1、概率统计概率统计 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据概率是 研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法 统计一章介绍随机抽样、 样本估计总体、 线性回归的基本方法， 通过对典型案例的讨论， 了解和使用一些常用的统计方法， 进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想， 认识 统计方法在决策中的作用概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学 习某些离散型随机变量分布列及其期望、 方差等内容， 初步学会利用离散型随机变量思想描 述和分析某些随机现象的方法， 并能用所学知识解决一些简单的实际问题， 进一步体会概率 模型
2、的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识 11111 1 概率概率( (一一) ) 【知识要点【知识要点】 1事件与基本事件空间： 随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不 可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能 不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件 基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结 果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件 称为基本事件所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示 2频率与概
3、率 频率：在相同的条件S下，重复n次试验，观察某个事件A是否出现，称n次试验中事 件A的出现次数m为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 n m 为事件A出现的频率 概率：一般的，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率 n m ，当n很大时总是在 某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概 率，记做P(A)显然有 0P(A)1 不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，随机事件的概率在(0，1)之间 3互斥事件的概率加法公式 事件的并：由事件A或B至少有一个发生构成的事件C称为事件A与B的并，记做C AB 互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事
4、件 互斥事件加法公式：如果事件A、B互斥，则事件AB发生的概率等于这两个事件分别 发生的概率和，即P(AB)P(A)P(B) 如果A1，A2，An两两互斥，那么事件A1A2An发生的概率，等于这n个事件 分别发生的概率和，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 对立事件： 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件 事件A的对立 事件记作A，满足P(A)1P(A) 概率的一般加法公式(选学)：事件A和B同时发生构成的事件D，称为事件A与B的交 (积)，记作DAB在古典概型中，P(AB)P(A)P(B)P(AB) 4古典概型 古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，
5、在一次试验中可能出现的结果只有 有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等 的，则称这个试验为古典概型古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n个基本事件 为A1，A2，An，则有P(A1A2An)1 且 n AP i 1 )( 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n()，随机事件A包含 的基本事件数为n(A)，则p(A) 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件A ，即 )( )( )( n An AP 5几何概型 几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A理解为区域的一个子区域A，A的概率 只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成
6、正比，而与A的位置和形状无关，这样的试 验称为几何概型 几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性， 每个基本事件发生的可能性相等 几何概型中事件A的概率定义： A AP )(，其中表示区域的几何度量，A表 示子区域A的几何度量 随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均 等计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法， 可以节约大量的人力物力 6条件概率与事件的独立性 条件概率：一般的，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(BA) )( )( AP BAP 为在事 件A发生的条件下，事件B
7、发生的概率一般把P(BA)读作“A发生的条件下B发生的概 率” 在古典概型中，用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则有P(BA) )( )( An BAn 事件的独立性：设A、B为两个事件，如果P(BA)P(B)，则称事件A与事件B相互 独立，并称事件A、B为相互独立事件 若A、B为两个相互独立事件，则A与A、A与B、A与B也都相互独立 若事件A与事件B相互独立，则P(AB)P(A)P(B) 【复习要求】【复习要求】 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率 的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式 3理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基
8、本事件数及事件发 生的概率 4了解随机数的意义，了解几何概型的意义 5在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘 法公式，并能解决一些简单的实际问题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 国家射击队的某队员射击一次，命中 710 环的概率如下表： 命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该队员射击一次， (1)射中 9 环或 10 环的概率； (2)至少命中 8 环的概率； (3)命中不足 8 环的概率 【分析】【分析】射击运动员一次射击只能命中 1 个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中 9 环或 10 环的
9、概率等于射中 9 环与射中 10 环的概率和 命中不足 8 环所包含的事件较多， 而 其对立事件为“至少命中 8 环” ，可先求其对立事件的概率，再通过P(A)1P(A)求解 解：解：设事件“射击一次，命中k环”为事件Ak(kN N，k10)，则事件Ak彼此互斥 (1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件A，则 P(A)P(A10)P(A9)0.60 (2)记“射击一次，至少命中 8 环”为事件B，则 P(B)P(A10)P(A9)P(A8)0.78 (3)“射击一次，命中不足 8 环”为事件B的对立事件，则 P(B)1P(B)0.22 【评析】【评析】解决概率问题时，要先分清所求事
10、件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件， 再决定用哪个公式 当用互斥事件的概率加法公式解题时， 要学会不重不漏的将事件拆为几 个互斥事件，要善于用对立事件解题 例例 2 2 现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语， C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 ()求A1被选中的概率； ()求B1和C1不全被选中的概率 【分析【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式 )( )( )( n An AP求解 解：解：()从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本 事件空间
11、(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)， (A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)， (A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2) 由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的 发生是等可能的 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则 M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1
12、)， (A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2) 事件M由 6 个基本事件组成，因而 3 1 18 6 )(MP ()用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中” 这一事件， 由于N(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件N由 3 个基本事件组成， 所以 6 1 18 3 )(NP，由对立事件的概率公式得 6 5 6 1 1)(1)(NPNP 【评析】【评析】 古典概型解决概率问题时， 选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是 重要的一步本题中选定“从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其
13、一切可能的结 果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算 33218本 题第一问还可以选定“从通晓日语的 3 人中选出 1 人的可能结果”为基本事件空间，共有 3 个基本事件，选出A1只有一种可能，故所求概率为 3 1 例例 3 3 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球，3 个黑球和 4 个白球，从口袋中一次摸出 一个球，摸出的球不再放回 (1)连续摸球 2 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率； (2)连续摸球 2 次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率； (3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 3 次的概率 【分析】【分析】本题是一个古典
14、概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜 用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数本题第二问是条件概率问题做第 三问时，要分为三个事件： “第一次摸到红球” ， “第一次摸到不是红球，第二次摸到红球” ， “前两次摸到不是红球，第三次摸到红球” ，显然三个事件是互斥事件 解：解：(1)从袋中依次摸出 2 个球共有 2 9 A种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 3 412 种结果，则所求概率 6 112 2 9 1 A P(或 6 1 8 4 9 3 1 P) (2)设“第一次摸到黑球”为事件A， “第二次摸到白球”为事件B，则“第一次摸到黑 球， 且第二次摸到白球”
15、 为事件AB， 又 3 1 )(AP，P(AB) 6 1 ， 所以或 2 1 3 1 6 1 )|(ABP (或 2 1 8 4 )|(ABP) (3)第一次摸出红球的概率为 1 9 1 2 A A ， 第二次摸出红球的概率为 2 9 1 2 1 7 A AA ， 第三次摸出红球的 概率为 3 9 1 2 2 7 A AA ，则摸球次数不超过 3 次的概率为 12 7 3 9 1 2 2 7 2 9 1 2 1 7 1 9 1 2 2 A AA A AA A A P 【评析】【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若 无序则都无序， 若有序则都有序， 分子和分
16、母的标准要相同 在求事件个数时常用列举法(画 树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类 讨论，做到不重不漏要正确识别条件概率问题，理解P(A)，P(AB)，P(BA)的含义 例例 4 4 (1)两根相距 6 米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离 都大于 2 米的概率是_ (2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面， 并约好先到者等候另一人一刻钟， 过时即可离去则两人能会面的概率是_ (3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为 _ 【分析】【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解分别转化为线段长度、图形面
17、积、几 何体体积问题求解 解：解：(1)本题可转化为： “在长为 6m 的线段上随机取点，恰好落在 2m 到 4m 间的概率为 多少?” 易求得 3 1 P (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?” ， 解得 16 7 )(AP (3)本题可转化为体积问题： 即 “内切球的体积与正方体体积之比是多少?” 解得 6 P 【评析】【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点解题的关键 是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题基本步骤是：把基本事件空间转化为与之 对应的区域； 把随机事件A转化为与之对应的区域A； 利用概率公式 )( )( )( A AP
18、计算 常 用的几何度量包括：长度、面积、体积 例例 5 5 设有关于x的一元二次方程x 22axb20 ()若a是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，b是从 0，1，2 三个数中任取的一 个数，求上述方程有实根的概率； ()若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方 程有实根的概率 【分析】【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a、b在实数区间选取，可以转化为 几何概型问题求解 解：解：设事件A为“方程x 22axb20 有实根” 当a0，b0 时，方程x 22axb20 有实根的充要条件为 ab ()基本事件共 12 个： (0，0)，(0，1)，(0
19、，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3， 0)，(3，1)，(3，2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含 9 个基本事件，事件A发生的概率为 4 3 12 9 )(AP ()试验的全部结果所构成的区域为(a，b)0a3，0b2 构成事件A的区域为(a，b)0a3，0b2，ab 所以所求的概率为 3 2 23 2 2 1 23 2 【评析】【评析】 几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的， 只是几何概型的 基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个在具体问题中，不能因为古典概型的 基本事件的个数多而误认为是几
20、何概型 例例 6 6 如图，用A、B、C三类不同的元件连结成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正 常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统 N2正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率为 0.80、0.90、0.90，分别求系统N1、N2 正常工作的概率 【分析】【分析】三个元件能否正常工作相互独立当元件A、B、C同时正常工作时，系统N1 正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作，而B、 C至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算 解：解：设元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，则P(A)0.8，P(B)
21、0.9，P(C)0.9， 且事件A、B、C相互独立 (1)系统N1正常工作的概率为 p1P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.800.900.900.648 (2)元件B、C至少有一个正常工作的概率为 1P(BC)1P(B)P(C)10.10.10.99，所以系统N2正常工作的概 率为 p2P(A)(1P(BC)0.800.990.792 【评析】【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意在计算几个事件同时发生的概 率时，要先判断各个事件之间是否相互独立独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要 求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法 例例 7 7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分
22、别标以数字 1，2，3，4，5，6) (1)连续抛掷 3 次，求向上的点数之和为 3 的倍数的概率； (2)连续抛掷 6 次，求向上的点数为奇数且恰好出现 4 次的概率 【分析】【分析】向上点数之和为 3 的倍数共有 6 种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数 的概率为 2 1 ，连续抛掷 6 次是独立重复试验 解：解：(1)向上的点数之和为 3 的结果有 1 种情况，为 6 的结果共 10 种情况，为 9 的结果 共 25 种情况，为 12 的结果共 25 种情况，为 15 的结果共 10 种情况，为 18 的结果共 1 种情 况 所以 3 1 666 1102525101 2 P (2)
23、因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P 2 1 ， 根据独立重复试验概率公式有 64 15 ) 2 1 () 2 1 ( 244 63 CP 【评析】【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解 题 例例 8 8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路 口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有 4 辆车模依次在同一车道上排队等候(该车 道只可以直行或左转行驶)已知每辆车模直行的概率是 5 3 ，左转行驶的概率是 5 2 ，该路口 红绿灯转换间隔时间均为 1 分钟假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要 10 秒钟，一
24、辆左转去北向的车模驶出停车线需要 20 秒钟，求： (1)前 4 辆车模中恰有 2 辆车左转行驶的概率； (2)该车模在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通 过路口) 【分析】【分析】该车模 1 分钟内通过路口包含 2 种情况：4 辆车都直行，3 辆车直行 1 辆车左 转 解：解：(1)设前 4 辆车模中恰有 2 辆左转行驶为事件A，则 625 216 ) 5 2 () 5 3 ()( 222 4 CAP (2)设该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口为事件B，其中 4 辆车模均 直行通过路口为事件B1，3 辆直行 1 辆左转为事件B2，则事件B1、B2
25、互斥 )()()()( 2121 BBPBBPBP 625 297 5 2 ) 5 3 () 5 3 ( 33 4 44 4 CC 【评析】【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质善于转化问题的叙述，恰当的分 类 练习练习 11111 1 一、选择题一、选择题 1下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( ) A频率就是概率 B频率是客观存在的，与试验次数无关 C随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率 D概率是随机的，在试验前不能确定 2从装有 2 个黑球 2 个白球的口袋中任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A至少有一个白球，都是白球 B至少有一个白球，至少有一
26、个红球 C恰有一个白球，恰有两个白球 D至少有一个白球，都是红球 3独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为 0.4，则遇危险时至少有一套报警系统 报警的概率是( ) A0.16 B0.36 C0.48 D0.64 4考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中 任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) A 75 1 B 75 2 C 75 3 D 75 4 二、填空题二、填空题 5 甲、 乙二人掷同一枚骰子各一次 如果谁掷的点数大谁就取胜， 则甲取胜的概率为_ 6设每门高射炮命中飞机的概率都是 0.6今有一敌机来犯，
27、要有 99的把握击中敌机， 至少需要_门高射炮 7 在平面直角坐标系xoy中， 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中概率为 _ 8一个口袋中有 4 个白球，2 个黑球有放回的取出 3 个球，如果第一次取出的是白球， 则第三次取出的是黑球的概率为_；不放回的取出 3 个球，在第一次取出的是白球 的条件下，第二次取出的是黑球的概率为_ 三、解答题三、解答题 9已知集合A42，0，1，3，5 ，在平面直角坐标系中点M(x，y)的坐标满足x A，yA计算：(1)点M恰在第二象限的概率；(2)点M不在x轴上的
28、概率；(3)点M恰 好落在区域 0 0 08 y x yx 上的概率 10某个高中研究性学习小组共有 9 名学生，其中有 3 名男生和 6 名女生在研究学习过程 中， 要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)， 每次汇报都从这 9 名学生中随机选 1 人作为代表发言设每人每次被选中与否均互不影响； (1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率； (2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率 113 名志愿者在 10 月 1 日至 10 月 5 日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这 5 天中 任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响求 (1)这 3 名志愿者中在 10 月 1
29、 日都参加社区服务工作的概率； (2)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日至多有 1 人参加社区服务工作的概率 11112 2 概率概率( (二二) ) 【知识要点】【知识要点】 1离散型随机变量及其分布列 随机变量： 如果随机试验的可能结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的， 我们把这样的变量X叫做一个随机变量 如果随机变量X的所有可能的 取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，X取到 每一个值xi(i1，2，n)的概率为P(Xxi)pi，则称表 X x1 x2 xi xn P p1
30、 p2 pi pn 为离散型随机变量X的分布列具有性质：pi0，i1，2，3，n；p1p2 pn1 离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和 二点分布：如果随机变量的分布列为 X 1 0 P p q 其中 0p1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为 n次独立重复试验在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 )(kXP knkk n qpC (其中p为在一次试验中事件A发生的概率，q1p，k0，1，n).若将n 次独立重复试验中事件A发生的次数设为X，则X的分布列为 X
31、 0 1 k n P n n qpC 00 111n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n 称这样的离散型随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作XB(n，p) 超几何分布：一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任 取n件(nN)， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量， 它取值为m时的概率 为m C CC mXP n N mn MN m M 0()(l，其中l为n和M中较小的一个)我们称离散型随机 变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布 2随机变量的数字特征及正态分布 离散型随机变量的数学期望(均值
32、)与方差：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的数学期望(或均值)，它反映 了离散型随机变量的平均取值水平称 ii n i pXExXD 2 1 )()(为随机变量X的方差， 它反映了离散型随机变量X相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)， 其算数平方根)(XD 为随机变量X的标准差，记作(X)，方差(或标准差)越小表明X的取值相对于期望越集中， 否则越分散 均值与方差的性质：E(aXb)aE(X)bD(aXb)a 2D(X) 若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)pq； 若XB(n，
33、p)，则E(X)np，D(X)npq 正态曲线：函数),( 2 1 )( 2 2 2 )( xex x ，其中R R，0)的图象为正 态分布密度曲线，简称正态曲线其特点有：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线 是单峰的，关于x对称；曲线在x处达到峰值 2 1 ；曲线与x轴之间的面积 为 1；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由决 定越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖” ，表示总体 的分布越分散 正态分布：如果对于任意实数ab，随机变量X满足)(bXaPdxx b a )( ，则称 X的分布为正态分布；随机变量X服从参数、的正态分布，记作N(
34、， 2) 正态分布的三个常用数据： P(X)68.3；P(2X2)95.4；P(3 X3)99.7 【复习要求】【复习要求】 在对具体问题的分析中， 理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念， 认识分 布列对于刻画随机现象的重要性 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 通过实例， 理解n次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些简单的实际问题 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随 机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题 通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 一袋中装有编
35、号为 1、2、3、4、5、6 的 6 个大小相同的小球，现从中随机取出 3 个球，以X表示取出球的最大号码， (1)求X的分布列；(2)求X4 的概率；(3)求E(X) 【分析】【分析】随机变量X可能取的值为 3、4、5、6，应用古典概型求得X取每一个值的概 率，就可以写出分布列 解：解：(1)随机变量X可能取的值为3、4、5、6，且 , 20 3 )4(, 20 11 )3( 3 6 2 3 3 6 C C XP C XP 3 6 2 4 )5( C C XP 10 3 20 6 ， 2 1 20 10 )6( 3 6 2 5 C C XP，所求X的分布列为 X 3 4 5 6 P 20 1
36、 20 3 10 3 2 1 (2)6()5()4(XPXPXP 5 4 (3).25. 5 2 1 6 10 3 5 20 3 4 20 1 3)(XE 【评析】【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X的所有可能取 值)， 以及取得每个结果(X的每一个值)的概率 书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个xi所对应的概率pi，最后列 成表格 要注意不同的X值所对应的事件之间是互斥的， 求离散型随机变量在某一范围的概 率等于它取这个范围内各个值的概率和 例例 2 2 袋中装有大小相同的 5 个红球、5 个白球，现从中任取
37、 4 个球，其中所含红球的 个数为X，写出X的分布列，并求X的期望 【分析】【分析】袋中共有 10 个球，从中任取 4 个，所含红球的个数为 0、1、2、3、4，每个 事件的概率可以利用古典概型求解 解：解： 随机变量X可取的值有 0、 1、 2、 3、 4，)0(XP, 42 1 210 5 4 10 4 5 0 5 C CC ) 1(XP 21 5 210 50 4 10 3 5 1 5 C CC ，)2(XP 21 10 210 100 4 10 2 5 2 5 C CC ， 4 10 1 5 3 5 ) 3( C CC XP 210 50 21 5 ， 42 1 210 5 )4( 4
38、 10 0 5 4 5 C CC XP， 分布列为 X 0 1 2 3 4 P 42 1 21 5 21 10 21 5 42 1 2 42 1 4 21 5 3 21 10 2 21 5 1 42 1 0)(XE 【评析】【评析】本题的随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，其中N10，M5，n 4 例例 3 3 某人练习射击，每次击中目标的概率为 3 1 (1)用X表示击中目标的次数若射击 1 次，求X的分布列和期望； 若射击 6 次，求X的分布列和期望； (2)若他连续射击 6 次，设为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求的分 布列； (3)他一共只有 6 发子弹，若击中目标，则
39、不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次 数的分布列 【分析】【分析】射击问题常被看做是独立重复试验的取值为 0 到 6，的取值为 1 到 6 解：解：(1)X服从二点分布 X 0 1 P 3 2 3 1 3 1 )(XE X服从二项分布)6 , 1 , 0() 3 2 () 3 1 ()(), 3 1 , 6( 6 6 kCkXPB kkk ，分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 729 64 729 192 729 240 729 160 729 60 729 12 729 1 . 2 3 1 6)(XE (2)的取值为 0 到 6，k(k0，1，5)表示第k1 次击中目标，前k次都
40、没 击中目标，则P(k)5 , 1 , 0( 3 1 ) 3 2 (.k k ，6 表示射击 6 次都未击中目标， )6(P 6 ) 3 2 (的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 P 3 1 9 2 27 4 81 8 243 16 729 32 729 64 (3)的取值为 1 到 6k(k1， 2， ， 5)表示第k次时第一次击中目标， )(kP 6; 3 1 ) 3 2 (. 1 k 表示前 5 次都没有击中目标， 5 ) 3 2 ()6(P的分布列为 1 2 3 4 5 6 P 3 1 9 2 27 4 81 8 243 16 243 32 【评析】【评析】要书写分布列，必须先弄清
41、随机变量X的含义以及取值情况，并准确定义事件 “Xk” 在计算满足二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计 算 例例 4 4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X和Y，且X和Y 的分布列为 X 10 9 8 7 6 5 0 P 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0 Y 10 9 8 7 6 5 0 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 计算X和Y的期望和方差，并以此为依据分析两人的技术水平 【分析】【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析 解：解：E(X)8.85，D(X)2.22
42、75；E(Y)5.6，D(Y)10.24由于E(X)E(Y)，说明 甲射击的平均水平比乙高；由于D(X)D(Y)，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定， 乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好 【评析】【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概 率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加科学对待计算结果， 正确分析数据所表达的实际意义 例例 5 5 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数， 用随机变量表示方程x 2bx c0 实根的个数(重根按一个计) (1)求方程x 2bxc0 有实根的概率； (2)求在
43、先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程x 2bxc0 有实根的概率； (3)若21，求、的数学期望和方差； 【分析【分析】 本题概率问题是古典概型， 要分别求出事件中所含元素的个数， 第一问事件 “二 次方程有实根”等价于“b 24c0” ，b、c 的值都取自1，2，3，4，5，6；第二问是 条件概率问题；第三问先求的期望和方差，再由公式求的期望和方差 解：解：(1)由题意知：设基本事件空间为，记“方程x 2bxc0 没有实根”为事件 A， “方程x 2bxc0 有且仅有一个实根”为事件 B， “方程x 2bxc0 有两个相异实数” 为事件C，中基本事件总数为 36 个，A中的基本事件总数
44、为 17 个，B中的基本事件总数为 2 个，C中的基本事件总数为 17 个 又因为B，C是互斥事件，故所求概率 36 19 36 17 36 2 )()(CBBPP (2)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件D， “方程x 2bxc0 有实数”为事件 E， 由上面分析得 DPDP(, 36 11 )( 36 7 ) E， 11 7 )( )( )|( DP EDP DEP ()由题意的可能取值为 0，1，2，则 , 36 17 2, 18 1 1, 36 17 0PPP 故的分布列为： 0 1 2 P 36 17 18 1 36 17 所以 18 17 36 17 ) 12( 18 1 )
45、11 ( 36 17 (00, 1 36 17 2 18 1 1 36 17 0 222 DE 9 34 2) 12(, 312) 12( 2 DDDEEE 【评析】【评析】本题是一道概率的综合题，由 07 山东卷改编而得在古典概型中解决条件概 率问题时， 概率公式是)|(ABP )( )( )( )( An BAn AP BAP 具有线性关系的两个随机变量的 期望和方差之间的关系是bXaEbaXE)()(，)()( 2 XDabaXD 例例 6 6 (1)设两个正态分布N(1， 2 1 )(10)和N(2， 2 2 )(20)的密度函数图象 如图所示则有( ) A12，12 B12，12 C12，12 D12，12 (2)已知随机变量X服从正态分布N(3， 2)，已知 P(X4)02，则P(2X3) _ (3)假设某自动车床生产的弹簧的自由长度服从N(1.5， 0 02 2)， 已知 P(1.5 30.02)0.997质检员抽检到 5 件弹簧的自由长度分别为 1.47，1.53，1.49，1.57， 141，据此判断生产情况是否正常? 解：解：(1)选择A；(2)0.3； (3)(1.530.02，1.530.02)(1.44，1.56)，而 1.41(1.44，1.56)，所以小 概率事件“1.530.02”发生，说明生产情况不正常. 【评析】
