1、函数的综合应用跟踪知识梳理考纲解读：1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力4树立函数思想，使学生善于用运动变化（动画思维）的观点分析问题 考点梳理：1.函数思想就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概 念的本质认识.用于指导解
2、题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. 2.方程思想就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式 )表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观 察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程 f(x) 0，就是求函数 y f(
3、x)的零点；解不等式 f(x)0(或 f(x)0)，就是求函数 y f(x)的正（负）区间. 3.解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解. 一般的解题程序是：读题 建模 求解 反馈(文字语言) (数学语言) (数学应用) (检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的
4、最优化问题.解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.常见的函数模型有一次函数，二次函数，y ax+b/x 型，指数函数模型等等. 核心能力必练一、选择题1 (2018 江西 4 月模拟,10)如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 P 是 B1C 的中点, 动点 M 在其表面上运动, 且与平面 A1DC1 的距离保持不变,运行轨迹为 S,M 从 P 点出发,绕其轨迹运行一周的过程中,运动的路程 x 与 l=MA1+MC1+MD 之间满足函数关系 l=f(x),则此函数图象大致是 ( )2 (2017 福建质检,5)当生物死亡
5、后,其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半, 这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测不到 ,则它经过的“半衰期” 个数至少是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 3已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范2exf（ ） 1,mxf)(围为（ ）A B C D1,e,ee,4设 ，若函数 为奇函数，则 的解析式可以为12,xfxgtdRfxgx（ ）A B C D31xcosex5函数 的图象大致是（ ）esinxy6函数
6、 的零点所在的区间是（ ）2xfA B C D,11,00,11,27函 数 是偶函数，且在 内是增函数， ，则不等式 的解()fx()(3)f()0xf集为（ ）A B 来源:Zxxk.Com|303或 |03x或C D|x或 |3x或8已知 为奇函数，函数 与 的图象关于直线 对称，若(1)yf()yfx()gy，则 （ ）120x2g()xA. B. C. D. 229已知函数 ， 是函数 的导函数，则 的图象大致是()f21cos4x()f()fx()fx（ ）10已知函数 ，设 ，且 的零点232017()1xxf()4)Fxf()Fx均在区间 内，其中 ， ， ，则 的最小整数解为
7、（ ）,ababZA B C D105411已知函数 ， ，对 ， ，使得2exf1ln2gxaR0,b，则 的最小值为（ ）fagbaA B C Dln12l12e1e12已知函数 若 ，则 的值为（ ）21sin,0,exxf12faA B 或 C D 或121213已知函数 在 内恒小于零，则实数 的取值范围是（ 2log1afxx3,2a）A B C D1,60,1610,4,114 定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，Rfxfxxffx且 为奇函数，则不等式 的解集是（ ）2017fx2017exfA B C D,0,1,e15设 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函
8、数，当 时，fxgR0x，且 ，则不等式 的解集是（ ）0f30gfgA B3,0,3,0,C D,16函数 的图象在 处的切线斜率为（ ）25()1xf(0,)fA B C D12 2217已知函数 图象上任一点 处的切线方程为fxR0(,)xy，那么函数 的单调减区间是（ ）2000()1()yfA B C 和 D1,2(,1)(,22)18设函数 ，若不等式 在 上32e6ex xf xa0fx2,有解，则实数 的最小值为（ ）aA B C D312e32e3142e1e19函数 当 时，函数 的零点个数为（ ）,0()lnkxfk()yfxA1 B2 C3 D420已知定义在 上的单调
9、减函数 ，使得 对一切,3fx21sincosfxfax实数 都对立，则 的取值范围为（ ）xaA B C D ,1,1,1,二、填空题21 (2016 福建三明期末 ,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0,经过一定时间 t 后的温度为 T,则 T-Ta=(T0-Ta) ,其中 Ta 称为环境温度,h 称为半衰 来源:Z,xx,k.Com期.现有一杯用 88 热水冲的速溶咖啡,放在 24 的房间中,如果咖啡降到 40 需要 20 分钟,那么此杯咖啡从 40 降温到 32 时, 还需要 分钟. 22点 在曲线 上，则点 到直线 的距离的 最小值是 P2l
10、nyxP40xy23已知函数 在区间 上的最大值为 ，23e1l1xf ,()kM最小值为 ，则 mM24设函数 满足 ： ，则函数 在区间 上的最小值为 ()fx232()fxx()fx1,225已知函数 ，在区间 上有两个零点，则 的取值范围lnxfkR21,ek是_.三、解答题26 (2018 湖北荆州一模 ,19)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进 行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数 f(x)与时刻 x(时) 的关系为 f(x)= ,x0,24,2344xa其中 a 是与气象有关的参数,且 a . 10,2(1)令 t(x)= ,x0,24, 求 t(x)的最值; 来源:
11、Zxxk.Com24(2)若用每天的 f(x)的最大值作为当天的 综合污染指数,市政府规定 :每天的综合污染指数不得超过 2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标? 27已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）在点 处取极值.lnexkfe1x（1 ）求 的值及函数 的单调区间；k()f（2 ）设 ，其中 为 的导函数，证明：对任意 ，gxfxf 0x.2()e28已知函数 .e,xfxk（1 ）若曲线 在点 处的切线倾斜角为 ，求 的值；y0135k（2 ）判定函数 在 上是否存在极大值点或极小值点，并说明理由.fx,2 9已知 且 ，函数 0a12log1afx（1 ）求 的定义域及其零
12、点；fx（2 ）设 ，当 时，若对任意 ，存在 ，使得23gmxa1,x23,4x，求实数 的取值范围12fx30已知函数 （ ） 321()()3fxxaR（1 ）若 ，求函数 的极值；0af（2 ）当 时，判断函数 在区间 上零点的个数()x0,2函数的综合应用跟踪知识梳理考纲解读：1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力4树立
13、函数思想，使学生善于用运动变化（动画思维）的观点分析问题 考点梳理：1.函数思想就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. 2.方程思想就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式 )表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程 的研究，使问题得到解决，这便是方 程的思想.方程思想是对方程概念
14、的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等 )可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程 f(x) 0，就是求函数 y f(x)的零点；解不等式 f(x)0(或 f(x)0)，就是求函数 y f(x)的正（负）区间. 3.解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应
15、的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.一般的解题程序是：读题 建模 求解 反馈(文字语言) (数学语言) (数学应用 ) (检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答. 常见的函数模型有一次函数，二次函数，y ax+b/x 型，指数函数模型等等. 核心能力必练一、选择题1 (2018 江西 4 月模拟,10)如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 P 是 B1C 的中点, 动点 M 在其表
16、面上运动, 且与平面 A1DC1 的距离保持不变,运行轨迹为 S,M 从 P 点出发,绕其轨迹运行一周的过程中,运动的路程 x 与 l=MA1+MC1+MD 之间满足函数关系 l=f(x),则此函数图象大致是 ( )【答案】D2 (2017 福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半, 这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时 ,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测不到 ,则它经过的“半衰期”个数至少是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】
17、C【解析】设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1,则经过 n(nN *)个“半衰期” 后的含量为,由12n 得 n10.所以,若探测不到碳 14 含量,则至少经过了 10 个“ 半衰期”.故选 C. n103已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范2exf（ ） 1,mxf)(围为（ ）A B C D1,e,ee,【答案】D4设 ，若函数 为奇函数，则 的解析式可以为12,xfxgtdRfxgx（ ）A B C D31xcosex【答案】B【解 析】 ，故 ，逐个检验 1 22 1)(x xxtd ()21fxgx选项，代入 显然满足题意，故选 B.gx15函数 的图象大致是（
18、）esinxy【答案】A【解析】由偶函数的定义可知函数 是偶函数，且当 时，esinxy 2x，故选 A.0y6函数 的零点所在的区间是（ ）2xfA B C D,11,00,11,2【答案】B【解析】 ，由零2 1 0(),()2(),()f f f 点存在性定理知，函数 的零点在 内，故选 Bfx07函数 是偶函数，且在 内是增函数， ，则不等式 的解()fx(,)(3)0f ()0xf集为（ ）A B|303或 | 3x或C D|x或 |30x或【答案】B8已知 为奇函数，函数 与 的图象关于直线 对称，若(1)yf()yfx()gy，则 （ ）120x2g()xA. B. C. D.2
19、2【答案】C【解析】由题设可得 .故选 C.01)()()( 2121121 xxffxg9已知函数 ， 是函数 的导函数，则 的图象大致是()fxcos4 ()f（ ）【答案】A10已知函数 ，设 ，且 的零点232017()1xxf()4)Fxf()Fx均在区间 内，其中 ， ， ，则 的最小整数解为（ ）,ababZA B C D1054【答案】D【解析】 ，所以函数 在 内有零点，且在区间,1fffx1,0上，1,0，函数递增，故只有唯一零点， 左移fx201722016x fx个单位4得到 ，则函数 所有零点都在区间 上，所以使得 的最小整数为()Fx()x5,4()0Fx.11已知
20、函数 ， ，对 ， ，使得2exf1ln2gxaR,b，则 的最小值为（ ）fagbaA B C Dln12l12e1e【答案】A【解析】令 ，则 ， ，令21elnxt12ln,etab12lneta，则12lth，导函 数为增函数，且 ，所以函数 在 上递减，在ht12et 102hht10,2,上递增，最小值为 1ln2h12已知函数 若 ，则 的值为（ ）21si,0,exxf12faA B 或 C D 或1212【答案】B【解析】 ，所以 ，令 ，则 ，01ef1fa2sin1fa22,a故选 B.13已知函数 在 内恒小于零，则实数 的取值范围是（ 2log1afxx3,2a）A
21、B C D1,60,1610,4,1【答案】A14定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且Rfxfxxffx为奇函数，则不等式 的解集是（ ）2017fx2017eA B C D,0,1,e【答案】B【解析】设 ，则 ，所以 是 上的减函数，exfg0exffggxR由于 为奇函数，所以 ，2017fx0217,217fg，即 ，结合函数的单调性可知 ，exxff0x0x所以不等式 的解集是 ，故选 B.2017f,15设 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时，fxgR0x，且 ，则不等式 的解集是（ ）0f30gfgA B3,0,3,0,C D 来源:Zxxk.Com
22、,【答案】D16函数 的图象在 处的切线斜率为（ ）25()1xf(0,)fA B C D12 22【答案】D【解析】由 ，得 ，则25()1xf2 221510xxxf，故选 D.20f17已知函数 图象上任一点 处的切线方程为fxR0(,)xy，那么函数 的单调减区间是（ ）2000()1()yfA B C 和 D1,2(,1)(,22)【答案】C【解析】函数 图象上任一点 处的切线方程为fxR0(,)xy，则切线的斜率为 ，即2000()1()yx2001kx.由 ，得 或 ，即函数21fxx210fxx1x2x的单调递减区间是 和 .故选 C.(,)(,18设函数 ，若不等式 在 上3
23、2e6ex xf xa0fx2,有解，则实数 的最小值为（ ）aA B C D312e32e3142e1e【答案】C19 函数 当 时，函数 的零点个数为（ ）1,0()lnkxfk()1yfxA1 B2 C3 D4【答案】D【解析】作出函数 的图象，如图所示.当 时，令 ，有()yfx0k()10fx，则 或 ，当 时，存在两个()1fx1ak()(,1)fxbak零点；当 时，(0,)fb存在两个零点，故函数 的零点个数为 .故选 D. ()1yfx4来源:20已知定义在 上的单调减函数 ，使得 对一切,3fx21sincosfxfax实数 都对立，则 的取值范围为（ ）xaA B C D
24、,1,1,1,【答案】A【解析】根据题意，得22221sin3,sin,coco3si1isxxaaxmin2icos3,1iax故选 A2min, ,c3xa二、填空题21 (2016 福建三明期末 ,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0,经过一定时间 t 后的温度为 T,则 T-Ta=(T0-Ta) ,其中 Ta 称为环境温度,h 称为半衰 期.现有一杯用 88 热水冲的速溶咖啡, 放在 24 的房间中 ,如果咖啡降到 40 需要 20 分钟,那么此杯咖啡从 40 降温到 32 时, 还需要 分钟. 来源:【答案】1022点 在曲线 上，则点 到直
25、线 的距离的最小值是 P2lnyxP40xy【答案】【解析】设 .由题意得 (舍 去)，0(,)xy00011,2,2xyx.故 到01yP直线的距离的最小值是 .2142()d23已知函数 在区间 上的最大值为 ，23e1lnxfx,(0)kM最小值为 ，则 mM【答案】 4【解析】 ，易知函数2 23e1()ln1ln3e1x xfx在 上单fR调递增，所以 ，2ln13e1kMfk，2l kmfk故 .ln16624e1kkffk 24设函数 满足： ，则函数 在区间 上的最小值为 ()fx232()fxx()fx1,【答案】 325已知函数 ，在区间 上有两个零 点，则 的取值范围ln
26、xfkR21,ek是_.【答案】 421ek【解析】由 ，可得 ，则 在区间 上有两个实数解，即直0fxlnxk2lxk21,e线 yk和 的图象在区间 上有两个公共点，由 ，可得 在2ln()xg21,e 312ln()xgg1,e上递增，在 上递减，则 在 处取得最大值 ，由2(,gxe12e，可41()e)g得当 时，直线 和函数 的图象有两个交点，即有函数 在区间42kykxfx上1,e有两个零点，所以 .41e2k三、解答题26 (2018 湖北荆州一模 ,19)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数 f(x)与时刻 x(时) 的关系为 f
27、(x)= ,x0,24,2344xa其中 a 是与气象有关的参数,且 a . 10,2(1)令 t(x)= ,x0,24, 求 t(x)的最值; 24(2)若用每天的 f(x)的最大值作为当天的综合污染指数 ,市政府规定 :每天的综合污染指数不得超过 2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标? 【答案】 （1）最大值 （ 2）没有超标(2)令 t= ,则由 x0,24,得 t , 2410令 g(t)=f(x)=t|t-a|+ ,t , 32则 g(t)= 2,0,4312ttaag(t)在 和 上递增,在 上递减, 0,2a且 g = + ,g =1- , a3412g -g = + - ,
28、 22令 + - 0,得 -1 a ; 4a121令 + - 0,得 0a -1, 2f(x) max= 21,01,3,42af(x) max1, 目前市中心的综合污染指数没有超标. 27已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）在点 处取极值.lnexkfe1x（1 ）求 的值及函数 的单调区间；k()f（2 ）设 ，其中 为 的导函数，证明：对任意 ，gxfxf 0x.2()e【答案】 （1） ，增区间为 ，减区间为 （2）证明见解析k0,11,（2 ）证明： ，当 时， 恒成立.lnlneexxgx201egx当 时，要证 ，0121l1只需证 ，令 ，2lnxxln,hxx则 ，ln
29、e,0,h因此，当 时， ， 单调递增；20,exx当 时， ， 单调递减.20h所以 的最大值为 ，故 .hx22e12ln1ex当 时， ，所以 ，01x2ex所以 ，因此对任意 ， .2lneexg0xg28已知函数 .,xfk（1 ）若曲线 在点 处的切线倾斜角为 ，求 的值；yx0135k（2 ）判定函数 在 上是否存在极大值点或极小值点，并说明理由.f,【答案】 （1） （2）见解析0k【解析】 （1） ，由题意知， ，得 ，解得 .exf 01f1k0k29已知 且 ，函数 0a12log1afx（1 ）求 的定义域及其零点；fx（2 ）设 ，当 时，若对任意 ，存在 ，使得23
30、gmxa1,x23,4x，求实数 的取值范围12fx【答案】(1) ， (2),1 1m【解析】 （1）由 得， ，所以 ，函数的定义域为 ，0x0xx,1令 ，则 ，所以 ，则函数 的零点为 .0fx211f（2 ）当 时，由复合函数的单调性可知，函数 在区间 上单调a 2log1axx,1递增，所以.对任意 ，存在 ，使得 ，只需满足max10ff1,x23,4x12f即可，则问题转化为 在区间 上恒成立，12amaxfgmax0g,对函数 分情况讨论：当 时， ，符合题意；33gx30已知函数 （ ） 211()()3fxaxR（1 ）若 ，求函数 的极值；0af（2 ）当 时，判断函数
31、 在区间 上零点的个数()x0,2【答案】 （1）极小值为 ，极大值为21316af1()6fa（2 ）当 时， 在 上有且仅有一个零点，当 时， 在 上a()fx0, 2(fx0,2有两个零点【解析】 （1） ， ， ，2 1()(1)()faxa01ax, (,)()fx来源:00()f递减 极小值 递增 极大值 递减所以 的极小值为 ，极大值为 fx2131()6af1()6fa（2 ）由（1 ）得 ，)fx当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上递减，在a12(f0,1)1(,)a上递增又因为 ， ，(,)()6fa(03f，所以 在 上有且仅有一个零点，22131)06fa )fx,1在 上没有零点，所以 在 上有且仅有一个零点；, ()fx,当 时， 恒成立， 在 单调递增，1()0ff0,2 ， ，所以 在 上有且仅有一个零点.(0)3f2()x综上可知，当 时， 在 上有且仅有一个零点；af,当 时， 在 上有两个零点 12a()fx0,
