，请再举出
4、 3 对2将 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案63求方程 的所有正整数解ba1354将 写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？215 表示一个四位数， 表示一个三位数，A、B 、C、D、E、F、G 分别代表 1ABCDEFG至 9 中不同的数字已知 =1993.请问：乘积 的最大值与最小CDAB值相差多少？6从 1 至 9 中选出 8 个数字填入算式“口口口口+口口口口= 13579”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立，请问：(1)没有被选出的数字是多少？ (2)两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？7在下面两个算式： =D ， =D 中，相同的字母代表相
5、同的数字，ABCDEBAFG不同的字母代表不同的数字，求 B + D + F 的值8小明按照下列算式：乙组的数甲组的数1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号，他将计算结果填入图 19-7 的表中有人发现表中 14 个数中有两个数是错的，请你改正请问：改正后的两个数的和是多少？9如图 19-8，请在这个 36 方格表的每个空格中填人一个整数，使得对于第一行中的每个数，它在第二行中出现的次数恰好等于该列第三行所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行所填的数 （例如第二行第一列中的 3，表示第三行中有 3 个 0 ）10在图 19-9 所示的 33 方格
6、表中， “北、京、巨、人、学、校、欢、迎、你 ”这 9 个汉字分别表示 1 至 9 中的不同数字，并满足：每一个“田”字形内 4 个数之和都相等；北 2=迎 2+你 2； 学校请问：“北京巨人学校欢迎你”所代表的九位数是多少？11将 1 至 9 填入图 19-10 的圆圈内，使图中所有三角形（共 7 个）的 3 个顶点上数字之和都相等12图 19-11 中有大、中、小 3 个正方形，组成了 8 个三角形，现在先把 1、2、3、4 分别填在大正方形的 4 个顶点上，再把 l、2、3、4 分别填在中正方形的 4 个顶点上，最后把1、2、3、4 分别填在小正方形的 4 个顶点上，请问：(1)能否使
7、8 个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由(2)能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由超越篇1请在算式“ ”的每个方框中填入一个数字，使其成为等式，请写出所有的可能。2在图 19-12 的算式中填入 0 至 9 各一次，使算式成立算式结果的四位数最小可能是多少，最大可能是多少？3在图 19-13 所示的除法竖式中，只知道一个数字 “3”，且商是一个循环小数问被除数是多少？4图 19-14 中有 11 条直线请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以
8、及标有术的圆圈中所填的数5将 1 至 12 这 12 个自然数填人图 19-15 的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均相等这个和数最大是多少？请给出一种填法6在图 19-16 的五个圆圈内各填人一个正整数（可以填相同的数） ，使得图中八个三角形的顶点数字之和互不相同满足这个条件的自然数有很多组，求使得所填五个数之和最小的一组7图 19-17 中共有 9 条直线，每条直线上有 3 个圆圈现将 1 至 9 填人图中的圆圈内，能否找到满足下列要求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由(1)使得每条直线上 3 个圆圈内所填数之和都相等；(2)使得其中有 8 条直线上 3
9、 个圆圈内所填数之和相等8(1)请将 1 -15 填人图 19-18 中左边的 15 个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数） ，其中数字 11 已填好(2)能 否 将 1 -21 这 21 个 自 然 数 分 别 填 入 图 19-18 中 右 边 的 各 个 圆 圈 里 ， 使 得 除 了 第 一 行 以 外 ，每 个 圆 圈 内 韵 数 都 等 于 其 肩 膀 上 两 个 圆 圈 内 的 数 之 差 （ 大 数 减 小 数 ） ?如 果 能 ， 请 给 出 一 种 填法 ； 如 果 不 能 ， 请 说 明 理 由 。第1 9 讲 数字迷 综
10、合二兴趣篇1、 将 1 表示 成两 个自 然数 的 倒数之 和 ， 请给 出所 有的 答案 。4【 答案 】 1 1 1 1 1 1 1 4 5 20 6 12 8 8分析 设 a, b 是两 个互 质的 自然 数 ， 那么 1 a b a b 。 由 于 a, b4 4 a b 4 a b 4 a b 互 质 ，如 果 a ， b 是 两 个 自 然 数 的 倒 数，那 么 a ,b 是 4 的 约 数 。那么4 a b 4 a ba ,b 1,1;1, 2;1, 4 。 1 1 1 1 1 1 1 。2、 在算 式 118是多少 ？【 答案 】 144 8 8 6 12 5 20 1 1
11、1 1中 ，a 、b 、c 分别代 表三个 不同 的自 然数 ， 这 三个数 的和 可能a b c分析 如果 a ,b,c 都比2 大 ， 那么 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .因 此 a, b, c 中必有 一个18 a b c 18 3 4 5数为2 ， 不 妨令a 2 。 1 1 1 1 1 1 1 4 b c 4 4bc 9 b c 。 显然 ， b ,c18 2 b c b c 9 bc 9中必然 有3 的倍 数 。 如果 b, c 中没 有3 ， 那么 1 1 1 1 5 4 ， 因 此必 有一个 数 为3 。b c4 1 1 ， 因此 ， a ,b,c 2, 3, 9 ，a
12、 b c 14 。9 3 94 6 12 93、 如图 ， 将 图中 每一 行左 右相邻 的两 数相 加 ， 再 除 以12 ， 将 所得 的余 数写 在 它们下 一行 相 应的圆 圈内 。 逐 行依 次进 行上面 的操 作 ， 最后 得到 最低端 的一 个数 。 请 问： 对于第 一行中不同 的自 然数x ， 最 底端 的数一 共有 多少 种取 值 ， 分别是 什么 ？1 x 5 7 9【 答案 】 3种 ； 分别 是 8， 0， 4分析 我们可 以先 求和 ， 最 后再 取余数 。 如 果起 始 5 个数 是 a ,b,c ,d ,e ， 那 么最 后一 个数是a 4b 6c 4 d e
13、。 在 这道 题中 ， 最 后一 个数是 1 4 x 6 5 4 7 9 4 x 68 。 又4 x 68 4 x 8 mod 12 ， 余 数只 能 是0,4 ,8， 共 3 种 。4、 将 最小 的 10个合 数填 到图中 的 10个 空格 中 ， 要 求满足 以下 条件 ： 填入 的数 能被 它所 在 列的最 上面 给出 的数 整除 ； 第三 行中 每个 数都 比 它上面 那一 格中 的数 大 ； 请问 ： 第三 行 中5 个 数的 和最小 等于 多 少 ？3 66 129 182 414 416 82 3 4 5 614 6 4 10 1216 9 8 15 182 3 4 5 6【
14、答案 】 66分析 填入的 数有 ： 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 那 么我 们可以 确定 的有 ： 5 下面 填10,15。剩下 的3 的 倍数 的数 有6 ,9,12,18， 必 须要 填在3 和6 下面 。 为了 让第 3 行 数字 尽量小 ，有 ： 。 剩 下 4,8,14,16 必 须填 在2 和4 下 面。 为了 让第3 行尽 量小 ， 有 。那么整 个表 格填 法如 下 ： 。 第3 行5 个数 的和 最小 为665、 将 1 至 7 这 7 个 自然 数 填入图 中 的 8 个 方格 内 ， 要求其 中有 一个 数字 用两 次， 其 余数 字 各用 1
15、次 ， 并使 图中 右下 角的 4 个方 格中 的 每 格内 所填的 数均 等于 它上 方和 左方相 邻方 格内两 个数 的平 均数 。 请 给出一 种填 法 ， 并求 出共 有多少 种填 法 。【 答案 】a cb a b2 a b 2c4d a b 2d4 a b c d4分析 如右上 图 。 1-7 这7 个数 中 ， 1和 7是特 殊数 ， 因 为没有 哪两 个数 的平 均数 是1 或7因 此 1,7只能 填在 a, b, c, d 这4 个位置 中 根据 右下 角 的 4 个数可 以推 断 ： 4 | a b; 4 | c d ;且 c, d 为偶 数 。 那么 只有 a, b 1,
16、 7; c, d 2, 6 。 共 有4 种 填法 ， 其 中一 个如 下图 ：1 67 4 52 3 46、 请 将数 字 1 至9 分别 填 入图中 的各 个圆 圈中， 使 得图中 每条 线段 两个 端点 中所填 的数 的 差（ 大 减小 ） 均 为 3 或4 。 请给 出一 种填 法 ， 并求 出共有 多少 种填 法 。【 答案 】a x f b ey c d z分析 如右图 ，x , y, z 是图中 的特 殊位 置 。 因 为x 和四个 数相 邻 ， 那么它 和4 个数 的差 为3或 4。 因 此 x 5 ，a , b, e, f 1, 2, 8, 9 。y , z 与3 个 数 相
17、邻 ， 因此 y, z 4, 6 。y 6, z 4 和y 6, z 4 的情况 是对 等的 。 那 么我 们只考 虑一 个 。如果y 4, z 6 ， 那 么a , b, c 1.7.8; d, e, f 2, 3, 9 。 那么c 7, d 3 ； a ,b 1, 8;e, f共有4 种不 同填 法 。 再考 虑y 6, z 4 的情 况 ， 又 有4 种 。 共8 种 。 2, 9 。a 5 f b e4 c d 67、 6 0.3= ， 6 10.3= ， 6 0.3 = ， 6 10.3= 。在 上面4 个 算式 的方 框 中 ， 分 别填 上加 、 减 、 乘 、 除 4个运 算符
18、 号 ， 使 4个算式 的得 数 之和尽 可能 大 。 请问 ： 这 个最大 的和 等于 多少 ？【 答案 】 54. 6分析 要让和 最大 ， 那么 乘以 最 大的 ， 除 以最 小的 ； 加 上 次大的 ， 减去 次小 的 。 于 是和的最大值 为 6 0.3 6 10.3 6 0.3 6 0.3 54.6 。8、 请 用 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这1 0个 数 字各一 次 ， 组 成 5 个 自然 数 ， 使 得它 们 依次是 某个 自然 数 的1 、 2、 3、 4、 5 倍 。【 答案 】 18， 36， 54， 72， 90分析 设这个 自然 数n
19、 的数位 和是a ， 那么 n 的k 倍的数 位和 为ka 9 进 位 次 数。 因 此这5个数 的数 位和 是 ：a 2a 3a 4a 5a 9 总 的 进 位 次 数 15a 9 总 的 进 位 次 数又5 个 数的 数位 和 是45 ， 是9 的 倍数 。 因 此 9 | a 9 | n 。如果 n 是一位 数 ， 那么5 n 不可 能是三 位数 ， 5 个 数不 可能 把 10个数 字各 用一 次 。 如 果n是两位 数 ， 那么 要求5 n 100 n 20 ， 因 此 n 18 。 5 个数 是 ： 18， 36， 54， 72， 90。0 1 2 3 4a b c d e9、 在
20、 如图 所示 表格 第二 行 的 每个 空格 内 ， 填入 一个 整数 ， 使它 恰好 表示 它上 面的那 个数 字 在第二 行中 出现 的次 数 。 第二行 中 的5 个 数字 各 是 多少 ？0 1 2 3 4【 答案 】 从 左至 右分 别 是2 ， 1， 2， 0， 0分析 a ,b,c ,d ,e 分别代 表0 ,1,2,3,4 在 a ,b,c ,d ,e 中出现的 次数 。a ,b,c ,d ,e 必然都 是一 位数 ， 那 么它 们共 有5 个 数字 ， 因 此a b c d e 5 。（ 1）e 0 。 否则 a, b, c, d 中必 有1 个 数 是4 ， 那 么 5 个
21、 数中 有4 个数相 同 ， 这 是不 可能 的 。（ 2）d 0 。 否 则 a, b, c 中必有1 个 数 是3 ， a, b, c, d 中有 3 个 数相 同 ， 这也是 不可 能的 。（ 3） 由上 两点 ，a 2 。 但是a 3 ， 否则d 0 。 因此a 2 。（ 4） a 2 ， 那么c 1 。 如果c 1 ， 那么 我 们不能 找到b 的 取 值。 那 么 c 2 。 由此可 得 ， b 1 。0 1 2 3 42 1 2 0 010、 图中 相同 字 母 表示 相 同数字 ， 不同 字母 表示 不 同数字 。 且F IVE 是5 的 倍数 ， FOUR 是4的倍 数 ，
22、求N INE 的所有 可能 值 。【 答案 】 3235， 3435， 3835F I V E F O U R N I N EE R E R 0 U 2, 4, 6, 8 F I V 5分析 4 | FOUR F O U 05 | FIVE , R 0 E 5 O 9N I N 5I O I, O 0 V U 10 F 1, N 3F F 1 N 3 I V 5 F 3, N 7（ 1） 若F 3, N 7 3 9 U 0 U V 17 ， 没 有 合 适 的 的 U ,V 。7 I 7 51 I V 5（ 2） 若F 1, N 3 1 9 U 0 U V 13 U ,V 6, 7 ， 此时I
23、 2, 4, 8 ， 所 以，3 I 3 5NINE 的 值 为323 5,3435 或383 5。拓展篇1、 自 然数12 和60是一 对 很有趣 的数 ， 它 们的 积 1260=720， 恰好 是1 2+60=72 的1 0倍 ， 满足上 述条 件的 数对 还有 哪些 ， 请再 举 出 3 对 。【 答案 】 （ 20， 20（15 ， 30（ 11， 110（ 14， 35），分 析 设这 两 个 数 是 a ,b ， 那么a b 10 a b a b 1 1 1ab a b 10 ， 那 么就转 化成 了一 个分数拆 分问 题 。设x , y 是 两 个互 质 的自 然数 ， 1 x
24、 y x y 。 如果 x 和10 10 x y 10 x y 10 x y 10 x yy10 x y 是两个 自然 数的 倒数 ， 那 么x , y 是1 0的 约数 。 于 是有 ：x , y 1,1;1, 2;1, 5;1; ,10; 2, 5 ，对应的 a, b 的值 是 ： 20,2015,3012,6011,1101435 。 除 去 12,60 外还有 4 对 。2、 将 1 表示 成两 个自 然数 的 倒数之 和 ， 给出 所有 的答 案 。6【 答案 】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 7 42 8 24 9 18 10 15 12 12分析 设 a, b
25、是 两 个互 质的 自然 数 ， 那么 1 a b a b 。 由 于 a, b6 6 a b 6 a b 6 a b互 质 ，如 果 a ， b 是 两 个 自 然 数 的 倒 数，那 么 a ,b 是 6 的 约 数 。那么6 a b 6 a b a ,b 1,1; 1, 2; 1, 3; 1,6; 2,3 。 对应 的拆 分方 法有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 。3、 求 方程 1 1 1 的所 有正 整数 解 。6 12 12 9 18 8 24 7 42 10 15a 35 b【 答案 】 a 1190， a 210， a 140， a 14b 34 b 30 b 2
26、8 b 10分析 1 1 1 。 设x , y 是两个 互质 的自 然数 ， 1 x y x y35 b a 35 35 x y 35 x y 35 x y 如果 x35 x y 和 y35 x y 是两 个自 然数 的倒 数 ， 那 么x , y 是 35 的 约数 ， 且 不能同 时 为 1. a 210满足条 件的 数组 有 ： x, y 5,1, 7,1, 7, 5 , 35,1 ， 对 应 的所有 解有 ： a 1190， ， a 140b 28a 14 。b 10b 34 b 304、 将 1 写成 三个 自然 数 （ 可 以相同 ） 的 倒数 之和 ， 共 有多少 种方 法 ？2
27、【 答案 】 10种分析 设3 个 自然 数分 别为 a, b, c ， 且a b c 。 那么a 3 。 又 1 1 1 1 ， 那么 a 6 。6 6 6 2（ 1）a 3 时 ， 1 1 1 ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 5 种 拆法 ；b c 6 6 12 12 9 18 8 24 7 42 10 15（ 2）a 4 时 ， 1 1 1 ， 1 1 1 1 1 1 1 ， 3 种 拆法 ；b c 4 4 5 20 6 12 8 8（ 3）a 5 时 ， 1 1 3 ， 3 1 1 ， 1 种 拆法 ；b c 10 10 5 10（ 4）a 6 时 ， 1 1 1
28、， 1 1 1 ， 1 种 拆法 。b c 12共计1 0种 拆法 。12 6 65、 ABCD 表示一 个 四 位 数 ， EFG 表示 一个三 位数 ，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别 代表 1 至 9 中 不同 的数 字 。 已知A BCD EFG 1993。 请问 ： 乘 积 ABCD EFG 的最大 值 与最小 值相 差多 少 ？【 答案 】 525000分析 和相同 ， 差 小积 大 。 考虑 到 7 个 字母 代表 不同 数字 ， 那么 ABCD 最小 是 1234， 那 么EFG 1993 1234 759 。 乘 积 最 大 为 1234 759 ；和相同 ， 差
29、 大积 小 。 由于 A 1 ， 那么 EFG 的最 小值 为 234， 那 么 ABCD 1759 。 乘 积最 小为 1759 234 。最大值 与最 小值 的差 为 ： 1234 759 1759 234 525000 。6、 从 1至 9 中 选出8 个数 字填入 算式 “ =13579”的 方框 中 ， 每 个数 字 恰好填 一次 ， 使 等式 成立 。 请问 ：（ 1） 没 有被 选出 的数 字 是多少 ？（ 2） 两 个四 位数 中较 大 的数最 小是 多少 ？ 最 大是 多少 ？【 答案 】 （ 1） 2（ 2） 最 小 7184， 最大 9865分析 根 据 计 算 结 果
30、判 断 ， 两 加 数 同 位 相 加 所 得 结 果 可 能 为 ：9 17 14 12 52 ，9 7 15 12 43 ，9 7 5 13 34 ，9 17 4 13 43 。 又 ， 从 1 -9 选出 8 个数 ， 它们的和应 在3 6-44 之间 。 那 么只有9 7 15 12 43 和9 17 4 13 43 符合条 件 ， 没有 被选 出的数 为2 。如 果 是 9 7 15 12 43 模 式 ， 那 么 可 以 得 到 ： 3714 9865 13579 （ 两 加 数 同 位 可 互 换 ） ； 如 果 是 9 17 4 13 43 模 式 ， 那 么 可 以 得 到：
31、 6184 7395 13579 （ 两 加 数 同 位 可 互换 。 那 么， 两个 四位 数 中较大 的一 个最 大 是986 5， 最小 是7 184。7、 在 下面 两个 算式 ： ABBC D DDE ， CBBA D EFG 中 ， 相同 的字 母代 表相 同的 数字， 不同的 字母 代表 不同 的数 字， 求B D F 的值 。【 答案 】 9分析 题目出 错 ， 无解 ！8、 小 明按 照下 列算 式 ：乙组的 数 甲组 的数 1=对甲 、 乙 两组 数逐个 进行 计算 ， 其 中方 框是乘 号或 除号 ， 圆 圈是 加号或 减号 。 他将 计算结 果填 入图 表中 。 有 人
32、发 现 表 中 14个数 中有 两 个数是 错误 的 ， 请你 改正 。 请问 ： 改 正后的 两个 数的 和事 多 少 ？结 甲 果乙0.625 23 914 32 1732 5.05 4 5164 4 516 1 27322 3.4 13 4 13 3 1.5【 答案 】 2改为 1.5；4 5 改为 4 15；6 716 16 16分析 先分析 和 所 代表 的符 号 。 观察 第一 行 的4 个 计 算结果 ， 前3 个都 比乙 大 ， 那么我们可以推测 ， 代表 “ ”。2 17 0.625 6.05 ， 那么 代 表“ ”号 。 接下来我们 根据32算式 对 每一 个结 果进 行验
33、 算 ：0.625 23 914 32 1732 5.05 4 5164 41516 1 27322 4.2 4 3 19 1 23我们发 现 ， 第一 行第 3个 数不对 ， 应 该将4 5 改为 4 15； 而 第二行 所有 数都 有问 题 。 那就说16 16明是2 错了 。 我们 倒推 一 下 ， 发现 把2 改 为 1.5， 那 么所有 答案 都与 原答 案相 符 。 因此 ， 出错的两 个数 的和 是 1.5 4 15 6 7 。16 169、 如 图， 请在 这个3 6 方格表 的每 个空 格中 填入 一个整 数 ， 使得 对于 第一 行中的 每个 数， 它在第二 行中 出现的
34、次数 恰好等于 该列 第三行 所填 的数 ， 而 它在 第三行 中出 现的次数 又 恰好等 于该 列第 二行 所填 的数 （ 例 如第 二行 第一 列 中的3 ， 表 示第 三行 中有3 个0 ）0 1 2 3 4 53【 答案 】 第 二行 的数 从左 至右依 次 为3 ， 1， 1， 1， 0， 0； 第三行 的数 从左 至右 依次 为2 ， 3， 0， 1， 0， 0分析 本题和 兴趣 篇 第9 题 是同 一类题 。 我 们可 以推 知 ， 每一 行6 个 数的 和 为6 。首先考 虑4,5 下 面必 须填0 。 以 第二 行的4 为 例： 若 第二行 4 下填 1， 那么 意 味着第
35、三 行有1 个4 ， 那 么这 个 4 只 能填在 第三 行 的0 或1 下 面。 如 果填 在 0 下面 ， 那 么说明 第二 行 有4 个0 ， 即第二 行剩 下 4个位 置 都 是 0,。 那 么第 二 行6 个 数的 和不 为 6。 如 果 4 填 在1 下 ， 说明第 二行 有4 个1， 那 么 第二 行6 个 数的 和已 经超 过 6 了 。 同 理可 得 ， 4,5下 面必须 填 0。 且第二 三行 中不 会出现4 或5 （ 否则 4,5下面 不是 0。0 1 2 3 4 53 a b c 0 0d e f g 0 0（ 1）g 1 ， 如 果 g 2 说明 3 在 第二 行出现
36、 了2 次 ， 那么 第三 行除了 3 个 0 以外 ， 还 有3 个 其 他 数 ， 而这 是不 可能的 。 因 此g 1 ；（ 2）d 2 ， 如 果d 3 ， 那么 由 （ 1， c 1 。 那 么a , b, e, f 没有合 适取 值 。 因此 d 2 ；（ 3）d 2 ， 那 么第 二行 只有 2 个 0 a, b, c 0, a b c 3 a b c 1 ， 那么e 3 ，f 0 。0 1 2 3 4 53 1 1 1 0 02 3 0 1 0 010、 在 图所 示的3 3 方格 表中 ， “学 、 而 、 思 、 中 、 国 、 第 、 一 、 品 、 牌 ”这9 个 汉字
37、 分 别表 示1 至9 中 的不 同数 字 ， 并 满足 ： 每一 个 “田 ”字形 内4 个数之 和都 相等 ； 学 2 品 2 牌 2 ； 国 第 。 请问 ： “学 而思 中国 第一 品牌 ”代表 的九 位数 是多 少 ？a b cd e fg h i5 1 6d e fg 3 45 6 1d e fg 3 45 6 1d e fg 4 35 1 6d e fg 4 3学 而 思中 国 第一 品 牌【 答案 】 516897243分析 为了表 述方 便 ， 我 们 把汉 字改为 字母 。 那 么 a 2 h2 i 2 a 5; h, i 3, 4 。 又 每一 个 “田 ”字形 内4 个
38、数之 和都 相等 ， 那 么我 们可以 得到 如下 等式 ：a b d e b c e f掉 。 d e f h e f h i 。 其 中每 个式 子中 都有 中 间数 e ， 可 去那么现 在我 们可 以得 到 b c h i 7 b,c 1, 6 。 下面对 于 b ,c ,h ,i 的数字 归属 进行 讨论 ：（ 1） ， 那 么5 1 g 3 g 3 ， 不成 立 ；（ 2） ，那 么g 5 6 3 8 。d , e, f 2, 7, 9 。 又a b d f h i ， 因 此 ，f d 4 。 那么 在2 ,7,9 里找 不到 合适的 取值 ；（ 3） ， 那 么 g 5 6 4
39、 7 。d ,e , f 2, 8, 9 。 又a b d f h i ， 因 此 ，f d 4 。 那么 在2 ,8,9 里找 不到 合适的 取值 ；（ 4） ， 那 么 g 5 1 4 2 。d ,e , f 7, 8, 9 。又a b d f h i ， 因 此 ，d f 1 。 又e f ， 因此d 8,e 9, f 7 。综上 ， “学 而思 中国 第一 品牌 ”代表 的九 位数 是5 16897243。11、 将1 至9 填 入图 的圆 圈内 ， 使图 中所 有三 角形 （ 共7 个 ） 的3 个顶 点数 字之和 都 相 等 。【 答案 】 其 中一 种填 法如 下图所 示分析 为
40、了便 于叙 述说 明 ， 圆 圈 内应填 的数 ， 先由 字母 代 替 设每 个三 角形 三个 顶 点圆圈 内的数 字和 为S A DB C E FGH I又 A 、B 、 C 、D 、E 、F 、G 、H 、I ， 分别代 表 1 9 这九 个数 即 ：1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 3S 45 , S 15 这15就说 明每 个三 角形 三 个顶点 的数 字之 和 是15 在1 9 九 个数 中 ， 三个 数 的和等 于1 5的 组合 情况 有 以下 8 种即 ： (1、 9、 5)； (1、 8、6)； (2、 9、 4)； (2、 8、 5)； (3、 7、 5)； (2、
41、7、 6)； (3、 8、 4)； (4、 5、 6)； 观 察九 个数 字在上 述8 种情 况下 出现 的次数 看 ， 数 字 2、 4、 5、 6、 8 都 均出 现了 三次 ， 其 他数字 均只 出现两次 ， 所 以， 符 合题 意 的组合 中 的 2、 8、 5 和4 、 5、 6 可 填入 图中 的圆 圈内 ， 这样 就得 到本题的 两个 解 1 9 7 36 8 2 4 2 6 4 85 57 3 9 14 3 89 5 12 7 6编者按 ： 在 找中 间 3 个数 时 ， 可 以借 助 3 阶幻 方 （ 如上图 。 在 1 9 九 个数 中 ， 三 个数 的和 等于 15的 8
42、 种 情况 分别 对 应于幻 方 的 3 行 3 列 2 对 角线 。 在图 中 的 7 个 三角 形中 ， 3 个 朝 上的小 三角形 和3 个 大三 角形分 别对 应幻 方中 的3 行和3 列 。 那 么剩 下的1 个 向下的 三角 形 顶点 的3 个 数字 ，只 能是 幻方2 个对 角线 之一 。 因 此中间 数只 能是 2, 5,8 或 4,5,6 。12、 图 中有 大 、 中 、 小3 个正方 形 ， 组成 了8 个 三 角形 。 现在 把 1、 2、 3、 4 分别填 在大 正 方形 的4 个 顶点 上 ， 再 把 1、 2、 3、 4 分 别填 在中 正 方形 的 4 个 顶点
43、 上 ， 最后 把1 、 2、3、 4 分别 填在 小正 方形 的4 个顶 点上 。 请 问：（ 1） 能 否 使8 个 三角 形顶点 上数 字之 和都 相等？ 如果 能 ， 请给 出填 数方 法 ； 如 果不 能 ， 请说明 理由 。（ 2） 能 否使8 个 三角 形 顶点上 数字 之和 各不 相同 ？ 如果 能 ， 请给 出填 数方 法 ； 如果 不能 ，请说明 理由 。【 答案 】 （ 1） 不 能， 8 个 三角形 顶点 上 数 字的 和 为60 ， 且 相等 ， 不 成立 ；（ 2） 能 ， 其 中一 种填法 如下 图所 示 。分析 （ 1） 大正 方形 顶点 用了 1次 ， 中 正
44、方 形顶 点用 了3 次 ， 小 正方 形顶 点用 了 2 次 。那么全 部8 个三 角形 的顶 点和为 1 2 3 4 6 60 ， 不 是8 的倍 数 。 因 此不能 使8 个三 角形顶点 上数 字之 和都 相等 。（ 2） 能 。 我们 发现 ， 每 个 三角形 都有 2 个顶 点在 同 一个正 方形 上 ， 那么 这两 个顶点 处的 数 字肯定 不同 。 因此 这 8 个 三角形 顶点 和最 小是 1 1 2 4 ， 最 大是 4 4 3 11 。 4 至 11间 恰好 有8 个 数。 我们 可构 造如下 图的 一种 填法 ， 这 里 8 个 三角 形顶 点和 恰好 是4 至113 4
45、 42 42 33 11 1 2超越篇1 1 11、 请 在算 式 “ ”的 每个 方 框中填 入一 个数 字 ， 使 其 成为等 式 ， 请 写出 所有的可能 。AA0 AA0 105【 答案 】 1 1 1 ， 1 1 1 ， 1 1 1 ， 1 1 1120 840 105 140 420 105 150 350 105 210 210 105分析 等号两 边同 时乘 以1 0， 那 么就变 成了 1 1 a b 2 其中 a, b 都是 两位 数 。21 1 2 x y 2 x 2 y 2 x设x , y 是两 个互 质的 自然 数 ， 。 如果 和21 21 x y 21 x y 21 x y 21 x y 2 y21 x y是两个 自然 数的 倒数 ， 那 么x , y 是2 1的 约数 ， 且 x y 是2 的 倍数 。 满足 条件
