1、坐标系与参数方程坐标系与参数方程 本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程这 部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础 【知识要点】【知识要点】 1极坐标系的概念，极坐标系中点的表示 在平面内取一个定点O，O点出发的一条射线Ox， 一个长度单位及计算角度的正方向(通 常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系O称为极点，Ox称为极轴 设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离OM|叫做点M的极径，记作；以极轴 Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记作，有序数对(，)叫做点M 的极坐标一般情况下，约定0 2极坐标系与直角坐标系的互化 直角坐标化极坐标
2、：xcos，ysin； 极坐标化直角坐标： 222 yx ，).0(tan x x y 3参数方程的概念 设在平面上取定一个直角坐标系xOy， 把坐标x，y表示为第三个变量t的函数 )( )( tgy tfx bta，如果对于t的每一个值(atb)，式所确定的点M(x，y)都在一条曲 线上；而这条曲线上任意一点M(x，y)，都可由t的某个值通过式得到，则称式为该曲 线的参数方程，其中t称为参数 4参数方程与普通方程的互化 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方 法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等 把曲线C的普通方程F(x，y)0
3、化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保 互化前后方程的等价性 要注意方程中的参数的变化范围 5直线、圆、椭圆的参数方程 (1)经过一定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 sin ,cos 0 0 tyy txx (t为参 数)； (2)直线参数方程的一般形式为 btyy atxx 0 0 , (t为参数)； (3)圆的参数方程为 sin ,cos 0 0 ryy rxx (为参数)； (4)椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的参数方程为 sin ,cos by ax (为参数) 【复【复习要习要求】求】 1理解坐标系的作用 2能在极坐标系中用极坐标表
4、示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 3了解参数方程 4能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 (1)判断点) 3 5 , 2 3 (是否在曲线 2 cos上 (2)点P的直角坐标为)3, 1 ( ，则点P的极坐标为_(限定 02) (3)点P的极坐标为) 4 , 3( ，则点P的直角坐标为_ 解：解：(1)因为 2 3 6 5 cos 2 cos ，所以点) 3 5 , 2 3 (是在曲线 2 cos上 (2)根据 2x2y2， )0(tan x x y ， 得2，3t
5、an，又点P在第四象限，2 2 3 ，所以 3 5 ， 所以点P的极坐标为). 3 5 , 2( (3)根据xcos，ysin，得 2 23 , 2 23 yx， 所以点P的直角坐标为). 2 23 , 2 23 ( 例例 2 2 (1)圆2(cossin)的半径为_ (2)直线)( 3 R与圆2sin交与A，B两点，则|AB|_ 解：解：(1)由2(cossin)，得 22(cossin)， 所以，x 2y22x2y，即(x1)2(y1)22， 所以圆2(cossin)的半径为2 (2)将直线)( 3 R与圆2sin化为直角坐标方程，得 由 3 得 x y 3 tan，即xy3， 由2sin
6、，变形为 22sin，得 x 2y22y，即 x 2(y1)21， 因为圆的半径为 1，圆心到直线的距离为 2 1 31 1 d， 所以. 3) 2 1 (12| 2 AB 评述：评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题； (2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定的大小，如例 1(2)，否 则，极坐标不唯一； (3)例 2 也可以用极坐标有关知识直接解决这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的 知识如： 过极点，倾斜角为的直线：(R R)或写成及 过A(a，)垂直于极轴的直线：cosacos 以极点O为圆心，a为半径的圆(a0)：a 若O(0，0)，A(
7、2a，0)，以OA为直径的圆：2acos 若O(0，0)，A(2a， 2 )，以OA为直径的圆：2asin 对于例 2(2)，可以利用结论，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB，当然 也可以用极坐标方程直接解，根据的几何意义求AB 例例 3 3 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为4cos，4sin (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程 解：解：(1)由4cos得 24cos，根据 xcos，ysin，所以x 2y24x 即x 2y24x0 为圆 O1的直角坐标方程， 同理x 2y24y0 为圆 O2的直角坐标方程 (2)由
8、, 04 , 04 22 22 yyx xyx 解得 ; 0 , 0 1 1 y x . 2 , 2 2 2 y x 即圆O1和圆O2交于点(0，0)和(2，2)过交点的直线的直角坐标方程为yx 例例 4 4 (1)曲线的参数方程是 2 1 , 1 1 ty t x (t为参数，t0)，它的普通方程是_ (2)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ty tx 3 , 3 (参数tR R)，圆C的参 数方程为 2sin2 ,cos2 y x (参数0，2)，则圆C的圆心坐标为_，圆心到直线l的 距离为_ 解：解：(1)由 t x 1 1得 x t 1 1 ，带入y1t 2，得 , ) 1
9、( )2( ) 1 1 (1 2 2 x xx x y 注意到1 1 1 t x，所以已知参数的普通方程为 2 ) 1( )2( x xx y (2)直线l的普通方程为xy60，圆C的普通方程为x 2(y2)24， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l的距离. 22 2 |620| d 评述：评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题如例 4(1)， 若参数方程为 2 1 , 1 1 ty t x (t为参数，t0)，则其普通方程为).1( ) 1( )2( 2 x x xx y 例例 5 5
10、 求椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的内接矩形的最大面积 解：解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acos，bsin)，P点在两轴上的投影分别 为A、B，则有S内接矩形4S矩形OAPB4acosbsin2absin2 因为) 2 , 0(，所以 2(0，)，S内接矩形的最大值为 2ab 评述：评述： 圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点， 从而讨论最值等 有关问题 椭圆)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的参数方程为 tan sec by ax (为参数) 抛物线y 22px(p0)的参数方程为 pty ptx 2 2 2 . 例例 6 6 圆M
11、的参数方程为x 2y24Rxcos4Rysin3R20(R0) (1)求该圆的圆心坐标以及圆M的半径； (2)当R固定，变化时，求圆心M的轨迹，并证明此时不论取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆 解：解：(1)依题意得圆M的方程为(x2Rcos) 2(y2Rsin)2R2， 故圆心的坐标为M(2Rcos，2Rsin)，半径为R (2)当变化时，圆心M的轨迹方程为 ,sin2 ,cos2 Ry Rx (为参数)，两式平方相加得x 2 y 24R2，所以圆心 M的轨迹是圆心在原点，半径为 2R的圆 由于,32)sin2()cos2( 22 RRRRR ,2)sin2()cos2( 22 RRRR
12、R 所以所有的圆M都和定圆x 2y2R2外切，和定圆 x 2y29R2内切 例例 7 7 过P(5，3)，倾斜角为，且 5 3 cos的直线交圆x 2y225 于 P1、P2两点 (1)求|PP1|PP2的值；(2)求弦P1P2的中点M的坐标 解：解：(1)由已知 5 3 cos得, 5 4 sin 所以已知直线的参数方程为 , 5 4 3 , 5 3 5 ty tx (t为参数) 代入圆的方程化简，得. 09 5 54 2 tt 的两个解t1、t2就是P1、P2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 PP1|PP2|t1|t2|9 (2)设M(x，y)为P1P2的中点，则点M对应的参数 5
13、 27 2 21 tt t，代入参数方程， 得, 25 33 , 25 44 yx 所以MPPPP, 9| 21 ). 25 33 , 25 44 ( 评述：评述：根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论： 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l|t1t2； 定点M0是弦M1M2的中点t1t20； 设弦M1M2的中点为M，则点M对应的参数值 2 21 tt tM ，(由此可求得|M2M|及中点坐 标) 习题习题 1414 一、选择题一、选择题 1极坐标) 3 4 (2,的直角坐标为 (A)(1，3) (B)(3，1) (C)(1，3) (D)(1，3) 2
14、椭圆 sin5 ,cos2 y x (为参数)的焦距等于( ) (A)21 (B)221 (C)29 (D)292 3已知某条曲线的参数方程为 1 , 23 2 2 ty tx (0t5)，则该曲线是( ) (A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线 4若) 3 , 2(P是极坐标系中的一点， 则、) 3 5 , 2() 3 8 , 2() 3 2 , 2(MRQ) 3 5 2 , 2(kN )(Zk四点中与P重合的点有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 5在极坐标系中，若等边ABC的两个顶点是) 4 5 , 2() 4 , 2(BA、，那么顶点C的坐标
15、可能 是( ) (A) 4 3 , 4( (B) 4 3 , 32( (C), 32( (D)(3，) 二、选择题二、选择题 6过极点，倾斜角是 6 的直线的极坐标方程为_ 7点M的直角坐标(3，3)化为极坐标是_ 8直线 ty atx 41 ,3 (t为参数)过定点_ 9曲线 ty tx,1 2 (t为参数)与y轴的交点坐标是_ 10参数方程 cossin ,2sin y x (为参数)表示的曲线的普通方程是_ 三、解答题三、解答题 11求过点) 4 , 3(，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程 12在椭圆1 49 22 yx 上求一点，使点M到直线021032 yx的距离最小，并求出最 小距
16、离 13设圆C是以C(4，0)为圆心，半径等于 4 的圆(1)求圆C的极坐标方程； (2)从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程 14已知点M(2，1)和双曲线1 2 2 2 y x，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线l 的方程 参考答案参考答案 习题习题 1414 一、选择题一、选择题 1C 2B 3A 4C 5B 二、填空题二、填空题 6)( 6 R； 7) 4 7 ,23(； 8(3，1)； 9(0，1)，(0，1)； 三、解答题三、解答题 11 2 23 cos 12解：由题设知椭圆参数方程为 sin2 ,cos3 y x (为参数)设M的坐标(3cos，2sin) 由
17、点到直线距离, 13 |210) 4 sin(26| 13 |210sin6cos6| d 即d的最小值为26 13 4 ，此时 4 所以M的坐标为).2,2 2 3 ( 13解：(1)设P(，)为圆C上任意一点，圆C交极轴于另一点A由已知|OA|8，在 RtABC中， |OP|OAcos，即8cos，这就是圆C的方程 (2)连结CM，因为M是ON的中点，所以CMON，故M在以OC为直径的圆上 由r|OC|4，得动点M的轨迹方程是4cos 14解：设AB的方程为 sin1 ,cos2 ty tx (t为参数)，代入双曲线方程，得 (2cos 2sin2)t2(8cos2sin)t50， 由于M为AB的中点，则t1t20，则 tan4，从而AB的方程为：4xy70
