1、 2020年高考理科数学坐标系与参数方程【题型归纳】题型一 曲线的极坐标方程例1 、在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.【答案】（1）C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40；（2）面积为.【解析】(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解
2、得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.【易错点】互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)，要注意，的取值范围及其影响.【思维点拨】进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.题型二 参数方程及其应用例2、已知曲线C：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为3
3、0的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.【答案】（1）2xy60；（2）最大值为，最小值为.【解析】(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为；当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.【易错点】参数方程要变形使用.【思维点拨】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参
4、数创造条件.2. 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.题型三 极坐标与参数方程的综合应用例3、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【答案】（1）xy40；（2）最小值为，此时点P的直角坐标为.【解析】(1)C1的普通方程为y21，曲线C2的直角坐标方程
5、为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin ).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值.又d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时点P的直角坐标为.【思维点拨】1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【巩固训练】题型一 曲线的极坐标方程1.在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以
6、坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求直线C1与曲线C2交点的极坐标.【答案】.【解析】联立方程解之得且2.所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为.2.在极坐标系中，已知极坐标方程C1：cos sin 10，C2：2cos .(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离.【答案】（1）xy10，表示一条直线，(x1)2y21圆.【解析】(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一条直线.由C2：2cos ，得22cos .x2y22x，则(x1)2y21，C2是圆心为(1，0)，半径r1的圆.(2)由(1)知，
7、点(1，0)在直线xy10上，因此直线C1过圆C2的圆心.两交点A，B的连线段是圆C2的直径，因此两交点A，B间的距离|AB|2r2.3.在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求圆C2关于极点的对称圆的方程.【答案】22cos 4sin 40.【解析】点(，)与点(，)关于极点对称，设点(，)为对称圆上任意一点，则(，)在圆C2上，()22cos 4sin 40，故所求圆C2关于极点的对称圆方程为22cos 4sin 40.题型二 参数方程及其应用1.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
8、则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0【答案】A【解析】y1x化为极坐标方程为cos sin 1，即.0x1，线段在第一象限内(含端点)，0.故选A.2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|PN|的值.【答案】（1）4sin ；（2）1.【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t，得xy10.
9、曲线C的参数方程为(为参数)，利用平方关系，得x2(y2)24，则x2y24y0.令2x2y2，ysin ，代入得C的极坐标方程为4sin .(2)在直线xy10中，令y0，得点P(1，0).把直线l的参数方程代入圆C的方程得t23t10，t1t23，t1t21.由直线参数方程的几何意义，|PM|PN|t1t2|1.题型三 极坐标与参数方程的综合应用1.在直角坐标系中，圆的方程为（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，求的斜率【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得的极坐标方程（2）在（I）中建立的极坐标系中，直线
10、的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是来源:学科网由得，所以的斜率为或2.已知曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin4.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2)若射线与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线与曲线C交于O，P两点，求PAB的面积.【答案】（1）xy80；（2）2.【解析】(1)由(为参数)，消去.普通方程为(x2)2y24.从而曲线C的极坐标方程为24cos 0，即4cos ，因为直线l的极坐标方程为sin4，即sin cos 4，直线l的直角坐标方程为xy80.(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为，联立射线与曲线C的极坐标方程，得P点极坐标为，|AB|2，SPAB22sin2.5
