1、一、选择题：一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 2 |lg(34)Ax yxx，集合 |22 x By y，U R，() U C AB （） A.(0 4，B.(2)， C.2 5)，D.(2 4， 2. 已知i为虚数单位，且复数z满足 3 (12 )1zii ，则关于复数z的四个命题： 复数z的虚部为 3 5 i； 2 5 | 5 z ； 复数z对应的点在第三象限； 12zi 其中正确命题的个数为（） A.1B.2C.3D.4 3. 已知数列 n a的前n项的和为 n S，且满足24 nn Sa，
2、则 5 a （） A.16B.32C.64D.128 4. 2020 年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发， 一方有难八方支援， 全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情 狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐 6 架我国自主生产的“运 20”大型运输机，编号分为 1 2 3 4 5 6， ， ，号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中 1 号与 6 号相邻降落的概率为（） A. 1 12 B. 1 6 C. 1 5 D. 1 3 5. 函数( )2 020sin2f xxx，若满足 2 ()(1)0f xxft 恒成立，则实数t的取值范围为（） A.2)， B.
3、1)， C. 3 ( 4 ，D.(1， 6. 已知双曲线 22 22 1(00) xy Cab ab ：，的一条渐近线的倾斜角为 3 ，且双曲线过点(2 3)P，双曲线两条渐近线与过 右焦点F且垂直于x轴的直线交于A B，两点，则AOB的面积为（） A.4 3B.2 3C.8D.12 7. 将函数 2 ( )sin()sincos 3 f xxxx的图象向右平移 6 个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数( )g x，则关 于函数( )g x的结论正确的是（） A.最小正周期为B.关于 6 x 对称C.最大值为 1D.关于 (0) 24 ，对称 8. 已知在等边三角形ABC中，2AB ，
4、AD为BC的中线，以AD为轴将ABD折起，得到三棱锥ABCD，使得 BADC为120，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（） A.2B.4C.6D.7 9. 已知二项式()nxy的展开式的二项式项的系数和为64， 2 012 (23)(1)(1)(1) nn n xaa xaxax，则 2 a （） A.20B.30C.60D.80 10.已知圆 22 4Cxy：， 直线60lxy：， 在直线l上任取一点P向圆C作切线， 切点为A B， 连接AB， 则直线AB 一定过定点（） A. 22 () 33 ，B.(1 2)，C.( 2 3) ，D. 44 () 33 ， 11.已知函数 2| | 2
5、 ( )log () x f xxe，设 0.30.2 1 2 155 ( )( )(log) 244 afbfcf，则a b c，的大小关系为（） A.bcaB.cabC.cbaD.bac 12.已知函数 ln ( )() ax f xa x R，对于 24 12 xxee，且 12 xx， 12 1212 ()()1f xf x xxx x 恒成立，则实数a的取值范围 为（） A. 1 ( 3 ，B.(2，C. 1)， D. 1 ) 3 ， 二、填空题：二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量(1 2)a ，向量( 2 3)b ，则向量ab 在向量a 上
6、的投影为. 14.已知xy，满足约束条件 10 240 0 xy xy y ，且(00)zaxby ab，的最大值为 1，则 11 ab 的最小值为. 15.设a b c，为锐角ABC内角A B C， ，的对边，且满足 coscos2 3sin 3 ABC aba ，若4b 时，则ABC面积的最大值 为. 16.已知抛物线 2 2(0)Cypx p：的准线方程为2x ， 在抛物线C上存在两点A B，关于直线60lxy：对称， 且O 为坐标原点，则|OAOB 的值为. 三、解答题：三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
7、 第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（一）必考题：共 60 分。 学校：学校：班级：班级：姓名：姓名：考号：考号： _装装_订订_线线_ 理科数学试题第 3 页（共 4 页）理科数学试题第 4 页（共 4 页） 17.（12 分）已知数列 n a满足 11 121 nn aaa ，数列 n b的前n项的和为 2 n Sn. （1）求出数列 nn ab，的通项公式； （2）求数列 nnn cba的前n项的和 n T. 18.（12 分）在几何体PEABCD中，PD 面ABCD，直角梯形ABCD中， ABADABCD，P，且2CDAB 22AD，且 1 2 ECPD E
8、CPD，P. （1）求证：平面EBC 平面PDB； （2）若直线PB与平面PDC所成角的正切值为 2 2 ，求二面角APBE的余弦值. 19.（12 分）2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情 况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11 13，其中男生 30 人对 于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线上教育不满意. （1）完成22列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关” ； 满意不满意总计 男生 女生 合计120 （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，
9、利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生中抽取 3 名学生，作线上学 习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值. 参考公式：附： 2 2 () ()()() n adbc K ab ad cd 2 ()P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0720.7063.8415.0246.6357.87910828 20.（12 分） 已知离心率为 2 2 的椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab ，经过抛物线 2 4xy 的焦点F， 斜率为 1 的直线l经过(1 0)， 且与椭圆交于CD，两点. （1）求COD面积； （2）动直线
10、m与椭圆有且仅有一个交点，且与直线12xx，分别交于A B，两点， 2 F为椭圆的右焦点，证明 2 2 | | AF BF 为定值. 21.（12 分）已知函数 2 1 ( )ln () 2 f xxaxx a R. （1）当函数( )f x在(1 3)，内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围； （2）若对于0x ，不等式 2 2 ( )22(1)f xxax恒成立，求整数a的最小值. （二）选考题：（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4 4:坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方
11、程为 4 31 xta yt ， ， （t为参数，a为常数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 6 2cos . （1）当直线l与曲线C相切时，求出常数a的值； （2）当()xy，为曲线C上的点，求出23xy的最大值. 23.选修 4 5:不等式选讲（10 分） 已知函数( )|36|1|()f xxxax a R. （1）当1a 时，解不等式( )10f x ； （2）若方程( )0f x 有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 学校：学校：班级：班级：姓名：姓名：考号：考号： _装装_订订_线线_ 理科数学答案第 1 页（共 4 页）
12、理科数学答案第 2 页（共 4 页） 一一、选择题、选择题 1. 【答案】【答案】D 【解析【解析】集合A满足： 2 340xx，(4)(1)0xx，4x 或 1x ， |4Ax x或1x ，= | 14 U C Axx ，2xy 22， |2By y，可知() | 24 U C ABxx.故选 D. 2. 【答案】【答案】A 【解析【解析】 1(1)(12 )13 1255 iiii z i ，复数z的虚部为 3 5 ， 故错误； 22 1310 |()() 555 z ，故错误；复数z对应的 点为 13 () 55 ，为第三象限内的点， 故正确； 复数不能比较大小， 故错误.故选 A. 3
13、. 【答案】【答案】C 【解析】【解析】24 nn Sa，可得当1n 时， 11 24aa， 1 4a， 当2n 时， 11 24 nn Sa 与已知相减可得 1 2 n n a a ，可知数列 n a是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 4 5 4264a .故选 C. 4. 【答案】【答案】D 【解析】【解析】可知降落的概率为 25 25 6 6 1 3 A A p A .故选 D. 5. 【答案】【答案】C 【解析【解析】函数( )2020sin 2f xxx满足()2020sin 2fxxx ( )f x ，且( )20202cos 20fxx，可知函数( )f x为单调递 增的奇函
14、数， 2 ()(1)0f xxft 可以变为 2 ()(1)f xxft (1)f t， 可知 2 1xxt ， 2 1txx， 22 1 1() 2 xxx 33 44 ，可知实数 3 4 t ，故实数t的取值范围为 3 ( 4 ，.故选 C. 6. 【答案】【答案】A 【解析【解析】双曲线的渐近线方程为3yx ，可得双曲线的方程为 2 2 3 y x，把点(2 3)P，代入可得43=，1，双曲线的 方程为 2 22 11342(2 0) 3 y xccF ，可得(2 2 3)A， (22 3)B，可得 1 24 34 3 2 AOB S.故选 A. 7. 【答案】【答案】B 【解析】【解析
15、】 2 ( )sin()sincos 3 f xxxx 1cos2 (sin coscos sin)sin 332 x xxx 3131313 sin2cos2(sin2cos2 ) 4442224 xxxx 13 sin(2) 264 x 把函数( )f x的图象向右平移 6 单位，再把横坐标缩小到原来的一 半，得到函数( )g x，可得 13 ( )sin(4) 264 g xx，最小正周期为 2 42 ，故选项 A 错误； 6 x ， 44 6662 x，故选 项 B 正确；最大值为 135 244 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 为 3 ()() 424 4 k kZ，故选项 D
16、错误.故选 B. 8. 【答案】【答案】D 【解析【解析】 可知120BDC， 且31ADBDDC， 在BDC 中， 根据余弦定理可得 2 1 12 1 1 cos12033BCBC ， 据正弦定理可得2 sin120 BC r ， 3 2 3 2 r，1r ， 1 O为BDC 的外心，过点 1 O作 1 OO 平面BDC，O为三棱锥ABCD的外 接球的球心，过点O作OKAD，K为AD的中点，连接OD即 为外接球的半径 22 37 1() 22 R ，可得外接球的表面积为 22 7 44()7 2 SR.故选 D. 9. 【答案】【答案】C 【解析】【解析】二项式()nxy的展开式的二项式项的
17、系数和为64，可 得264 n ，6n ， 6 (23)(23) n xx， 设1xt ，2321xt， 6626 0126 (23)(23)(21) n xxtaata ta t，可得 1r T 46 4 442 22 66 (2 )1260CtCtt ，可知 2 60a .故选 C. 10.【答案】【答案】A 【解析【解析】设点 00 ()P xy，则 00 60xy，则过点P向圆C作切 线，切点为A B，连接AB，则直线AB的方程为 00 4xxyy， 可得 00 6yx， 代入可得 0 ()640xy xy，满足 0 640 xy y 2 3 2 3 x y ，故过定点为 2 2 ()
18、 3 3 M ，.故选 A. 11.【答案】【答案】B 【解析【解析】 2| | 2 ( )log () x f xxe， 定义域为R， 且满足()(|)fxfx， 当0x 时，单调递增，而 0.2 5 ( )1 4 ， 0.3 1 0( )1 2 ，ba， 122 2 555 (log)( log)(log) 444 cfff，而 22 51 0loglog2 42 ， 0.3 11 ( ) 22 ， 0.3 2 51 log( ) 42 ， 0.3 2 51 (log)( ) 42 ff，故ca， 故cab.故选 B. 12.【答案】【答案】D 【解析【解析】 12 1212 ( )()1
19、f xf x xxx x ，不妨设 12 xx，则 12 ()()f xf x 21 11 xx ， 整理可得 12 12 11 ()()f xf x xx ， 设函数 1 ( )( )h xf x x ln1ax xx 在 24 ee，上单调递减， 可知 22 (1ln )1 ( )0 ax h' x xx ， 可知 1 1ln a x ， 而函数 1 ( ) 1ln F x x 在 24 ee，单调递增， max ( )F x 11 (4) 143 F ，可知实数 1 3 a .故选 D. 二、填空题二、填空题 13.【答案】【答案】 9 5 5 【解析】【解析】向量ab 在a 上
20、的投影为 () |cos | aba ab a ( 1 5) (1 2)9 5 55 ， . 14.【答案】【答案】52 6 【解析】【解析】首先作出可行域，把(00)zaxby ab，变形为y az x bb ，根据图象可知当目标函数过点A时，取最大值为 1， 10 (3 2) 240 xy A xy ， ，代入可得321ab ，则 1132ab aba 322323 325252 6 abbaba babab ，当且仅当 6 2 ba取等号，可知最小值为52 6.故选 C. 15.【答案】【答案】4 3 【解析】【解析】 coscos2 3sin 3 ABC aba ，根据正弦定理sinc
21、osBA 2 3 sincossinsin 3 ABBC，可知 2 3 sin()sinsin 3 ABBC， 2 3 sinsinsin 3 CBC， 3 sin 2 B，在ABC内，可知 3 B 或 2 3 ，因为锐角ABC，可知 3 B ，利用余弦定理可得 222 bac 22 2cos2acBacacacacac ， 可知16ac， 则ABC的 面积的最大值 113 sin164 3 222 acB，当且仅当ac时，取 等号，故面积的最大值为4 3. 16.【答案】【答案】4 5 【解析【解析】抛物线 2 2(0)Cypx p：的准线方程为2x ，可知抛 物线C的方程为： 2 8yx，
22、设点 1122 ()()A xyB xy，AB的中点为 00 ()M xy，则 22 1122 88yxyx，两式相减可得 1212 ()()yyyy 12 8()xx， 12 1212 8yy xxyy ， 可知 0 00 8 ( 1)1 2 60 y xy ， 解得 0 0 2 4 x y ， 可得(2 4)M，则22(2 4)(4 8)OAOBOM ， 可得 22 |(4 8)|484 5OAOB ，. 三、解答题三、解答题 17.【解析【解析】 （1） 11 121 nn aaa ，可得 1 12(1) nn aa ， 1 n a是首项为 2，公比为 2 的等比数列.- 2 分 1 1
23、2 22 nn n a ，21 n n a. 即数列 n a的通项公式21 n n a .- 4 分 数列 n b的前n项的和为 2 n Sn，可得 11 1bS， 当2n 时， 22 1 (1)21 nnn bSSnnn ， 故数列 n b的通项公式为21 n bn.- 6 分 （2）可知(21) (21) n nnn cban (21)2(21) n nn- 7 分 设 23 1 23252(21) 2n n An ， 231 21 232(23) 2(21) 2 nn n Ann ， 两式相减可得 231 22(222 )(21) 2 nn n An ， 可得 12 6(21) 22 n
24、n n An ，- 10 分 而数列21n 的前n项的和为 2 (121) 2 n nn Bn ， 所以 122 6(21) 22 nn n Tnn .- 12 分 18.【解析【解析】 （1）证明：PD 面ABCD，PDBC， 在梯形ABCD中，过B作BHDC交DC于H，1BH， 22 1 12BDDHBH，2BC ， 222 ( 2)( 2)2， 即 222 DBBCDC，即BCDB.- 2 分 BCDB，PDBDD，BC平面PDB， BC 平面EBC 平面PBC 平面PDB.- 4 分 （2）连接PH，BH 面PDC，BPH为PB与面PDC所成 的角， 1 tanBPH 2 BH PH
25、，1BH ，2PH， 222 PDDHPH， 2 12PD ，1PD，- 6 分 以D为原点，分别以DA，DC与PD为x y z， ，轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则(0 0 1)(1 0 0)(1 1 0)(0 2 0)PABC， ， ， ， ， ， ， 1 (0 2) 2 E，可知(1 11)(0 1 0)PBAB ， 设平面PAB的法向量为()ax y z ， ， 可知 00 0 0 PB axyz y AB a ，可取(1 0 1)a ，- 8 分 设平面PEB的法向量为 1 ()( 1 1) 2 bx y zBE ， ， ， 可知 0 0 1 0 0 2 xyz PB b x
26、yz BE b ，可取 (3 1 4)b ，- 10 分 可知两向量的夹角的余弦值为 22 1 30 1 1 4 cos | 1 1 314 a b a b 7 13 26 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 值为 7 13 26 .- 12 分 19.【解析【解析】 （1）完成22列联表， 满意不满意总计 男生302555 女生501565 合计8040120 根据列联表中的数据，得到 2 2 120 (30 1525 50) 55 65 8040 K 960 6.7136.635 143 ，所以有99%的把握认为对“线上教育是否 满意与性别有关”.- 6 分 （2）由（1）
27、可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，0 1 2 3， ，. 321 553 33 88 515 (0)(1) 2828 CC C PP CC ， 123 533 33 88 151 (2)(3) 5656 C CC PP CC ，.- 8 分 可得分布列为 0123 P 5 28 15 28 15 56 1 56 可得 5151519 ( )0123 282856568 E .- 12 分 20.【解析【解析】（1） 2 4xy ， 焦点(01)F， 代入得1b， 2 2 c e a ， 222 abc，解得 22 21ab， 2 2 1 2 x y，- 2 分 直线的斜率为 1，且经过(1
28、0)，则直线方程为1yx， 联立 2 2 1 2 1 x y yx ， ， 解得 0 1 x y 或 4 3 1 3 x y ， ， 4 1 (01)() 33 CD，- 4 分 理科数学答案全解全析 - 4 分 - 10 分 理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页） 4 2 | 3 CD，又原点O到直线1yx的距离d为 2 2 ， 114 222 | 22323 COD SCD d .- 6 分 （2）根据题意可知直线m的斜率存在，可设直线m的方程为： ykxt，联立 2 2 1 2 ykxt x y ， ， 222 (21)4220kxktxt， 可得 22
29、2 (4)4(21)(22)0ktkt ，整理可得 22 21tk， 可知 2(1 0) F，(1)(2 2)AktBkt，- 8 分 则 2222 2 2222 2 (1 1)(0)|2 | (2 1)(20)1(44) ktAFkktt BF ktkktt 22 22 22 2 242 kktt kktt 为定值.- 12 分 21.【解析【解析】 （1）函数( )f x的定义域为(0)， ， 2 11 ( ) xax fxxa xx ，设 2 ( )1h xxax， 函数( )h x在(1 3)，内有且只有一个零点，满足(1)(3)0hh， 可得(11)(931)0aa，解得 10 2
30、3 a， 故实数a的取值范围为 10 (2) 3 ，.- 4 分 （2） 2 2 ( )22(1)f xxax，可以变形为2ln22xx 2 (2 )a xx，因为0x ，可得 2 2ln22 2 xx a xx ，- 6 分 设 2 2ln22 ( ) 2 xx g x xx ， 22 2(1)(2ln) ( ) (2 ) xxx g' x xx . 设( )2ln( )h xxx h x，在(0)， 单调递增， 11 ( )2ln20 22 h ，(1)10h . 故存在一点 0 (0.5 1)x ，使得 0 ()0h x，- 8 分 当 0 0xx时，( )0( )0h xg&#
31、39; x，函数( )g x单调递增； 当 0 xx时，( )0( )0h xg' x，函数( )g x的最大值为 0 ()g x， 且 00 2ln0xx，- 10 分 00 max0 2 000 2ln221 ( )() 2 xx g xg x xxx ， 可知 0 1 a x ， 又 0 1 (1 2) x ， 可得整数a的最小值为 2.- 12 分 22.【解析【解析】 （1） 由题可知： 222 2cos6， 222 2()6xyx， 曲线C的直角坐标方程为 22 1 32 yx ， 直线l的普通方程为34430xya，- 3 分 两方程联立可得 22 336(43 )(43
32、 )480xa xa， 可知 22 6(43 )433 (43 )480aa ， 解得 664 3 a 或 664 3 a .- 6 分 （2）曲线C的方程 22 1 32 yx ，可设 2cos 3sin x y ， 则 22 232 2cos3 3sin(2 2)(3 3) sin()xy， 其中 2 6 tan 9 ，可知最大值为 22 (2 2)(3 3)35.- 10 分 23.【解析【解析】 （1）当1a 时，( )|36|1|10f xxxx ， 当1x 时，(36)(1)10xxx ，解得1x， 可得1x ；- 2 分 当12x 时，(36)(1)10xxx ，解得1x， 可得1x ； 当2x 时，(36)(1)10xxx ，解得5x ， 综上可得 |51x xx或 .- 4 分 （2）由( )0f x 可知，( )|36|1|0f xxxax， |36|1|xxax，设( )|36|1|g xxx，( )h xax， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，- 6 分 451 ( )2712 452 xx g xxx xx ， ， ， 可得(2 3)A， 当函数( )h x与函数( )g x的图象有两个交点时， 方程( )0f x 有两 个不同的实数根，- 8 分 由函数图象可知，当 3 4 2 a时，有两个不同的解，故实数a的 取值范围为 3 (4)
