1、坐标系与参数方程1在极坐标系中，过点 且与极轴平行的直线方程是( )(2， 2)A2 B Ccos 2 Dsin 222在直角坐标系 xOy 中，已知点 C(3， )，若以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，3则点 C 的极坐标(，)( 0，0)的一个交点在极轴2上，则 a 的值为_9已知曲线 C1： 2 和曲线 C2：cos ，则 C1 上到 C2 的距离等于 的点的个2 ( 4) 2 2数为_10在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 参数方程为 ( 为参数) ，在极坐标系(与直x cos ，y 1 sin )角坐标系 xOy 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中
2、，曲线 C2 的方程为 (cos sin )10，则曲线 C1 与 C2 的交点个数为_11在极坐标系中，4sin 是圆的极坐标方程，则点 A 到圆心 C 的距离是(4， 6)_12在极坐标系中，点 M 到曲线 cos 2 上的点的距离的最小值为(4， 3) ( 3)_ 来13在平面直角坐标系下，曲线 C1： (t 为参数)，x 2t 2a，y t )曲线 C2： ( 为参数)，若曲线 C1，C 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是x 2sin ，y 1 2cos )_14已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数) ，曲线 C 在点(1，1)处的切线为 l，以x 2cos t，y 2sin
3、t )坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为_15已知点 P(x，y)在曲线 ( 为参数，R)上，则 的取值范围是x 2 cos ，y sin ) yx_16在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程是 ( 为参数) x 2 2cos ，y 2sin )(1)将 C1 的方程化为 普通方程；(2)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系设曲 线 C2 的极坐标方程是 ，求3曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标17已知曲线 C1： (t 为参数) ，C 2： ( 为参数)x 2 cos t，y 1 sin t ) x 4cos ，y 3sin
4、)(1)化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A， B 两点，求| AB|的值418在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin 22 acos (a0)，已知过点 P(2 ，4)的直线 l 的参数方程为： (tx 2 22t，y 4 22t)为参数)，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；(2)若| PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值19在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为Error
5、!( 为参数)，若以直角坐标系 中的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为 sin t(t 为参数) ( 4) 22(1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程；(2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点，求 t 的取值范围20已知点 P 的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点 P 的极坐标是( ， )，点 Q 的极坐标是( ， 0)，其中0 是常数设点 Q 的平面直角坐标是( m，n)(1)用 x，y， 0 表示 m，n；(2)若 m，n 满足 mn1，且 0 ，求点 P 的直角坐标( x
6、，y)满足的方程421已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是Error!(t 是参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且| AB| ，求直线的倾斜角 的值1322在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error! ( 为参数)，其中 ab0.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2cos ，射 线 l：(0) 若射线 l 与曲线C1 交于点 P，当 0 时，射线 l 与曲线 C2 交于点 Q，|PQ
7、| 1；当 时，射线 l 与曲线2C2 交于点 O，|OP| .3(1)求曲线 C1 的普通方程；(2)设直线 l：Error!(t 为参数，t0)与曲线 C2 交于点 R，若 ，求OPR 的面积323已知平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l1：x0，直线l2：xy0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 来源:Z*xx*k.Com(1)写出曲线 C 和直线 l1，l 2 的极坐标方程；(2)若直线 l1 与曲线 C 交于 O， A两点，直线 l2 与曲线 C 交于 O，B 两点，求|AB |.24以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极
8、轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程是 sin 1，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数，( 3)r0)(1)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 r 的取值范围；(2)当 r 2 时，过点 D(2,0)且与直线 l 平行的直线 l交圆 C 于 A，B 两点，求 的|1DA| 1|DB|值25在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数 )，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 (sin cos ) .3 3(1)求 C 的极坐标方程；(2)射线 OM： 1 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为
9、 Q，求|OP|OQ|(613)的取值范围来1在极坐标系中，过点 且与极轴平行的直线方程是( )(2， 2)A2 B Ccos 2 Dsin 22解析 先将极坐标化成直角坐标表示， 化为(0 ，2)，过(0 ，2)且平行于 x 轴的直线为(2， 2)y2，再化成极坐标表示，即 sin 2.故选 D.答案 D2在直角坐标系 xOy 中，已知点 C(3， )，若以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，3则点 C 的极坐标(，)( 0，0)的一个交点在极轴2上，则 a 的值为_9已知曲线 C1： 2 和曲线 C2：cos ，则 C1 上到 C2 的距离等于 的点的个2 ( 4) 2 2数为_解析 将方
10、程 2 与 cos 化为直角坐标方程得 x2y 2(2 )2 与2 ( 4) 2 2xy2 0，知 C1为以坐标原点为圆心，半径为 2 的圆， C2 为直线，因圆心到 直线2xy2 0 的距离为 ，故满足条件的点的个数为 3.2答案 310 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 参数方程为 ( 为参数) ，在极坐标系(与直x cos ，y 1 sin )角坐标系 xOy 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2 的方程为 (cos sin )10，则曲线 C1 与 C2 的交点个数为_解析 曲线 C1 参数方程为 x cos ，y 1 sin ， )x 2(
11、y 1) 21，是以(0 ，1)为圆心，1 为半径的圆曲线 C2 的方程为 (cos sin )1 0，xy1 0.在坐标系中画出圆和直线的图形，观察可知有 2 个交点答案 211在极坐标系中，4sin 是圆的极坐标方程，则点 A 到圆心 C 的距离是(4， 6)_解析 将圆的极坐标方程 4sin 化为直角坐标方程为 x2y 24 y0，圆心坐标为(0，2) 又易知点 A 的直角坐标系为(2 ，2) ，故点 A 到圆心的距离为(4， 6) 32 . （ 0 23） 2 （ 2 2） 2 3答案 2 来源:学312在极坐标系中，点 M 到曲线 cos 2 上的点的距离的最小值为(4， 3) (
12、3)_解析 依题意知，点 M 的直角坐标是 (2，2 )，曲线的直角坐标方程是 x y40 ，因3 3此所求的距离的最小值等于点 M 到该直线的距离，即为 2.|2 23 3 4|12 （ 3） 2答案 213在平面直角坐标系下，曲线 C1： (t 为参数)，x 2t 2a，y t )曲线 C2： ( 为参数)，若曲线 C1，C 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是x 2sin ，y 1 2cos )_ 来源:Zxxk.Com解析 曲线 C1 的直角坐标方程为 x2y2 a0，曲线 C2 的直角坐标方程为 x2( y1) 24，圆心为(0，1)，半径为 2，若曲线 C1，C 2 有公共点，则
13、有圆心到直线的距离 2，|2 2a|1 22即|a 1| ，51 a1 ，5 5即实数 a 的取值范围是1 ，1 5 5答案 1 ， 1 5 514已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数) ，曲线 C 在点(1，1)处的切线为 l，以x 2cos t，y 2sin t )坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为_15已知点 P(x，y)在曲线 ( 为参数，R)上，则 的取值范围是x 2 cos ，y sin ) yx_解析 消去参数 得曲线的标准方程为 (x2) 2y 21 ，圆心为(2 ，0)，半径为 1.设 k ，则直线 ykx，yx即 kxy0 ，当直线
14、与圆相切时，圆心到直线的距离 d 1，| 2k|k2 1即|2k| ，平方得k2 14k2k 21，k 2 ，解得 k ，13 33由图形知 k 的取值范围是 k ，33 33即 的取值范围是 .yx 33， 33答案 33， 3316在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程是 ( 为参数) x 2 2cos ，y 2sin )(1)将 C1 的方程化为普通方程；(2)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系设曲线 C2 的极坐标方程是 ，求3曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标解 (1)C 1 的普通方程为(x 2) 2y 24.(2)设 C1 的圆心为 A，原点 O 在
15、圆上，设 C1 与 C2 相交于 O，B，取线段 OB 的中点 C，直线 OB 倾斜角为 ，OA2，3OC 1，从而 OB2，O ，B 的极坐标分别为 O(0，0)，B .(2， 3)17已知曲线 C1： (t 为参数) ，C 2： ( 为参数)x 2 cos t，y 1 sin t ) x 4cos ，y 3sin )(1)化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A，B 两点，求| AB|的值418在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin 22 acos (
16、a0)，已知过点 P(2 ，4)的直线 l 的参数方程为： (tx 2 22t，y 4 22t)为参数)，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；(2)若| PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值解 (1)y 22 ax，y x2.(2)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ，x 2 22t，y 4 22t)代入 y22 ax，得到 t22 (4a)t8(4a)0 ，则有 t1t 22 (4a) ，t 1t28(4 a)，2 2|MN| 2|PM|PN|，(t 1t 2)2( t1t 2)24t 1t2t 1t2，即 a23 a4
17、0.解得 a1 或 a4(舍去)19在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为Error!( 为参数)，若以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为 sin t(t 为参数) 来源:Z|xx|k.Com( 4) 22(1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程；(2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点，求 t 的取值范围解 (1)由 x cossin 得 x2( cossin) 22cos 22 sincos1，3 3 3所以曲线 M 可化为 yx 21，x 2,2，由 sin t 得 sin cos t，( 4) 22 22 2
18、2 22所以 sincos t，所以曲线 N 可化为 x yt .(2)若曲线 M， N 有公共点，则当直线 N 过点(2,3)时满足要求，此时 t5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立Error! 得 x2x 1t 0，由 14(1t)0，解得 t . 54综上可求得 t 的取值范围是 t5.5420已知点 P 的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点 P 的极坐标是( ， )，点 Q 的极坐标是(， 0)，其中0 是常数设点 Q 的平面直角坐标是( m，n)(1)用 x，y， 0 表示 m，n
19、；(2)若 m，n 满足 mn1，且 0 ，求点 P 的直角坐标( x，y)满足的方程4解 (1)由题意知：Error!和Error!即Error!所以Error!(2)由题意知Error!所以 1.(22x 22y)( 22x 22y)整理得 1.x22 y2221已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是Error!(t 是参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且| AB| ，求直线的倾斜角 的值13解 (1)由 4cos ，得
20、 2 4cos .因为 x2y 2 2，xcos ，所以 x2y 24 x，即曲线 C 的直角坐标方程为(x2) 2y 24.(2)将Error! 代入圆的方程( x2) 2y 24，得(tcos 1) 2 (tsin )24，化简得 t22 tcos 30.设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，由根与系数的关系，得Error!所以|AB |t 1t 2| t1 t22 4t1t2 ，4cos2 12 13故 4cos21，解得 cos .12因为直线的倾斜角 0，)，所以 或 .3 2322在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error! ( 为参数)，其中 ab0.以 O
21、为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2cos ，射线 l：(0) 若射线 l 与曲线C1 交于点 P，当 0 时，射线 l 与曲线 C2 交于点 Q，|PQ| 1；当 时，射线 l 与曲线2C2 交于点 O，|OP| .3(1)求曲线 C1 的普通方程；(2)设直线 l：Error!(t 为参数，t0)与曲线 C2 交于点 R，若 ，求OPR 的面积3解 (1)因为曲线 C1 的参数方程为 Error!( 为参数) ，且 ab0，所以曲线 C1 的普通方程为 1，而其极坐标方程为 1.x2a2 y2b2 2cos2a2 2sin2b2将 0( 0)代入 1，2cos2a2
22、2sin2b2得 a ，即点 P 的极坐标为 ；(a， 0)将 0( 0)代入 2cos ，得 2，即点 Q 的极坐标为(2,0) 来源:ZXXK因为|PQ| 1，所以|PQ|a2| 1，所以 a 1 或 a3.将 (0)代入 1，2 2cos2a2 2sin2b2得 b ，即点 P 的极坐标为 ，(b， 2)因为|OP | ，所以 b .又因为 ab0，所以 a3，3 3所以曲线 C1 的普通方程为 1.x29 y23(2)因为直线 l的参数方程为Error!( t 为参数，t0)，所以直线 l的普通方程为 y x(x0)，3而其极坐标方程为 (R，0)，3所以将直线 l的方程 代入曲线 C
23、2 的方程 2cos ，得 1，即|OR|1.3因为将射线 l 的方程 (0)代入曲线 C1 的方程 1 ，3 2cos29 2sin23得 ，即 |OP| ，3105 3105所以 SOPR |OP|OR|sinPOR12 1sin .123105 23 3302023已知平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l1：x0，直线l2：xy0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)写出曲线 C 和直线 l1，l 2 的极坐标方程；(2)若直线 l1 与曲线 C 交于 O， A 两点，直线 l2 与曲线 C 交于 O，B 两点，求|AB |.解 (1
24、)依题意知，曲线 C：(x1) 2 25，即 x22xy 24y0，(y 2)将 xcos ，ysin 代入上式，得 2cos 4sin .因为直线 l1：x0 ，直线 l2： xy0，故直线 l1，l 2 的极坐标方程为 l1： (R)，2l2： (R)4(2)设 A，B 两点对 应的极径分别为 1， 2，在 2cos 4sin 中，令 ，得 12cos 4sin 4，2 2 2令 ，得 22cos 4sin 3 ，4 4 4 2因为 ，2 4 4所以|AB | .21 2 212cos4 1024以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 l
25、 的极坐标方程是 sin 1，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数，( 3)r0)(1)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 r 的取值范围；(2)当 r 2 时，过点 D(2,0)且与直线 l 平行的直线 l交圆 C 于 A，B 两点，求 的|1DA| 1|DB|值解 (1)由 sin 1，( 3)得 1，(sin cos3 cos sin3)即 y x1，12 32故直线 l 的直角坐标方程为 xy2 0.3由Error! 得Error!所以圆 C 的普通方程为(x 1) 2y 2r 2.若直线 l 与圆 C 有公共点，则圆心(1,0)到直线 l 的距离 d r，即|31 10 2
26、|3 1r ，3 22故实数 r 的取值范围为 .3 22 ， )25在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数 )，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 (sin cos ) .3 3(1)求 C 的极坐标方程；(2)射线 OM： 1 与圆 C 的交点为 O，P ，与直线 l 的交点为 Q，求| OP|OQ|(613)的取值范围解 (1)圆 C 的普通方程是(x2) 2y 24 ，又 xcos ，ysin ，所以圆 C 的极坐标方程为 4cos .(2)设 P(1， 1)，则有 14cos 1，设 Q(2， 1)，且直线 l 的极坐标方程是(sin cos ) ，3 3则有 2 ，3sin 1 3cos 1所以|OP |OQ| 1243cos 1sin 1 3cos 1 ，433 tan 1(613)所以 2|OP|OQ|3.即|OP|OQ| 的取值范围是2,3
