1、专题 14 坐标系与参数方程1【2019 年高考北京卷理数】已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），则点（1，0）到直线 l3,24xy的距离是A B C D525565【答案】D【解析】由题意，可将直线 化为普通方程： ，即 ，即l1234xy1320xy，所以点（1，0）到直线 的距离 ，故选 D432xyl2|0|65d【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查2【2019 年高考全国卷理数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2214txyt，（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
2、立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos3in10（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值【答案】（1） ； 的直角坐标方程为 ；（2） 21()4yxl2310xy7【解析】（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程2t22214yttx为 2(1)4yx的直角坐标方程为 l 30xy（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）cos,2inxyC上的点到 的距离为 l4cs1|2cos3i1|377当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 34s l7【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线
3、距离的最值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题3【2019 年高考全国卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线0(,)M上，直线 l 过点 且与 垂直，垂足为 P:4sinC(4,0)AO（1）当 时，求 及 l 的极坐标方程；0=30（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程【答案】（1） ，l 的极坐标方程为 ；023cos23（2） 4cos,4【解析】（1）因为 在C上，当 时， 0,M0304sin23由已知得 |cos23OPA设 为l上除P的任意一点在 中， ，(,)QRtOPQ
4、cos|23OP经检验，点 在曲线 上(2,)3cos23所以，l的极坐标方程为 （2）设 ，在 中， 即 (,)PRtOAP |cos4,A4cos因为P在线段OM 上，且 ，故 的取值范围是 APOM,42所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos,【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型4【2019 年高考全国卷理数】如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ，(2,0)A(,)4B(2,)C(,)DABCD(1,0)， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 11MAB23MA（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；2
5、3（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M 上，且 ，求 P 的极坐标1 P|O【答案】（1） 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为1M2cos042M， 的极坐标方程为 32sin43 3cos（2） 或 或 或 ,6,2,53,6【解析】（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ，A,BCD2cos2sincos所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ，1M2cos042M3sin4的极坐标方程为 3 3（2）设 ，由题设及（1）知(,)P若 ，则 ，解得 ；042cos36若 ，则 ，解得 或 ；342sin323若 ，则 ，解得 co56综上，P的极坐标为 或 或 或 3,
6、6,32,5,6【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题5【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点 ，直线l的方程为3,2,4ABsin34（1）求A，B 两点间的距离；（2）求点B到直线l 的距离【答案】（1） ；（2）25【解析】（1）设极点为O在 OAB中，A（3， ），B（ ， ），42由余弦定理，得AB= 223()cos()5（2）因为直线l的方程为 ，sin()34则直线l过点 ，倾斜角为 (32,)又 ，所以点B 到直线 l的距离为 (,) 3(32)sin()24【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求
7、解能力6【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系 中，已知曲线 的xOy1C参数方程为 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，510cos()inxy为 参 数 O曲线 的极坐标方程为 2C4（1）求曲线 与曲线 两交点所在直线的极坐标方程；12（2）若直线 的极坐标方程为 ，直线 与 轴的交点为 ，与曲线 相交于lsin()24lyM1C两点，求 的值,ABMB【答案】（1） ；（2）5cos9【解析】（1）曲线 的普通方程为： ，1C2(5)10xy曲线 的普通方程为： ，即 ，224xy24由两圆心的距离 ，所以两圆相交，3(0,1)d所以
8、两方程相减可得交线为 ，即 625x2x所以直线的极坐标方程为 cos（2）直线 的直角坐标方程： ，则与 轴的交点为 ，l 4xyy(0,4)M直线 的参数方程为 ，带入曲线 得 l24ty1C2(5)10xy29310tt设 两点的参数为 ， ，,AB1t2所以 ， ，所以 ， 同号129t31t2所以 12129Mtt【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题7【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系
9、中，点3cosinxyM 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为 2,4sin204（1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；（2）若 N 是曲线 C 上的动点，P 为线段 MN 的中点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值【答案】（1） ， ；（2） 40xy213xy7【解析】（1）因为直线 l 的极坐标方程为 ，sin204即 sincos 40由 xcos ，y sin，可得直线 l 的直角坐标方程为 xy40将曲线 C 的参数方程 ，消去参数 a，3cosin得曲线 C 的普通方程为 213xy（2）设 N（ ，sin）， 0 ，2）cos点 M 的极坐标（ ， ），化
10、为直角坐标为（2， 2）4则 31cos,in2P所以点 P 到直线 l 的距离 ，31cosin6si623722d所以当 时，点 M 到直线 l 的距离的最大值为 567【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力8【河南省周口市 20182019 学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系 中，直线xOy的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l24, 3xty曲线 的极坐标方程为 C22sin1（ ）（1）求直线 的
11、普通方程与曲线 的直角坐标方程；lC（2）若直线 与曲线 交于 两点，且设定点 ，求 的值lCAB， 21P（ ， ） BPA【答案】（1） 普通方程为 ，C 直角坐标方程为 ；（2） l10xy2143xy867【解析】（1）由直线 的参数方程消去 ，得普通方程为 lt 0等价于 ，223sin1（ ） 223sin1将 代入上式，得曲线 的直角坐标方程为 ，sixyy， C2231xy（ ）即 2143（2）点 在直线 上，所以直线 的参数方程可以写为 为参数），P（ ， ） 10xyl2 1xty， （将上式代入 ，得 243278tt设 对应的参数分别为 ，则 ，AB， 12t， 12
12、12087tt，所以|PABPAPB（ ） 2112tt（ ）2112|tt208677（ ）【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义9【河南省郑州市第一中学 2019 届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴 已知点 P 的直角坐标为 ，点 M 的极坐标为 若直线 l 过点 P，且倾斜 15（ ， ） 42（ ， ） 角为 ，圆 C 以 M 为圆心、4 为半径3（1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；（2）试判定直线 l 和圆 C 的位置关系【答案】（1） （
13、为参数）， ；（2）直线 与圆 相离1235xtyt8sinlC【解析】（1）直线 的参数方程 （ 为参数），l11cos23 35in5xtxtyytM 点的直角坐标为（0，4），圆 C 的半径为 4，圆 C 的方程为 ，将 代入，22416xy（ ） cos inxy得圆 C 的极坐标方程为 ，即 ；22cos(i4)168sin（2）直线 的普通方程为 ，l350xy圆心 M 到 的距离为 ，l49342d直线 与圆 C 相离【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题10【全国 I 卷 2019 届高三五省优创名校联考数学 】在直角坐标系 中，直线 的参数方程为
14、xOyl（ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 的极2xmtyOC坐标方程为 ，其左焦点 在直线 上22cos3in48Fl（1）若直线 与椭圆 交于 两点，求 的值；lCAB， AB（2）求椭圆 的内接矩形面积的最大值【答案】（1） ；（2） 433【解析】（1）将 代入 2cos23 2sin248 ，cos inxy得 x23y 248，即 ，21486xy因为 c2481632，所以 F 的坐标为（ ，0），42又因为 F 在直线 l 上，所以 m把直线 l 的参数方程 代入 x23y 248，42xtyt化简得 t24t80，所以 t1t 24，t 1t
15、28，所以 12 6483FABt（ ）（2）由椭圆 C 的方程 ，可设椭圆 C 上在第一象限内的任意一点 M 的坐标为1486xy（ ，4sin ）（ ），43cos02所以内接矩形的面积 ，3cosin3si2S当 时，面积 S 取得最大值 4【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 ，而极坐标方程转化为直cos inxy角坐标方程的关键是利用公式 ，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生 ，22tanxy 2cos，以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数 来表示动点坐标，sin 从而利用一元函数求与动点有关的最值问题11【河北衡水金卷 2019 届高
16、三 12 月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数， ），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的长度1cos,inxty0x单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2241sin（1）当 时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；6a（2）已知点 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 的取值范围1P， PAB【答案】（1） ；（2）231014xyxy， ，【解析】（1）当 时，直线 的参数方程为6al3cos,12in6xtxtyy，消去参数 t 得 310x由曲线 C 的极坐标方程为 ，得 ，224sin22sin
17、4将 ，及 代入得 ，即 ；22xyiy2xy1xy（2）由直线 的参数方程为 （ 为参数， ），l1cos, intt0可知直线 是过点 P（1，1）且倾斜角为 的直线，l又由（1）知曲线 C 为椭圆 ，所以易知点 P（1，1）在椭圆 C 内，214xy将 代入 中，整理得cos, inxty2，21sics10tt设 A，B 两点对应的参数分别为 ，2，则 ，122sint所以 ，12siPt因为 ，所以 ，001，所以 ，122sinABt，所以 的取值范围为 P 1，【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P（x 0，y 0），倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 （
18、t 为参数）若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为0cosinxy，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 ，则以下结论在解题中经常用到：（ 1）12t， 0t；（2） ；（3） ；（4） 0t120tP21 12PABt12【河南省信阳高级中学 20182019 学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系 中，以 为xOy极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ；x Csincos0a（ ）直线 的参数方程为 （ 为参数）直线 与曲线 分别交于 两点l2xtylMN，（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；Cl（2）若点 的极坐标为 ，
19、求 的值P252PMN， ， a【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为： ，直线 的普通方程为21xylyx（2） a【解析】（1）由 ，得 ，2sincos0a2sincos0a所以曲线 的直角坐标方程为 ，C2xyax即 ，直线 的普通方程为 221xayl2y（2）将直线 的参数方程 代入 并化简、整理，l2,xty2xax得 因为直线 与曲线 交于 两点2340tatlCMN，所以 ，解得 21a由根与系数的关系，得 12234tt，因为点 的直角坐标为 ，在直线 上所以 ，P0， l 12352PNta解得 ，此时满足 且 ，故 2aaa【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式
20、（如 等三角恒等式）消去参2cosin1数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把22tancos,ixyxy曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题13【河南省豫南九校（中原名校）2017 届高三下学期质量考评八数学】己知直线 的参数方程为l（t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 C 交于 A、B132xy 2sin16cos0两点，点 P（ ， ）（1）求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；l（2）求 的值1AB【答案】（1） ， ；（2） 2yx16yx810
21、35【解析】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数，可得直线 l 的普通方程 ，21yx曲线 C 的极坐标方程为 ，即 ，2sin6cos02sin16cos0曲线 C 的直角坐标方程为 ，yx（2）直线的参数方程改写为 （t 为参数），5123y代入 ，221212453516704yxtttt， ， ，1283tPAB【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式 ，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐22cosinxy标的相互转化14【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系 中，直线 的参数方程xOyl是 （t 为参数），曲线 的参数方程是 （ 为参数
22、），以 为极点， 轴1xyC2cosinxy x的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 和曲线 的极坐标方程；l（2）已知射线 （其中 ）与曲线 交于 两点，射线 与1OP： 02COP， 2Q：直线 交于 点，若 的面积为 1，求 的值和弦长 lQ【答案】（1） ， ；（2） cosin4cos4，【解析】（1）直线 的普通方程为 ，极坐标方程为 ，l 0xycosin10曲线 的普通方程为 ，极坐标方程为 C2x（ ）（2）依题意， ， ，0（ ， ） 4cosOP，1sincos22OQ（ ） （ ） 1in，iOPQS ， tan102， （ ， ） 4OP，【名师点睛】本题考查的知
23、识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15【四川省成都市第七中学 2019 届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系 中，曲线 的参数xOyC标方程为 （其中 为参数），在以 为极点、 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种ettxytOx坐标系的单位长度相同）中，直线 的极坐标方程为 l sin23（1）求曲线 的极坐标方程；C（2）求直线 与曲线 的公共点 的极坐标lP【答案】（1） （2）2cos46，【解析】（1）消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程 tC242xyx将 代入 ，得
24、cossinxy， 24xycosin所以曲线 的极坐标方程为 C2cos（2）将 与 的极坐标方程联立，消去 得 l 24sincos23展开得 2223cosincosicoi因为 ，所以 023tatan10于是方程的解为 ，即 tn6代入 可得 ，所以点 的极坐标为 si232P26，【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力16【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 的参数方程为xOyx l（
25、为参数），曲线 的极坐标方程为 2tC2cos8in（1）求曲线 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线 与曲线 的交点分别为 ， ，求 l MN【答案】（1）曲线 方程为 ，表示焦点坐标为 ，对称轴为 轴的抛物线；（2）10C28xy0,2y【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，cosin2cos8in8x所以曲线 表示焦点坐标为 ，对称轴为 轴的抛物线0,2y（2）设点 ，点1,Mxy2,Nxy直线 过抛物线的焦点 ，则直线参数方程为 化为一般方程为 ，代入曲线l0,2xty12yx的直角坐标方程，得 ，C24160x所以 1214,x所以 222211MNxykx21224k
26、610【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题17【河北省石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系 中，曲线 的方xOy1C程为 ，直线 的参数方程 （ 为参数），若将曲线 上的点的横坐标不变，24xyl23xtyt 1纵坐标变为原来的 倍，得曲线 32C（1）写出曲线 的参数方程；2（2）设点 ，直线 与曲线 的两个交点分别为 ，求 的值3P（ ， ） l2AB， 1P【答案】（1） （ 为参数）；（2）cosinxy1【解析】（1）若将曲线 上的点的纵坐标变为原来的 ，1C32则曲线 的直角坐标方程为 ，整理得 ，22243xy（ ） 19xy曲线 的参数方程 （ 为参数）2Ccosiny（2）将直线 的参数方程化为标准形式为 （ 为参数），123xtyt将参数方程带入 得2149xy22()()149tt整理得 278360tt（ ），121277PABPABt，47【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解要结合题目本身特点，确定选择何种方程
