1、 数列的前 n 项和及其应用高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率数列求和2018 新课标全国 142017 新课标全国 42017 新课标全国 II 152017 新课标全国 92016 新课标全国 32016 新课标全国 III 17数列的综合应用从近三年高考情况来看，数列求和及其应用一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和、裂项相消法求和及拆项分组法求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多以解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.2018 新课标全国 II
2、 172017 新课标全国 122017 新课标全国 32016 新课标全国 17考点 1 公式法求和题组一 等差数列的求和公式调研 1 在等差数列 中， ，则na1054S1adA B2 2C D44【答案】A【解析】由等差数列的前 n 项和公式可知 ， ，109=2Sad514=2Sad因为 ，所以 ，化简得 .1054S1195402ad所以选 A.【名师点睛】本题考查了等差数列求和公式的简单应用，属于基础题.根据等差数列的前 n项和公式，求得首项与公差的比值即可.调研 2 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S170，S 180，则 ， ， 中最S1a1S2a2 S15a1
3、5大的项为A BS7a7 S8a8C DS9a9 S10a10【答案】C【解析】因为a n是等差数列，所以 S17= =17a90，所以 a90，又 S18=17()2=9(a9a 10)0，所以 a100，即该等差数列前 9 项均是正数项，从第 10 项开18()2始是负数项，则 最大.S9a9故选 C题组二 等比数列的求和公式调研 3 在等比数列a n中，a 1a n=34，a 2an1=64，且前 n 项和 Sn=62，则项数 n 等于A4 B5C6 D7【答案】B【解析】设等比数列a n的公比为 q，由题意得 a2an1=a1an=64，又 a1a n=34，解得 a1=2，a n=3
4、2 或 a1=32，a n=2.当 a1=2，a n=32 时，S n= = = =62，解得 q=2.又 an=a1qn1，所以()qa1 anq1 q 2 32q1 q22n1=2n=32，解得 n=5.同理，当 a1=32，a n=2 时，由 Sn= = = =62，解得 q= .又1()naqa1 anq1 q 3212an=a1qn1=32 n1=2，所以 n1= = 4，即 n1=4，n=5.(12) (12) 116(12)综上，项数 n 等于 5，故选 B调研 4 在数列 中， ， ，设 .na1214na 1nnba（1 ）证明：数列 是等比数列，并求 的通项；nbn（2 ）
5、求 的前 项和 .nT【答案】 （1）见解析；（2） .2413n【名师点睛】数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程的思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减n法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误（1 ）利用等比数列定义证明数列 是等比数列；nb（2 ）利用等比数列前 n 项和公式即可得到结果 .技巧点拨1两组求和公式(1)等差数列： ；11()()=22nnaSd(2)等比数列： 11,(),nnnqaq2在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1 和
6、d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量注：在运用等比数列前 n 项和公式时，一定要注意判断公比 q 是否为 1，切忌盲目套用公式导致失误考点 2 错位相减法求和调研 1 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项nanS367,Sna和为A B32n12nC D1 【答案】D【解析】当 时，不成立；当 时， ，两式相除得1q1q31617aq，解得 ， 则 ，所以 ，所以36317q2q1a12naq，则数列 的前 项和为12nana，132nT，21nn两式相减得到： ，2112nnnT 21nn所以 ，故选 Dn调研 2 记 为等差数列 的前 n 项和，已知
7、 ， Sa17a315S（1 ）求 的通项公式；na（2 ）设 ，求数列 的前 项和 bnbnT【答案】 （1） ；（2 ） .9n122【解析】 （1）等差数列a n中，a 1=7，S 3=15，a 1=7，3a 1+3d=15，解得 a1=7，d=2，a n=7+2（n 1）=2n9.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法以及利用错位相减法求数列的和错位相减法适用于一个等差数列乘一个等比数列组合而成的新数列（1 ）根据 a1=7，S 3=15，可得 a1=7，3 a1+3d=15，求出等差数列a n的公差，然后求出an 即可；（2 ）由（1 ） ，利用错位相减法可求数列 的前 项
8、和 29nbnbnT技巧点拨错位相减法适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列把Sn=a1a 2 an两边同乘以相应等比数列的公比 q，得到 qSn=a1qa 2qa nq，两式错位相减即可求出 Sn.考点 3 裂项相消法求和调研 1 已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 6 项和为na2nS1naA B 25 45C D1 01【答案】A【解析】数列 的前 项和 ， 时， ，两式作差得到na2nSn21nS，当 时，也适合上式，所以 ，所以21()na1a，裂项求和得到1 12323nnn ，故答案为 A.123575【名师点睛】本题考查的是数列通项公式的求法及数列求和的
9、常用方法.数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 的表达式，一般是写出 后两式作差得通项，但是nSana1nS这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用.数列求和的常用方法有：错位相减、裂项求和、分组求和等.调研 2 已知数列 满足 ， （ 为常数） na112na（1 ）试探究数列 是否为等比数列，并求 ；n（2 ）当 时，设 ，求数列 的前 项和 22log1l1nnnba nbnT【答案】 （1）见解析；（2） .344【解析】 （1） ，1na ，n又 ，1当 时， ，数列 不是等比数列此时 ，即10ana10nna；na当 时， ，1 0n数列 是以 为首项，2 为公比的等比
10、数列此时 ，即a 12nna1nn（2 ）由（1 ）知 ，n ， 22111logl 22nnnban 3435nT 111=2224n（ ）【思路点拨】 （1）由 ，可得 ，当 时，1na12nna1，数列 不是等比数列，当 时，数列 是以 为首项，10aa2 为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；（2 ）由（1 ）知 ，21na，利用裂项相消法可得结果.22111logl 22nnnban技巧点拨裂项相消法将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法裂项相消法适用于形如 (其中a n是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的canan 1数列裂项相消法
11、是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）； （2） ； 1nknk1nknk（3） ； （4）122n12.此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的1n问题，导致计算结果错误.考点 4 拆项分组法求和调研 1 已知函数 ，且 ，则2cosfn1naffn1210aA B 0 0C D 2【答案】A【解析】由题意可得， ， ， ， ，21a23a24a25a所以 221399103910a ，222410325 所以 1210501a故选 A.【名师点睛】数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法
12、、并项求和法、倒序相加法等，当遇到数列的通项为 的形式时，可以用并项求和法或者用分1nnaf组求和法，由于本题中 ，因此我们212 nn把奇数项与偶数项分别求和，每个和都是等差数列的和，从而易于求解 调研 2 已知数列a n中， ， 1a1na（1 ）求 ；n（2 ）若 ，求数列b n的前 5 项的和 n5S【答案】 （1） ；（2）77.a【解析】 （1）由题意可得 ， ，112na则数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，n 12na（2 ） ，nnb 2345512S5345271【思路点拨】（1）由题意，可得数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，即可求解na数列的通项公式；（
13、2 ）由（1 ）可得 ，利用等差、等比数列的前 和公式分组来求和即2nnnbn可.技巧点拨拆项分组法把数列的每一项拆成两项(或多项 )，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和考点 5 数列的综合应用题组一 数列与不等式的交汇调研 1 已知数列 满足 ， ，na11221nnaa， ，若 恒成立，则 的最小值124nnnaab12nTbnmT为A0 B1 C 2 D 2【答案】D【名师点睛】将不等式恒成立转化为求数列的和的最值，再由，可得1221nnaa12nnab，利用裂项相消法可得结果.调研 2 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=9，a 2 为整数，且 SnS5
14、.(1)求a n的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求证：T n .1anan 1 49【答案】(1) an=112n；(2) 见解析.【解析】(1)由 a1=9，a 2 为整数可知，等差数列 an的公差 d 为整数又 SnS5，a 50，a 60，于是 94d0，95d0，解得 d .94 95d 为整数，d=2.故a n的通项公式为 an=112n.(2)由(1)得， = = ( )，1anan 1 (2)9n12 19 2n 111 2nT n= ( ) ( )( )= ( )12 1719 1517 19 2n 111 2n 12 19 2n19令 bn= ，19 2n由
15、函数 f(x)= 的图象关于点 (4.5，0)对称及其单调性，知19 2x0b 1b 2b 3b 4，b 5b 6b 70，b nb4=1.T n (1 )= .12 19 49题组二 数列与函数的交汇调研 3 设曲线 y=2 018xn1 (nN *)在点(1，2 018)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 ，则 a1a 2a 2 017 的值为2 018lognnaA2 018 B2 017C1 D1【答案】D【解析】因为 y=2 018(n1)x n，所以切线方程是 y2 018=2 018(n1)(x1)，所以xn= ，nn 1所以 a1a 2a 2 017=log2 018
16、(x1x2x2 017)=log2 018( )= =1.1223 2 0172 018 2018log故选 D.调研 4 已知函数 f（n）=n 2cos（n） ，数列 an满足 an=f（n）+f（n+1） （n N *） ，则a1+a2+a2n=_【答案】 【解析】函数 f（n ）=n 2cos（n ） ，数列a n满足 an=f（n）+f（n+1 ） （nN *） ，a 2k1=f（2k 1）+ f（2k ）=（2 k1） 2+（2k） 2=4k1a2k=f（2k ）+f（2 k+1）=（2 k） 2（2 k+1） 2=4k1a 2k1+a2k=2a 1+a2+a2n=2n故答案为2n
17、 【名师点睛】本题考查了三角函数求值、数列分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由函数 f（n）=n 2cos（n ） ，数列 an满足 an=f（n）+f（n+1 ）（nN *） ，可得： a2k1=4k1，a 2k=4k1，则 a2k1+a2k=2，即可得出技巧点拨数列与不等式的交汇多为不等式恒成立或证明和的范围的形式，在求解时要注意等价转化，即分离参数法与放缩法的技巧应用已知函数条件解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子化简变形1 （宁夏银川一中 2019 届
18、高三第二次月考数学试题） 已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，且Sn1 S na n3，a 4a 5 23，则 S8A72 B88C 92 D982 （贵州省铜仁市第一中学 2019 届高三上学期第二次月考数学试题）在等比数列 中，na是方程 的两根，则 =412,a2310x8aA B 1C D 33 （山东省临沂市 2019 届高三上学期期中考试数学试题）已知等差数列a n的前 n 项和为Sn，且 a9= a12+6，a 2=4，则数列 的前 20 项的和为11nSA B 20 201C D1 34 （福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)2019 届高三上学期
19、期中考试数学试题）已知等差数列 的前 n 项和为 ，则“ 的最大值是 ”anSn8S是“ ”的78910aA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （河南省郑州市第一中学 2019 届高三上学期入学摸底测试数学试题）设 是数列nS的前 项和，且 ，则na11,naS10A B10 C 10 D106 （内蒙古鄂尔多斯市 2019 届高三上学期期中考试数学试卷）已知函数 的图象fx过点 ，令 （ ） ，记数列 的前 项和为 ，则4,21naffn*NnanS2017SA B8 2018C D77 （贵州省凯里市第一中学 2018 届高三下学期开学（第一次模拟）考
20、试）已知 的前na项和为 ，且 成等差数列， ，数列n12nSm145,2a1nnba的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为nbnT078nA8 B9 C 10 D118 （河南省南阳市第一中学 2018 届高三第十八次考试数学试题）已知数列 满足：当na且 时，有 ，则数列 的前 200 项的和为2n*N13nnanaA300 B200 C 100 D509 （江苏省盐城市 2019 届高三第一学期期中考试数学试题）若函数的所有正零点构成公差为 d(d0)的等差数列，则sin3(01)fxmd_10 （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考二数学试题）已知数列 满足na，且
21、，记 为数列 的前 项11, 1nnaa2cos3nbanSb和，则 _.24S11 （江苏省无锡市 2019 届高三上学期期中考试数学试题）定义 为 个正12nP数 的“ 均倒数”. 若已知数列 的前 项的“ 均倒数”为 又12,.nPna,3，则nab123910_.bb12 （山东省青岛市 2019 届高三 9 月期初调研检测数学试题）已知数列 的各项均为正na数，其前 n 项和为 nS（1 ）若对任意 都成立，求 ；2*1,nNna（2 ）若 ，且数列 是公比为 3 的等比数列，求 1221,nnabanb2nS13 （吉林省吉林市 2019 届高三上学期第一次调研测试）已知数列 ,点
22、 在直线nan上.32yx（1 ）求证：数列 是等差数列；na（2 ）设 ，求数列 的前 20 项和 .nbnb20S14 （福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）2019 届高三上学期期中考试数学试题）已知数列 的前 n 项和为 ，且 anS2na（1 ）求数列 的通项公式；na（2 ）若数列 的前 n 项和为 ，求 以及 的最小值1nnTn15 （河南省名校联考 2019 届高三上学期联考（三）数学试题）已知等差数列 的公差na不为零， ，且 .125a2113a（1 ）求使不等式 成立的最大自然数 ；0nn（2 ）求数列 的前 项和.1na1 （ 2017 新课标
23、全国 I 理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码” 的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2 ，4，1，2 ，4，8，1，2 ，4，8 ，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依 此 类 推 .求 满 足 如 下 条 件 的 最 小 整 数N： N100 且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂 .那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330C 220 D1102 （ 2018 新课标全国 I
24、理科）记 为数列 的前 项和，若 ，则nSna21nSa_6S3 （ 2018 新课标全国 II 理科）记 为等差数列 的前 项和，已知 ，nn1715（1 ）求 的通项公式；na（2 ）求 ，并求 的最小值Sn数列的前 n 项和及其应用高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率数列求和2018 新课标全国 142017 新课标全国 42017 新课标全国 II 152017 新课标全国 92016 新课标全国 32016 新课标全国 III 17数列的综合应用从近三年高考情况来看，数列求和及其应用一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和、裂项相消法求和及拆项分组法求和
25、为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多以解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.2018 新课标全国 II 172017 新课标全国 122017 新课标全国 32016 新课标全国 17考点 1 公式法求和题组一 等差数列的求和公式调研 1 在等差数列 中， ，则na1054S1adA B2 2C D44【答案】A【解析】由等差数列的前 n 项和公式可知 ， ，109=2Sad514=2Sad因为 ，所以 ，化简得 .1054S1195402ad所以选 A.【名师点睛】本题考查了等差数列求
26、和公式的简单应用，属于基础题.根据等差数列的前 n项和公式，求得首项与公差的比值即可.调研 2 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S170，S 180，则 ， ， 中最S1a1S2a2 S15a15大的项为A BS7a7 S8a8C DS9a9 S10a10【答案】C【解析】因为a n是等差数列，所以 S17= =17a90，所以 a90，又 S18=17()2=9(a9a 10)0，所以 a100，即该等差数列前 9 项均是正数项，从第 10 项开18()2始是负数项，则 最大.S9a9故选 C题组二 等比数列的求和公式调研 3 在等比数列a n中，a 1a n=34，a 2a
27、n1=64，且前 n 项和 Sn=62，则项数 n 等于A4 B5C6 D7【答案】B【解析】设等比数列a n的公比为 q，由题意得 a2an1=a1an=64，又 a1a n=34，解得 a1=2，a n=32 或 a1=32，a n=2.当 a1=2，a n=32 时，S n= = = =62，解得 q=2.又 an=a1qn1，所以()qa1 anq1 q 2 32q1 q22n1=2n=32，解得 n=5.同理，当 a1=32，a n=2 时，由 Sn= = = =62，解得 q= .又1()naqa1 anq1 q 3212an=a1qn1=32 n1=2，所以 n1= = 4，即
28、n1=4，n=5.(12) (12) 116(12)综上，项数 n 等于 5，故选 B调研 4 在数列 中， ， ，设 .na1214na 1nnba（1 ）证明：数列 是等比数列，并求 的通项；nbn（2 ）求 的前 项和 .nT【答案】 （1）见解析；（2） .2413n【名师点睛】数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程的思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减n法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误（1 ）利用等比数列定义证明数列 是等比数列；nb（2 ）利用等比数列前 n 项和公式即可得到
29、结果 .技巧点拨1两组求和公式(1)等差数列： ；11()()=22nnaSd(2)等比数列： 11,(),nnnqaq2在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1 和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量注：在运用等比数列前 n 项和公式时，一定要注意判断公比 q 是否为 1，切忌盲目套用公式导致失误考点 2 错位相减法求和调研 1 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项nanS367,Sna和为A B32n12nC D1 【答案】D【解析】当 时，不成立；当 时， ，两式相除得1q1q31617aq，解得 ， 则
30、 ，所以 ，所以36317q2q1a12naq，则数列 的前 项和为12nana，132nT，21nn两式相减得到： ，2112nnnT 21nn所以 ，故选 Dn调研 2 记 为等差数列 的前 n 项和，已知 ， Sa17a315S（1 ）求 的通项公式；na（2 ）设 ，求数列 的前 项和 bnbnT【答案】 （1） ；（2 ） .9n122【解析】 （1）等差数列a n中，a 1=7，S 3=15，a 1=7，3a 1+3d=15，解得 a1=7，d=2，a n=7+2（n 1）=2n9.（2 ）由（1 ）得 ，利用错位相减法，29nb，13175.229nnnT （ ），234 1 （
31、 ）： 31123 1 127.29429nnn nnT （ ） （ ） 12nn【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法以及利用错位相减法求数列的和错位相减法适用于一个等差数列乘一个等比数列组合而成的新数列（1 ）根据 a1=7，S 3=15，可得 a1=7，3 a1+3d=15，求出等差数列a n的公差，然后求出an 即可；（2 ）由（1 ） ，利用错位相减法可求数列 的前 项和 29nbnbnT技巧点拨错位相减法适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列把Sn=a1a 2 an两边同乘以相应等比数列的公比 q，得到 qSn=a1qa 2qa nq，两式错位相减即
32、可求出 Sn.考点 3 裂项相消法求和调研 1 已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 6 项和为na2nS1naA B 25 45C D1 01【答案】A【解析】数列 的前 项和 ， 时， ，两式作差得到na2nSn21nS，当 时，也适合上式，所以 ，所以21()na1a，裂项求和得到1 12323nnn ，故答案为 A.123575【名师点睛】本题考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法.数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 的表达式，一般是写出 后两式作差得通项，但是nSana1nS这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用.数列求和的常用方法有：错位相减、裂项求和、分组
33、求和等.调研 2 已知数列 满足 ， （ 为常数） na112na（1 ）试探究数列 是否为等比数列，并求 ；n（2 ）当 时，设 ，求数列 的前 项和 22log1l1nnnba nbnT【答案】 （1）见解析；（2） .344【解析】 （1） ，1na ，n又 ，1当 时， ，数列 不是等比数列此时 ，即10ana10nna；na当 时， ，1 0n数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列此时 ，即a 12nna1nn（2 ）由（1 ）知 ，21na ， 2211logl 22nnnb n 113435nT 1=2224n（ ）【思路点拨】 （1）由 ，可得 ，当 时，1na12nna1，
34、数列 不是等比数列，当 时，数列 是以 为首项，10aa2 为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；（2 ）由（1 ）知 ，21na，利用裂项相消法可得结果.22 1logl 22nnnb n技巧点拨裂项相消法将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法裂项相消法适用于形如 (其中a n是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的canan 1数列裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）； （2） ； 1nknk1nknk（3） ； （4）122n12.此外，需注意裂项之
35、后相消的过程中容易出现丢项或多项的1n问题，导致计算结果错误.考点 4 拆项分组法求和调研 1 已知函数 ，且 ，则2cosfn1naffn1210aA B 0 0C D 2【答案】A【解析】由题意可得， ， ， ， ，21a23a24a25a所以 221399103910a ，222410325 所以 12510a故选 A.【名师点睛】数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、并项求和法、倒序相加法等，当遇到数列的通项为 的形式时，可以用并项求和法或者用分1nnaf组求和法，由于本题中 ，因此我们212 nn把奇数项与偶数项分别求和，每个和都是等差数列的和，从而易于求解调研 2 已
36、知数列a n中， ， 1a1na（1 ）求 ；n（2 ）若 ，求数列b n的前 5 项的和 n5S【答案】 （1） ；（2）77.a【解析】 （1）由题意可得 ， ，112na则数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，n 12na（2 ） ，nnb 2345512S52345271【思路点拨】（1）由题意，可得数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，即可求解na数列的通项公式；（2 ）由（1 ）可得 ，利用等差、等比数列的前 和公式分组来求和即2nnnbn可.技巧点拨拆项分组法把数列的每一项拆成两项(或多项 )，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和考点 5 数列的综合应用
37、题组一 数列与不等式的交汇调研 1 已知数列 满足 ， ，na11221nnaa， ，若 恒成立，则 的最小值124nnnaab12nTbnmT为A0 B1 C 2 D 2【答案】D【名师点睛】将不等式恒成立转化为求数列的和的最值，再由，可得1221nnaa12nnab，利用裂项相消法可得结果.1122nn调研 2 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=9，a 2 为整数，且 SnS5.(1)求a n的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求证：T n .1anan 1 49【答案】(1) an=112n；(2) 见解析.【解析】(1)由 a1=9，a 2 为整数可知，
38、等差数列 an的公差 d 为整数又 SnS5，a 50，a 60，于是 94d0，95d0，解得 d .94 95d 为整数，d=2.故a n的通项公式为 an=112n.(2)由(1)得， = = ( )，1anan 1 (2)912 19 2n 111 2nT n= ( ) ( )( )= ( )12 1719 1517 19 2n 111 2n 12 19 2n19令 bn= ，19 2n由函数 f(x)= 的图象关于点 (4.5，0)对称及其单调性，知19 2x0b 1b 2b 3b 4，b 5b 6b 70，b nb4=1.T n (1 )= .12 19 49题组二 数列与函数的交
39、汇调研 3 设曲线 y=2 018xn1 (nN *)在点(1，2 018)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 ，则 a1a 2a 2 017 的值为2 018lognnaA2 018 B2 017C1 D1【答案】D【解析】因为 y=2 018(n1)x n，所以切线方程是 y2 018=2 018(n1)(x1)，所以xn= ，nn 1所以 a1a 2a 2 017=log2 018(x1x2x2 017)=log2 018( )= =1.1223 2 0172 018 2018log故选 D.调研 4 已知函数 f（n）=n 2cos（n） ，数列 an满足 an=f（n）+f
40、（n+1） （n N *） ，则a1+a2+a2n=_【答案】 【解析】函数 f（n ）=n 2cos（n ） ，数列a n满足 an=f（n）+f（n+1 ） （nN *） ，a 2k1=f（2k 1）+ f（2k ）=（2 k1） 2+（2k） 2=4k1a2k=f（2k ）+f（2 k+1）=（2 k） 2（2 k+1） 2=4k1a 2k1+a2k=2a 1+a2+a2n=2n故答案为2n 【名师点睛】本题考查了三角函数求值、数列分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由函数 f（n）=n 2cos（n ） ，数列 an满足 an=f（n）+f（n+1 ）（nN *
41、） ，可得： a2k1=4k1，a 2k=4k1，则 a2k1+a2k=2，即可得出技巧点拨数列与不等式的交汇多为不等式恒成立或证明和的范围的形式，在求解时要注意等价转化，即分离参数法与放缩法的技巧应用已知函数条件解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子化简变形1 （宁夏银川一中 2019 届高三第二次月考数学试题） 已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，且Sn1 S na n3，a 4a 5 23，则 S8A72 B88C 92 D98【答案】C【解析】 Sn1 S na n3， ，1
42、13nnnSa， 是公差 3 的等差数列.nad又 a4a 523 ，可得 : ，解得 ， ，127181792Sad故选 C.【名师点睛】本题考查等差数列通项及前 n 项和公式，关键要熟悉 ，从11nnSa而可以判断数列是等差数列，问题得解.由 Sn1 S na n3 可得数列 是等差数列，公差为 3，列方程求解.2 （贵州省铜仁市第一中学 2019 届高三上学期第二次月考数学试题）在等比数列 中，na是方程 的两根，则 =412,a210x8aA B 1C D 3【答案】B【解析】因为 是方程的根，故 且 ，412,a412a4120,a由 是等比数列可知 ，故 ，n 24188因为 ，故 ，故 .4120,a0a1故选 B.【名师点睛】利用根与系数的关系得到 ，再利用数列的性质计算 .4123a8a3 （山东省临沂市 2019 届高三上学期期中考试数学试题）已知等差数列a n的前 n 项和为Sn，且 a9= a12+6，a 2=4，则数列 的前 20 项的和为11nSA B 20 201C D21 23【答案
