1、空间几何体的表面积和体积跟踪知识梳理考纲解读：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.1.以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题 或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.3.几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，一般都是容易题 .有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想4.备考重点：(1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握等积转换
2、的方法.考点梳理：来源:1 几何体的表面积圆柱的侧面积 rlS2圆柱的表面积 )( 圆锥的侧面积 rl圆锥的表面积 )(S 圆台的侧面积 lr圆台的表面积 )(2l球体的表面积 4RS柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.2.几何体的体积圆柱的体积 hrV2圆锥的体积 31圆台的体积 )(2rr球体的体积 34RV正方体的体积 a正方体的体积 bc3. 与球有关的切、接结论外接球:若一个多面体的各顶点
3、都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。结论 1：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，2R a；球心是其体对角线的中点，3(2)长方体的共顶 点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R .a2 b2 c2球心是其体对角线的中点结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点结论 3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点结论 4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到结论 5：正四面体、同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、棱锥含有线面垂
4、直关系都可分别构造长方体和正方体内切球问题：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。内切球球心到多面体各面的距离均相等。结论 1：正方体的棱长为 a，球的半径为 R。 若球为正方体的内切球，则 2Ra； 若球与正方体的各棱相切，则 2R a.2结论 2：正多面体的内切球和外接球的球心重合结论 3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合结论 4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理体积分割求内切 球半径结论 5：正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31。正四面体棱长为 ，外接球半径= ，内切球的半径= 。a64a6
5、2a核心能力必练一、选择题1 (2018 江西南昌二中 3 月月考 ,9)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为 ( )A.8 B.4 C.4 D.4 322 (2018 江西南昌 NCS 项目 4 月联考,7)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中小方格是单位正方形, 那么组合体的侧视图的面积为 ( )A.6+ B. C.6+ D.8 3415233 (2018 河南百校联盟 4 月联考 ,9)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A.2 B.3 C. D. 36
6、54 (2017 河北衡水中学七调,5)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为棱 BB1 的中点(如图), 用过点A,E,C1 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 ( )5 (2018 山东日照二模,8)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 1631273566 九章九术是我国古代数学名著 ，它在几何学中的研究比西方早一千多年 .例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，若 ，当阳马1ABCABC12AB体积最
7、大时，则 堑堵 的体积为（ ）1BAC1A B C D832227 九章算术是我国古代的数学巨著，其卷五 “商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图） ，下底面宽 丈，长 丈，上棱 丈， 平面3AD4B2EF， 与平面 的距离为 丈，则它的体积是（ ）ABCDEFBC1A 立方丈 B 立方丈 C 立方丈 D 立方丈45688已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 ，则23这个三棱柱的体积是（ ）A B C D2431639634839已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 为
8、球 的直径，若该三棱锥DOABO的体积为 ， ，则球 的表面积为（ ）来源:Zxxk.Com34,0CBA B C D120233510一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几 何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）A B C D433411 已知一个棱长为 的正方体，被一个平面截后所得几 何体的三视图如图所示，则该截2面的面积为（ ）A B C D3102492512已知三棱锥 ，在底面 中， ， ， 面 ，PAAB 603BCPABC，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A B C D82343423813 某几何体是
9、组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A B C. D168332816816314某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D232636322615某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为 的扇形，0则该几何体的侧面积为（ ）A B C D10231063126416在三棱锥 中，底面 为边长为 2 的正三角 形，顶点 在底面 上的CD ABC射影为 的中心，若 为 的中点，且直线 与底面 所成角的正切值为 EE，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）2ABA B C D365417一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A
10、. B. C. D.234232323418如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A B C D912162419某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（ ）A B C D1323254520多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A B C D36cm3c3162cm32c7如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 且PACDAPABC， ，点 是 上一点，当二面角 为 时， （ 1PD2EE4E）A. B. C. D.1122238如图，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ， ， 在ABCDEFAB1FM上，且
11、平面 ，则 点的坐标为（ ）EFMA. B. C. D.(1,)2(,1)32(,1)2(,1)4二、填空题21若两个球的表面积之比为 ，则这两个球的体积之比为 .:422若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 a316a23三棱锥 中， 分别为 的中点，记三棱锥 的体积为PABC,DE,PBCDABE的体积为 ，则 _1,V2V124 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则 这个几何体的体积为_.19已知平面 ，直线 ，给出下列四种说法：,mnl（1 ）若 ，且 ，则 ； （2 ）若 相交且都在 外， ，则 ；,mn,n （3 ）若 ，且 ，则 ； n （4 ）若
12、，则 ；,lm l以上说法正确的有_25已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角23ABCD60BD为 的四面体 ，则四面体的外接球的表面积为 ABDC1026如图，在三棱锥 中， ，平面2,A平面 为 中点， 分别为线段 上的动点（不含端点） ，且,OB,PQ,OBC，则三棱锥 体积的最大值为_.APCQC27如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 28三棱锥 中，平面 平面PABCP,23,ABCPAB.若三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积4,30为_.29如图，直三棱柱 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， ，侧1AB AB
13、C面 是半球底面 圆的内接正方形，则侧面 的面积为 1BCAB30一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为 和 ，侧棱长为2cm4，则其表面积为_ .2cm2cm空间几何体的表面积和体积跟踪知识梳理考纲解读：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.1.以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题 或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.3.几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，一般都是容易题 .有时作为解
14、答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想4.备考 重点：(1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握等积转换的方法.考点梳理：2 几何体的表面积圆柱的侧面积 rlS2圆柱的表面积 )( 圆锥的侧面积 rl圆锥的表面积 )(S 圆台的侧面积 lr圆台的表面积 )(2l球体的表面积 4RS柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、 圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展 开图的面积.2.几何体的
15、体积圆柱的体积 hrV2圆锥的体积 31圆台的体积 )(312rrhV球体的体积 4R正方体的体积 3a正方体的体积 bcV3. 与球有关的切、接结论外接球:若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等结论 1：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，2R a；球心是其体对角线的中点，3(2)长方体的共顶 点 的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R .a2 b2 c2球心是其体对角线的中点结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点结论 3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面
16、三角形外心的连线的中点结论 4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到结论 5：正四面体、同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、棱锥含有线面垂直关系都可分别构造长方体和正方体内切球问题：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。内切球球心到多面体各面的距离均相等。结论 1：正方体的棱长为 a，球的半径为 R。 若球为正方体的内切球，则 2Ra； 若球与正方体的各棱相切，则 2R a.2结论 2：正多面体的内切球和外接球的球心重合结论 3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合结论 4：基
17、本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理体积分割求内切球半径结论 5：正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31。正四面体棱长为 ，外接球半径= ，内切球的半径= 。a64a62a核心能力必练一、选择题1 (2018 江西南 昌二中 3 月月考,9)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为 ( )A.8 B.4 C.4 D.4 32【答案】D2 (2018 江西南昌 NCS 项目 4 月联考,7)已知圆台和正三棱锥的组合体 的正视图和俯视图如图所示,图中小方格是单位正方形, 那么组合体的侧视图的面积为 ( )A.6+ B. C.6+ D.8 341523【答案】B3
18、 (2018 河南百校联盟 4 月联考 ,9)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度为 ( ) 来源:Z。xx 。k.ComA.2 B.3 C. D. 365【答案】B4 (2017 河北衡水中学七调,5)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为棱 BB1 的中点(如图), 用过点A,E,C1 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 ( )【答案】C【解析】过点 A,E,C1 的截 面为 AEC1F,如图, 则剩余几何体的左视图为选项 C 中的图形.故选 C. 5 (2018 山东日照二模,8)如图,
19、网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 163127356【答案】A6 九章九术是我国古代数学名著 ，它在几何学中的研究比西方早一千多年 .例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，若 ，当阳马1ABCABC12AB体积最大时，则堑堵 的体积为（ ）1BAC1A B C D83222【答案】C【解析】 ，当1 221 114()333BACVABACBA且仅当 时等号成立，所以当阳马 的体积最大时，堑堵21的体积为 ，故选 C1127 九章算术
20、是我国古代的数学巨著，其卷 五“ 商功”有如下的问题：“ 今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤 二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图） ，下底面宽 丈，长 丈，上棱 丈， 平面3AD4B2EF， 与平面 的距离为 丈，则它的体积是（ ）ABCDEFBC1A 立方丈 B 立方丈 C 立方丈 D 立方丈4568【答案】B8已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 ，则23这个三棱柱的体积是（ ）A B C D243163963483【答案】D【解析】设三棱柱的底面边长为 ，则球的半径 ，由球的体积是aaR6231可得 ，故 ，所以其体积
21、 ，故选 D23R34 348V9已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 为球 的直径，若该三棱锥ABCDOABO的体积为 ， ，则球 的表面积为（ ）434,3,90BA B C D120235【答案】C【解析】设棱锥的高为 ，因为 ，所以h1BCDS，所以 ，因此点 到平面 的距离为 ， 外1433ABCDBCVS 2OBC1BCD接圆的直 径为 ，所以 ，所以球 的表面积为 ，91934O243Sr故选 C. 10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）A B C D433
22、4【答案】D11 已知一个棱长为 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截2面的面积为（ ）A B C D31024925【答案】C【解析】由三视图知几何体是由正方体切去一个棱台，截面为等腰梯形，且两底边长为 ，腰长为 ，所以梯形高为 ，所2， 52235以截面面积 ，故选 C329S12已知三棱锥 ，在底面 中， ， ， 面 ，PABCAB 603BCPABC，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）2PAA B C D83434238【答案】A13 某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A B C. D1683328168163【答案】A【解析】由三视图，
23、知该几何体为底面半径为 2，高为 4 的圆柱的二分之一和底面为矩形，高为 2 的四棱锥，其中矩形的两边长分别为 4 和 2，则该几何体体积为，故选 A111642833V14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D2326363226【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形（上，下底边长为 ，高为 ） ，一1,2条长为 的侧棱与底面垂直的四棱锥，四个侧面的面积分别为 ，底面的面积1 6,为 ，所以该几何体的表面积为 ，故选 B. 3226315某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为 的扇形，60则该几何体的侧面积为（ ）A B
24、C D102310631264【答案】C16在三棱锥 中，底面 为边长为 2 的正三角形，顶点 在底面 上的CD ABC射影为 的中心，若 为 的中点，且直线 与底面 所成角的正切值为B EBED，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）2AA B C D3654【答案】B 来源:Zxxk.Com17一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.2342323234【答案】C【解析】由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是 ，侧棱长 ，高是 ，下面是一个圆柱，圆柱的底面2213直径是 ，高是 ，所以组合体的体积是 ，故选2
25、 2312C. 18如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A B C D9121624【答案】B19某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（ ）A B C D13232545【答案】C【解析】由三视图可知，该结合体是高为 的四棱锥，最小面的面积为 ，底面4142面积为 ，所以它们的比是 ，故选 C11(24)252520多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A B C D3162cm32c3162cm32c【答案】B7如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 且PABCDABPDABC， ，点 是 上一点，当二面角
26、 为 时， （ 1PD2EE4E）来源:Zxxk.ComA. B. C. D.112223【答案】D【解析】设 ，以点 为原点， 所在直线分别为 轴AEa0D,ACDPzyx,建立空间直角坐标系，则 ，则 ,1,020,1Ea1Ea，设平面 平面的法向量为 ，则 ，即1,20PCPCzyxm,P令 ，可得 ，则 ，易知平面 的,xayzy2,xaz2,1aDEC一个法向量为 ，则 ，解得 ，10，DP5,cos2DPm 32a所以 ，故选 D. 32AE8如图，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ， ， 在BCAEF2AB1FM上，且 平面 ，则 点的坐标为（ ）FM DA. B. C. D.
27、(1,)2(,1)32(,1)2(,1)4【答案】C二、填空题21若两个球的表面积之比为 ，则这两个球的体积之比为 .1:4【答案】 1:8【解析】由球的表面积公式 得半径比为 ，由体积公式 可知体积比2SR1:234VR为 .:22若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 a36a【答案】4【解析】棱柱的底面积为 .22313, 16,444SVSha23三棱锥 中， 分别为 的中点，记三棱锥 的体积为PABC,DE,PBCDABE的体积为 ，则 _1,V2V1【答案】 424 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为_.【答案】 来源:Zxxk.Co
28、m836【解析】由三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个四棱维组合而成，其中半圆锥的底面半径为 1，四棱锥的底面是边长为 2 为正方形， 它们的高均为 ，则3834.326V19已知平面 ，直线 ，给出下列四种说法：,mnl（1 ）若 ，且 ，则 ； （2 ）若 相交且都在 外， ，则 ；,n,n （3 ）若 ，且 ，则 ；m n （4 ）若 ，则 ；,lm l以上说法正确的有_【答案】 （2） （4）25已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角3ABCD60BD为 的四面体 ，则四面体的外接球的表面积为 ABDC120【答案】 8【解析】如图所示， ， ， ，120AF60AFE32
29、，设 ， ， ，由勾股定理可得3,2EAxO2B1O， ，四面体的外接球的表面积为222314xxR7R2826如图，在三棱锥 中， ，平面ABCD2,ABD平面 为 中点， 分别为线段 上的动点（不含端点） ，且ABD,O,PQ,OC，则三棱锥 体积的最大值为_.PCQ【答案】 24827如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 【答案】 243【解析】由三视图可知该几何体是两个半圆锥中间加一个棱柱.其体积 .212433V28三棱锥 中，平面 平面PABCP,23,ABCPAB.若三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积4,0为_.【答案】 1
30、8【解析】 ， ， 的外接圆直径30,4,32BACAB2ABC，设球心为 ， 的中点为 ，球的半径为 ，则 ，4ACODRPD，解得 ，该三棱锥的外接球的表面积为 . )2(R2 2418SR29如图，直三棱柱 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， ，侧1ABC ABC面 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 的面积为 1BCAB【答案】 230一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为 和 ，侧棱长为2cm4，则其表面积为_ .2cm2cm【答案】 1320【解析】 如图所示， 分别为上，下底面的中心，取上，下底面边的中点 ，连,MN,EF结 ，则 为侧面的斜高，作 底面，则 在 上，在直角,EFEPN中， ，所以表面积为P 213cm. 214()40c2S
