2019年高考数学教师版(含解析)之 函数与方程思想、数形结合思想

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1、函数与方程思想、数形结合思想【2019 年高考考纲解读】数 学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习 领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式

2、恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数 思想构造新函数,建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.1221 的解集为_ _.gxex例 3.已知 f(t)log 2t, t ,8,对于 f(t)值域内的所有 实数 m,不等式2x2 mx42 m4 x 恒成立,则 x 的取值范围是_.例 4.若 x2,1时,不等式 ax3 x24 x30 恒成立,则实数 a 的取值范围是_.题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数;等差数列或等比数列的基本量的计算一般

3、化归为方程(组)来解决.例 5. 已知 an是等差数列, a1010,其前 10 项和 S1070,则其公差 d 等于( )A. B. C. D.23 13 13 23例 6.已知在数列 an中,前 n 项和为 Sn,且 Sn an,则 的最大值为( )来源:n 23 anan 1A.3 B.1 C.3 D.1例 7.在等差数列 an中,若 a10, b0)的右顶点为 A, O 为坐标原点,以 A 为圆x2a2 y2b2心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P, Q 两点,若 PAQ60,且 3 ,则双曲线 COQ OP 的离心率为( )A. B. C. D.2 33 72 396 3例 11

4、.设椭圆中心在坐标原点, A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,直线 y kx(k0)与 AB相交于点 D,与椭圆相交于 E, F 两点.若 6 ,则 k 的值为_.ED DF 例 12.已知直线 l: y k(x1)与抛物线 C: y24 x 交于不同的两点 A, B,且以 AB 为直径的圆过抛物线 C 的焦点 F,则 k_.题型四、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数.例 1.函数 f(x)2 x 的零点个数为( )1xA.0

5、B.1 C.2 D.3例 2.若关于 x 的方程 kx2有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为_.|x|x 4例 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f( x1) f(x1),当 x1,0时,f(x) x3,则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为_.52, 12例 4.已知函数 f(x)Error!则方程 f(x) ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围是_.题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数 f

6、(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是( )A.(,1 B.(0,)C.(1,0) D.(,0)例 6.设 A( x, y)|x2( y1) 21, B( x, y)|x y m0,则使 AB 成立的实数 m的取值范围是_.例 7.若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立,则实数 a 的取值范围是_.12例 8.已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1, x2,使得 f(x1) f(x2),则实数a 的取值范围为_.题型六、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中,通常要数形结合,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式,构建解

7、析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围; 常见的几何结构的代数形式主要有:比值可考虑直线的斜率;二元一次式可考虑直线的截距;根式分式可考虑点到直线的距离;根式可考虑两点间的距离.来源:Z+xx+k.Com例 9.已知圆 C:( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m,0), B(m,0)( m0).若圆 C 上存在点P,使得 APB90,则 m 的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4例 10.设双曲线 C: 1( a0, b0)的左、右顶点分别为 A1, A2,左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1, F2,以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为

8、 直径的圆与直线 PF2相切,则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C.2 D.2 3 5例 11.已知抛物线的方程为 x28 y, F 是其焦点,点 A(2,4),在此抛物线上求一点 P,使 APF 的周长最小,此时点 P 的坐标为_.例 12.已知 P 是直线 l:3 x4 y80 上 的动点, PA, PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线, A, B 是切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为_.【2019 年高考考纲解读】数学教学的最终目标,是要让 学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义

9、的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.122g(x2), e,故选 C.例 2.已知定义在 R 上的函数 g

10、(x)的导函数为 g( x),满足 g( x) g(x)1 的解集为_.gxex答案 (,0)例 3.已知 f(t)log 2t, t ,8,对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式2x2 mx42 m4 x 恒成立,则 x 的取值范围是_.答案 (,1)(2,)解析 t ,8, f(t) .2 12, 3问题转化为 m(x2)( x2) 20 恒成立,当 x2 时,不等式不成立, x2.令 g(m) m(x2)( x2) 2, m .12, 3问题转化为 g(m)在 上恒大于 0,12, 3则Error!即Error!解得 x2 或 x0, 设 Sn f(n),则 f(n)为二次函数,又由

11、 f(7) f(17)知, f(n)的图象开口向上,关于直线 n12 对称,故 Sn取最小值时 n 的值为 12.例 8.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S42, S63,则 nSn的最小 值为_.答案 9解析 由Error!解得 a12, d1,所以 Sn ,故 nSn .n2 5n2 n3 5n22令 f(x) ,则 f( x) x25 x,x3 5x22 32令 f( x)0,得 x0 或 x ,103 f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.(0,103) (103, )又 n 是正整数,故当 n3 时, nSn取得最小值9.题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何

12、中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想;直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决 ;求变量的取值范围和最值问 题常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答.例 9.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 D, E 两点.已知|AB|4 ,| DE|2 ,则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A.2 B.4 C.6 D.8答案 B解析 不妨设抛物线 C: y22 px(p0),圆的方程设为 x2 y2 r2(r0),如图,又可设 A(x0,2 ), D ,2 (p2, 5)点 A(x

13、0,2 )在抛物线 y22 px 上,82 px0,2点 A(x0,2 )在圆 x2 y2 r2上, x 8 r2,2 20点 D 在圆 x2 y2 r2上,5 2 r2,(p2, 5) (p2)联立,解得 p4(负值舍去),即 C 的焦点到准线的距离为 p4,故选 B.例 10.如图,已知双曲线 C: 1( a0, b0)的右顶点为 A, O 为坐标原点,以 A 为圆x2a2 y2b2心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P, Q 两点,若 PAQ60 ,且 3 ,则双曲线OQ OP C 的离心率为( )A. B. C. D.2 33 72 396 3答案 B解析 因为 PAQ60,| AP

14、| AQ|,所以| AP| AQ| PQ|,设| AQ|2 R,又 3 ,则| OP| |PQ| R.OQ OP 12双曲线 C 的渐近线方程是 y x, A(a,0),ba所以点 A 到直线 y x 的距离 d ,ba|baa 0|(ba)2 12 aba2 b2所以 2(2 R)2 R23 R2,(aba2 b2)即 a2b23 R2(a2 b2),在 OQA 中,由余弦定理得, |OA|2| OQ|2| QA|22| OQ|QA|cos 60(3 R)2(2 R)223 R2R 7 R2 a2.12由Error!得Error!所以双曲线 C 的离心率为 e .ca c2a2 a2 b2a

15、2 1 b2a2 1 214R27R2 72例 11.设椭圆中心在坐标原点, A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,直线 y kx(k0)与 AB相交于点 D,与椭圆相交于 E, F 两点.若 6 ,则 k 的值为_.ED DF 答案 或23 38解析 依题意得椭圆的方程为 y21,直线 AB, EF 的方程分别为x24x2 y2, y kx(k0).如图,设 D(x0, kx0), E(x1, kx1), F(x2, kx2),其中 x1 .1k 14所以 k 的取值范围为 .(14, )例 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f( x1) f(x1),当 x1,0时,

16、f(x) x3,则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为_.52, 12答案 7解析 因为函数 f(x)为偶函数,所以 f( x1) f(x1) f(x1),所以函数 f(x)的周期为 2.又当 x1,0时, f(x) x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y1 f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的实数解有 7 个.52, 12不妨设 x1 时,只需求出当直线x4 14 14y ax 和曲线 yln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有 1 个,故结合 图象知,实数a 的取值范围是 .14, 1e

17、)题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数 f(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是( )A.(,1 B.(0,)C.(1,0) D.(,0)答案 D解析 方法一 当Error!即 x1 时,f(x1) f(2x)即为 2( x1) 2 2 x,即( x1)2 x,解得 x1.因此不等式的解集为(,1.当Error!时,不等式组无解.当Error!即1 x0 时, f(x1) f(2x)即 12 2 x,解得 x0.因此不等式的

18、解集为(1,0).当Error!即 x0 时, f(x1)1, f(2x)1,不合题意.综上,不等式 f(x1) f(2x)的解集为(,0).故选 D.此时1 x0.综上,不等式 f(x1) f(2x)的解集为(,1(1,0)(,0).故选 D.例 6.设 A( x, y)|x2( y1) 21, B( x, y)|x y m0,则使 AB 成立的实数 m的取值范围是_.答案 1,)2解析 集合 A 是圆 x2( y1) 21 上的点的集合,集合 B 是不等式 x y m0 表示的平面区域内的点的集合,要使 AB,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线x y m 0 应与圆相切或相离(在圆的

19、左下方),而当直线与圆相切时,有 1,又|m 1|2m0,所以 m 1,故 m 的取值范围是 1,).2 2来例 7.若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立,则实数 a 的取值范围是_.12答案 ( ,12解析 作出 y1| x2 a|和 y2 x a1 的简图,如图所示.12依题意得Error!故 a .12例 8.已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1, x2,使得 f(x1) f(x2),则实数a 的取值范围为_.答案 0,)解析 根据题意知 f(x)是一个分段函数,当 x1 时,是一个开口向下的二次函数,对称轴方程为 x a;当 x1 时,如图(1)所示

20、,符合题意;当0 a1 时,如图(2)所示,符合题意;当 a0).若圆 C 上存在点P,使得 APB90,则 m 的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 B解析 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r1,且|AB|2 m,因为 APB90,连接 OP,可知| OP| |AB| m.12要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为| OC|5,所以|OP|max| OC| r6,即 m 的最大值为 6.例 10.设双曲线 C: 1( a0, b0)的左、右顶点分别为 A1, A2,左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1,

21、F2,以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线 PF2相切,则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C.2 D.2 3 5答案 D解析 如图所示,设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点为 Q,连接 OQ,则 OQ PF2.又 PF1 PF2, O 为 F1F2的中点,所以| PF1|2| OQ|2 a.又| PF2| PF1|2 a,所以| PF2|4 a.在 Rt F1PF2中,由| PF1|2| PF2|2| F1F2|2,得 4a216 a220 a24 c2,即 e .ca 5例 11.已知抛物线的方程为 x28 y, F 是其焦点,点

22、 A(2,4),在此抛物线上求一点 P,使 APF 的周长最小,此时点 P 的坐标为_. 答案 ( 2,12)解析 因为(2) 284,所以点 A(2,4)在抛物线 x28 y 的内部,如图,设抛物线的准线为 l,过点 P 作 PQ l 于点 Q,过点 A 作 AB l 于点 B,连接 AQ,由抛物线的定义可知, APF 的周长为|PF| PA| AF| PQ| PA| AF| AQ| AF| AB| AF|,当且仅当 P, B, A 三点共线时, APF 的周长取得最小值,即| AB| AF|.因为 A(2,4),所以不妨设 APF 的周长最小时,点 P 的坐标为(2, y0),代入 x28

23、 y,得 y0 .12故使 APF 的周长最小的点 P 的坐标为 .来( 2, 12)例 12.已知 P 是直线 l:3 x4 y80 上的动点, PA, PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线, A, B 是切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为_.来答案 2 2解析 连接 PC,由题意知圆的圆心 C(1,1),半径为 1,从运动的观点看问题,当动点 P沿直线 3x4 y80 向左上方或右下方无穷远处运动时,Rt PAC 的面积 SPAC |PA|AC| |PA|越来越大,从而 S 四边形 PACB也越来越大;12 12当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时, S 四边形 PACB变小,显然,当点 P 到达一个最特殊的 位置,即 CP 垂直于直线 l 时, S 四边形 PACB有唯一的最小值,此时| PC|3,从而| PA| 2 ,所以( S 四边形 PACB)|31 41 8|32 42 |PC|2 |AC|2 2min2 |PA|AC|2 .12 2

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