1、2018 年江苏省南通市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）已知集合 A1 ，0，3，5 ，Bx|x 20，则 AB 2 （5 分）已知（1+3i） （a+ bi）10i，其中 i 为虚数单位，a，bR，则 ab 的值为 3 （5 分）已知一组数据 82，91，89，88，90，则这组数据的方差为 4 （5 分）根据如图所示的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为 5 （5 分）函数 y
2、lg（43xx 2）的定义域为 6 （5 分）袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同现从中随机摸出 1 只球，若摸出的球不是红球的概率为 0.8，不是黄球的概率为 0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 7 （5 分）在ABC 中，若 sinA：sinB ：sinC4：5：6，则 cosC 的值为 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为 9 （5 分）已知a n是等比数列，S n 是其前 n 项和，若 a
3、32，S 124S 6，则 a9 的值为 10 （5 分）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8 倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗） 设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S 2则 的值为 11 （5 分）已知实数 a，b，c 成等比数列，a+6，b+2，c+1 成等差数列，则 b 的最大值为 12 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB4，AD2，DAB 60，AC 3BC，第 2 页（共 31 页）则边 CD 长的最小值为
4、13 （5 分）如图，已知 AC 2，B 为 AC 的中点，分别以 AB，AC 为直径在 AC 的同侧作半圆，M，N 分别为两半圆上的动点（不含端点 A，B，C） ，且 BMBN，则 的最大值为 14 （5 分）已知函数 f（x ） 的图象恰好经过三个象限，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）如图，在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 为平行四边形，C1BC 1D求证：（1）B 1D1平面 C1BD；
5、（2）平面 C1BD平面 AA1C1C16 （14 分）如图是函数 在一个周期内的图象已知点 P（6，0） ，Q （2，3）是图象上的最低点， R 是图象上的最高点（1）求函数 f（x ）的解析式；第 3 页（共 31 页）（2）记RPO，QPO （， 均为锐角） ，求 tan（2 +）的值17 （14 分）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD，ABCD，ABBC，AB3百米，CD2 百米该区域内原有道路 AC，现新修一条直道 DP（宽度忽略不计） ，点P 在道路 AC 上（异于 A，C 两点） ， （1）用 表示直道 DP 的长度；（2）计划在ADP 区域内种植观赏植物，在CDP 区
6、域内种植经济作物已知种植观赏植物的成本为每平方百米 2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路 DP 的成本为每百米 1 万元，求以上三项费用总和的最小值18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的右焦点为 F，P 为右准线上一点点 Q 在椭圆上，且 FQFP（1）若椭圆的离心率为 ，短轴长为 求椭圆的方程；若直线 OQ， PQ 的斜率分别为 k1，k 2，求 k1k2 的值（2）若在 x 轴上方存在 P，Q 两点，使 O，F，P ，Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围第 4 页（共 31 页）19 （16 分）已知数列a n满足 ，数列a n的前 n
7、项和为Sn（1）求 a1+a3 的值；（2）若 a1+a52a 3求证：数列a 2n为等差数列；求满足 的所有数对（p，m） 20 （16 分）对于定义在区间 D 上的函数 f（x） ，若存在正整数 k，使不等式恒成立，则称 f（x ）为 D（k）型函数（1）设函数 f（x ）a|x |，定义域 D3，1 1，3若 f（x）是 D（3）型函数，求实数 a 的取值范围；（2）设函数 g（x）e xx 2x ，定义域 D（0，2） 判断 g（x）是否为 D（2）型函数，并给出证明 （参考数据：7e 28）【选做题】本题包括 21、22、23、24 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若
8、多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-1：几何证明选讲21如图，ABC 中，已知 AB3，BC 6，AC 4，D 是边 BC 上一点，AC 与过点A，B ，D 的圆 O 相切，求 AD 的长选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 0 分）第 5 页（共 31 页）22已知矩阵 ， ，CAB （1）求矩阵 C；（2）若直线 l1：x +y0 在矩阵 C 对应的变换作用下得到另一直线 l2，求 l2 的方程选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 0 分）23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，圆 C 的参数方程为 （
9、 为参数，r0） ，若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4，求 r 的值选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 0 分）24已知 a，b，c 是正实数，且 a+b+c5，求证：a 2+2b2+c210【必做题】第 25、26 题，每小题 0 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25将 4 本不同的书随机放入如图所示的编号为 1，2，3，4 的四个抽屉中（1）求 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；（2）随机变量 X 表示放在 2 号抽屉中书的本数，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 26在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 为抛物线 y2
10、2px（p0）的焦点，直线 l 过点F 与抛物线相交于 A，B 两点（点 A 在第一象限） （1）若直线 l 的方程为 ，求直线 OA 的斜率；（2）已知点 C 在直线 xp 上，ABC 是边长为 2p+3 的正三角形，求抛物线的方程第 6 页（共 31 页）2018 年江苏省南通市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）已知集合 A1 ，0，3，5 ，Bx|x 20，则 AB 3，5 【分析】由一次不等式的解法化简集合 B，由交集的定义，即可得到所求集合【解答】解：集合 A1，
11、0，3，5 ，B x|x20x| x2，则 AB3，5，故答案为：3，5【点评】本题考查集合的交集的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题2 （5 分）已知（1+3i） （a+ bi）10i，其中 i 为虚数单位，a，bR，则 ab 的值为 3 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解：（1+3i） （a+ bi） 10i，其中 i 为虚数单位，a，bR，a3b+（3a+b10）i0，解得 a3b3a+b100，解得 a3，b1则 ab3故答案为：3【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）已知一组数据 82，91，89，88，
12、90，则这组数据的方差为 10 【分析】根据定义，计算这组数据的平均数和方差即可【解答】解：数据 82，91，89，88，90 的平均数为 （82+91+89+88+90）88，方差为：s2 （8288） 2+（9188） 2+（8988） 2+（8888） 2+（9088） 210故答案为：10【点评】本题考查了求数据的平均数与方差的计算问题，是基础题第 7 页（共 31 页）4 （5 分）根据如图所示的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为 【分析】由题意可得算法的功能是求 y 的值，根据输出 y 的值为 3，分别求出当 x0 时和当 x0 时的 x 值
13、即可得解【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求 y 的值，当 x0 时，yx +43 x 1（舍去） ；当 x0 时，yx 2+13 x 或 （舍去） 综上 x 的值为： 故答案为： 【点评】本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题5 （5 分）函数 ylg（43xx 2）的定义域为 （4，1） 【分析】由对数的真数大于 0，以及二次不等式的解法，即可得到所求定义域【解答】解：函数 ylg（43xx 2）有意义，可得43xx 20，即（x+4） （x 1）0，解得4x1，即定义域为（4，1） ，故答案为：（4，1） 【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意
14、运用对数的真数大于 0，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题6 （5 分）袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同现从中随机摸出 1 只球，若摸出的球不是红球的概率为 0.8，不是黄球的概率为 0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 0.3 【分析】设事件 A 表示“摸出红球” ，B 表示“摸出黄球” ，C 表示“摸出蓝球” ，由已第 8 页（共 31 页）知得 P（A ）10.80.2，P（B）10.50.5，由此能求出摸出的球为蓝球的概率【解答】解：设事件 A 表示“摸出红球” ，B 表示“摸出黄球” ，C 表示“摸出蓝球” ，由已知得 P（A）1P （ ）10.80
15、.2，P（B）1P（ ）10.50.5，摸出的球为蓝球的概率为 P（C）1P （A）+ P（B）10.20.50.3故答案为：0.3【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7 （5 分）在ABC 中，若 sinA：sinB ：sinC4：5：6，则 cosC 的值为 【分析】先根据正弦定理得到三角形边的关系，再由余弦定理算出 C 的余弦值即可【解答】解：sinA：sinB：sinC 4：5：6根据正弦定理可得：a：b：c4：5：6，不妨设 a4k，b5k，c6k （k0）由余弦定理可得：cosC 故
16、答案为： 【点评】本题主要考查正余弦定理的应用在解题时经常用正弦定理将角的关系转化到边的关系，再由余弦定理解题，属于基础题8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为 【分析】根据题意，由双曲线的几何性质分析可得 b 的值，又由双曲线的离心率分析可得 c2a，联立两式分析可得 a 的值，由双曲线的长轴长 2a 计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线 的焦点到渐近线的距离为 2，则 b2，又由双曲线的离心率 e ，故答案为： 【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是 b 的值，第
17、9 页（共 31 页）考查计算能力9 （5 分）已知a n是等比数列，S n 是其前 n 项和，若 a32，S 124S 6，则 a9 的值为 2或 6 【分析】根据条件结合等比数列的通项公式以及前 n 项和公式，求出首项和公比即可得到结论【解答】解：在等比数列中，a 32，S 124S 6，若公比 q1，则 S124S 6，q1，S 124S 6 4 ，即 1q 124（1q 6）（1+q 6） （1q 6）即（1q 6） （q 63）0q 61 或 3，又 q1，q1 或 q63，当 q1 时，a 9a 3q6212当 q63 时，a 9a 3q6236故答案为：2 或 6【点评】本题主要
18、考查等比数列通项公式和前 n 项和公式的应用，根据条件建立方程关系求出首项和公比是解决本题的关键10 （5 分）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8 倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗） 设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S 2则 的值为 【分析】画出图形，结合图形求出正四棱柱的侧面积与正四棱锥的侧面积，计算比值即可【解答】解：如图所示，第 10 页（共 31 页）设正四棱柱的底面边长为 8a，则高为 a（a0） ，正四棱柱的侧面积为 S148aa32a 2，其体积为（8a） 2a64a 3；则正四棱锥的高为 h 3a，其侧面积为
19、 S24 8a 80a 2；则 故答案为： 【点评】本题考查了正四棱柱与正四棱锥的侧面积计算问题，是基础题11 （5 分）已知实数 a，b，c 成等比数列，a+6，b+2，c+1 成等差数列，则 b 的最大值为 【分析】由题意可设 a ，cbq，运用等差数列中项的性质和基本不等式，讨论q0，q0，计算即可得到所求最大值【解答】解：实数 a，b，c 成等比数列，可设 a ，cbq，a+6，b+2，c+1 成等差数列，可得 2b+4a+c+7 +bq+7，即 2b +bq+3，若 q0，可得 b（2q ）3，由 q+ 2，可得 b0 不为最大；第 11 页（共 31 页）若 q0，则 q+ 2，2
20、q 4，可得 b ，即有 b 的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质和通项公式，以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题12 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB4，AD2，DAB 60，AC 3BC，则边 CD 长的最小值为 【分析】如图以 AB 中点 O 为原点，建立平面直角坐标系， A（2，0） ，B（2，0） ，设 C（x ，y ） 由 AC3BC，可得（x ） 2+y2 上，则边 CD 长的最小值为圆（x ） 2+y2上点到 D 的最小值，可得BD 2 ，DM 即可得边 CD 长的最小值为 D
21、Mr ，【解答】解：如图以 AB 中点 O 为原点，建立平面直角坐标系，A（2，0） ，B（2，0） ，设 C（x，y） 由 AC3BC，可得 ，化简得 x2+y2 5x+40，点 C 在圆（x ） 2+y2 上，第 12 页（共 31 页）则边 CD 长的最小值为圆（x ） 2+y2 上点到 D 的最小值，在三角形 ABD 中，由余弦定理可得 BD 2 ，圆（x ） 2+y2 的圆心 M（ ） ，半径 r ，DM 边 CD 长的最小值为 DM r ，故答案为： 【点评】本题考查了动点的轨迹，正余弦定理，考查了转化思想，数形结合思想，属于难题13 （5 分）如图，已知 AC 2，B 为 AC
22、的中点，分别以 AB，AC 为直径在 AC 的同侧作半圆，M，N 分别为两半圆上的动点（不含端点 A，B，C） ，且 BMBN，则 的最大值为 【分析】以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A，B，C 的坐标，可得以 AB 为直径的半圆方程，以 AC 为直径的半圆方程，设出M，N 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得 2，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值【解答】解：以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，第 13 页（共 31 页）可得 A（0，0） ，B（1
23、，0） ，C （2，0） ，以 AB 为直径的半圆方程为（x ） 2+y2 （x 0，y0） ，以 AC 为直径的半圆方程为（ x1） 2+y21（x0，y0） ，设 M（ + cos， sin） ， N（1+cos ，sin ） ，0 ， ，BMBN，可得 （ + cos， sin）（cos ，sin）0，即有 cos+ （coscos +sinsin）0，即为 coscoscos+sin sin，即有 coscos（） ，0， ，可得 ，即 2 ，则 （ + cos， sin）（1+cos ，sin ） cos+ cos+ （coscos +sinsin） cos+coscos cos 2
24、（cos ） 2+ ，可得 cos 0，即 ， 时， 的最大值为 ，故答案为： 【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题14 （5 分）已知函数 f（x ） 的图象恰好经过三个象限，则实数 a 的取值范围是 a0 或 a2 【分析】分情况讨论 f（x ）的单调性，计算 f（x）在（0，+）上的最小值，根据函数图象经过的象限得出最小值与 0 的关系，从而得出 a 的范围第 14 页（共 31 页）【解答】解：（1）当 a0 时，f（x ）在（，0 上单调递减，又 f（0）1，故f（x）的图象经过
25、第二、三象限，当 x0 时，f（ x） ，f（x） 若 a 1，则 f（x ） 0 恒成立，又当 x0+ 时，f （ x）2，f（x）的图象在（ 0，+）上经过第一象限，符合题意；当 1a 0 时，f（x ） 0 在2，+）上恒成立，当 0x2 时，令 f（x）0 可得 x ，f（x）在（0 ， ）上单调递减，在（ ，2）上单调递增，又 f（ ） （a+1） +22（1 ）0，f（x）的图象在（ 0，+）上经过第一象限，符合题意；（2）当 a0 时，f（x ）在（，0）只经过第三象限，f（x）0 在（0，+）上恒成立，f（x）在（0 ，+）上的图象只经过第一象限，不符合题意；（3）当 a0 时
26、，f（x ）在（，0）上单调递增，故 f（x）在（，0上的图象只经过第三象限，f（x）在（0 ，+）上的最小值 fmin（x）0当 0x2 时，令 f（x）0 可得 x ，若 2，即 a11 时，f（x ）在（0，+）上的最小值为 f（ ）2（1） ，令 2（1 ）0，解得 a2，2a11若 2 即 a11 时，则 f（x ）在（0，2）上单调递减，当 x2 时，令 f（x）0 可得 x ，若 2，即 11a13 时，f（x ）在（2，+）上单调递增，第 15 页（共 31 页）故 f（x）在（0 ，+）上的最小值为 f（2）82a，令 82a0 解得 a4，故而 11a13，若 2，即 a1
27、3 时，f（x ）在（2， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，故 f（x）在（0 ，+）上的最小值为 f（ ） ，显然 0 恒成立，故而 a13综上，a0 或 a2故答案为：a0 或 a2【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，属于中档题二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）如图，在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 为平行四边形，C1BC 1D求证：（1）B 1D1平面 C1BD；（2）平面 C1BD平面 AA1C1C【分析】 （1）由棱柱的结构特征可得四边形 BDD1B1
28、 为平行四边形，则 B1D1BD ，再由线面平行的判定可得 B1D1平面 C1BD；（2）设 AC 与 BD 交于点 O，连接 C1O，可得 O 为 BD 的中点，进一步得到C1OBD，在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，C 1C平面 ABCD，可得 C1CBD ，由线面垂直的判定可得平面 C1BD平面 AA1C1C【解答】证明：（1）在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，BB1DD 1，且 BB1DD 1，第 16 页（共 31 页）四边形 BDD1B1 为平行四边形，B 1D1BD ，又 BD平面 C1BD，B 1D1平面 C1BD，B 1D1平面 C1BD；（2）设 AC
29、与 BD 交于点 O，连接 C1O，底面 ABCD 为平行四边形，O 为 BD 的中点，又 C1BC 1D，C 1OBD在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，C 1C平面 ABCD，又 BD平面 ABCD，C 1CBD又C 1OC 1CC 1，C 1O、C 1C平面 AA1C1C，BD平面 AA1C1C，又 BD平面 C1BD，平面 C1BD平面 AA1C1C【点评】本题列出直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题16 （14 分）如图是函数 在一个周期内的图象已知点 P（6，0） ，Q （2，3）是图象上的最低点， R 是图象上的最高点（1）求函数 f
30、（x ）的解析式；（2）记RPO，QPO （， 均为锐角） ，求 tan（2 +）的值第 17 页（共 31 页）【分析】 （1）由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式（2）由题意求得 R 点的坐标，可得 tan、tan 的值，利用二倍角的正切公式求得tan2 的值，再利用两角和的正切公式求得 tan（2+）的值【解答】解：（1）根据函数 在一个周期内的图象，以及点 P（6，0） ，Q（2 ，3）是图象上的最低点，R 是图象上的最高点，可得 A3， 2（6） ， 再根据五点法作图可得 （6）+ ， ，f（x）3sin（ x） （2）点 R 的横坐
31、标为6+ 6+346，求得 R（6，3） ，根据RPO，QPO （， 均为锐角） ，可得 tan ，tan ，tan2 ，tan（2+） 【点评】本题主要考查由函数 yAsin （ x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值；二倍角的正切公式、两角和的正切公式的应用，属于中档题17 （14 分）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD，ABCD，ABBC，AB3百米，CD2 百米该区域内原有道路 AC，现新修一条直道 DP（宽度忽略不计） ，点P 在道路 AC 上（异于 A，C 两点） ， （1）用 表示直道 DP 的长度；第 18 页（
32、共 31 页）（2）计划在ADP 区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物已知种植观赏植物的成本为每平方百米 2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路 DP 的成本为每百米 1 万元，求以上三项费用总和的最小值【分析】 （1）根据解三角形和正弦定理可得 DP ， ，（2）分别求出 SAPD ，S ADC ，可得 SDPC ，设三项费用之和为 f（） ，可得 f（ ）+ ， ，利用导数求出最值【解答】解：（1）过点 D 作 DDAB，垂足为 D，在 Rt ABC 中，ABBC， BAC ，AB3，BC ，在 Rt ADD中，AD 1，DD ，AD 2，sinDAD ，
33、DAD ，BAC ，ADP ，在ADP 中，由正弦定理可得 ，DP ， ，（2）在ADP 中，由正弦定理可得 ，AP ，第 19 页（共 31 页）S APD APPDsin ，又 SADC ADDCsinADC 22 S DPC S ADC S APD ，设三项费用之和为 f（） ，则 f（） 2+（ ）1+ 1 + + + ， ，f（） ，令 f（）0，解得 ，当 （ ， ）时，f （ ）0，函数 f（）单调递减，当 （ ， ）时，f （ ）0，函数 f（）单调递增，f（） minf （ ）2 ，答：三项费用总和的最小值为 2 万元【点评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计
34、算，属于中档题18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的右焦点为 F，P 为右准线上一点点 Q 在椭圆上，且 FQFP（1）若椭圆的离心率为 ，短轴长为 求椭圆的方程；第 20 页（共 31 页）若直线 OQ， PQ 的斜率分别为 k1，k 2，求 k1k2 的值（2）若在 x 轴上方存在 P，Q 两点，使 O，F，P ，Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围【分析】 （1）设椭圆的焦距为 2c，由题意，可得 ，即可求得椭圆 C 的标准方程；设 P（4，t） ，Q（x 0，y 0） ，根据向量的垂直和向量的数量积即可求出答案，（2）方法一：设 P（ ，t ） ，Q（x 0
35、，y 0） ，可得FPQ 的外接圆即为以 PQ 为直径的圆（x ） （x x 0）+（yt） （yy 0）0，可得 x0 c ，根据点 P，Q 均在 x 轴上方，可得e2+e10，解得即可；方法二：根据 O，F，P，Q 四点共圆且 FPFQ，可得 PQ 为圆的直径，即可得到圆心必为 PQ 中点 M，由此求出 x0c ，根据点 P，Q 均在 x 轴上方，可得e2+e10，解得即可【解答】解：（1）设椭圆的焦距为 2c，由题意，可得 ，解得a2，b ，椭圆的方程为 + 1，由可得，焦点 F（1，0 ） ，准线为 x4，第 21 页（共 31 页）设 P（4，t） ，Q（x 0，y 0） ，则 +
36、1，y 023 x02， （x 01，y 0） ， （3，t ） ，FPFQ ， 3（x 01）+ty 00，ty 03（x 01） ，k 1k2 ，（2）方法一：设 P（ ，t ） ，Q（x 0，y 0） ，FPFQ ，则FPQ 的外接圆即为以 PQ 为直径的圆（x ） （xx 0）+（yt） （yy 0）0，由题意，焦点 F，原点 O 均在该圆上， ，消去 ty0 可得（c ） （c x0） x00，x 0c ，点 P，Q 均在 x 轴上方，ac c ，即 c2+aca 2 0，e 2+e10，0e1， e1，方法二：O，F，P，Q 四点共圆且 FPFQ，PQ 为圆的直径，第 22 页（共
37、 31 页）圆心必为 PQ 中点 M，又圆心在弦 OF 的中垂线 x 上，圆心 M 的横坐标为 xM ，点 Q 的横坐标为 xQ2x M c ，点 P，Q 均在 x 轴上方，ac c ，即 c2+aca 2 0，e 2+e10，0e1， e1，故 e 的范围为（ ，1） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程及点到直线的距离公式，直线的斜率公式，考查计算能力，解题时要认真审题，属于难题19 （16 分）已知数列a n满足 ，数列a n的前 n 项和为Sn（1）求 a1+a3 的值；（2）若 a1+a52a 3求证：数列a 2n为等差数列；求满足 的
38、所有数对（p，m） 【分析】 （1）由 ，可得： ，可得 a1+a3（2） ，可得 a2na 2n1 ，a 2n+1+a2n，可得 a2n+1+a2n1 于是 1 （a 1+a3）+ （a 3+a5）4a 3，解得a3，a 1利用 a2n1 （1） n1 0，解得第 23 页（共 31 页）a2n1 ，可得 a2n即可证明由可得： a2n+1a 1，可得 S2na 1+a2+a2n（a 2+a3）+（a 4+a5）+（a 2n+a2n+1）即可得出由满足 ，可得： +3p4，化为：（2m+p +9） （2mp+3）27，根据 m，pN *，可得 2m+p+912，且2m+p+9，2m p+3
39、都为正整数，即可得出【解答】解：（1）由 ，可得： ，可得a1+a3 （2） ，a 2na 2n1 ，a 2n+1+a2n ，可得 a2n+1+a2n1 1 （a 1+a3）+ （a 3+a5）4a 3，解得 a3 ，a 1 a 2n1 （1） n1 0，解得 a2n1 ，可得 a2nn+ 数列a 2n为等差数列，公差为 1由可得： a2n+1a 1，S 2na 1+a2+a2n（a 2+a3）+（a 4+a5）+ +（a 2n+a2n+1） +3n由满足 ，可得： +3p4 ，化为：（2m+p +9） （2mp+3）27，m，pN *，可得 2m+p+9 12，且 2m+p+9，2m p+3
40、 都为正整数， ，解得 p10，m 4第 24 页（共 31 页）故所求的数对为（10，4） 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法、数的整除、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （16 分）对于定义在区间 D 上的函数 f（x） ，若存在正整数 k，使不等式恒成立，则称 f（x ）为 D（k）型函数（1）设函数 f（x ）a|x |，定义域 D3，1 1，3若 f（x）是 D（3）型函数，求实数 a 的取值范围；（2）设函数 g（x）e xx 2x ，定义域 D（0，2） 判断 g（x）是否为 D（2）型函数，并给出证明 （参考数据：7e 28）【分析
41、】 （1）由 f（x ）a|x |是 D（3）型函数，得到 在3，11，3上恒成立，再由|x| 的取值范围为1，3 ，能求出 a 的取值范围（2）记 h（x） ，0x2，由 0，h（x）在（0，2）上是减函数，求出g（x）2；利记 r（x ） ，0x 2， ，令r（x） 0，得 x （0，2） ，推导出 g（x） 从而利用导数性质能推导出g（x）为 D（2）型函数【解答】解：（1）f（x ）a|x| 是 D（3）型函数， 在3，11，3 上恒成立，即 在3， 1 1，3 上恒成立，又|x |的取值范围为1，3， ，a 的取值范围是（ ，1） （2）g（x）是 D（2）型函数第 25 页（共 3
42、1 页）证明如下：先证明 g（x）2：g（x）e xx 2x ，定义域 D（0，2） 记 h（x） ，0x 2， 0，h（x）在（0，2）上是减函数，h（x）h（2） 1， 1，e xx 2x2，g（x）2 成立，再证明 g（x） ：记 r（x ） ，0x2， ，令 r（x）0，得 x （0，2） ，记 ，则 ，当 0xx 0 时，r（x ）0 ，当 x0x2 时，r（x） 0，r（x）在（ 0，x 0）上为增函数，在（x 0，2）上为减函数， ，要证 g（x） ，只要证 r（x）1，只要证 r（x ） max 1，即证 1，即证（ ） 2 ，即证 2ln x 0（*） ，为证明（*）式，我们
43、先证明 x1 时，有 ，第 26 页（共 31 页）记 P（x ）lnx ，x1p（x） 0，p（x）在（1，+）上是减函数，p（x）p（1）0，即 lnx 得证，2ln 2 ，2 lnx02 ，故要证明（*）式，只需证明 +x0 x 0，即证 ，而 x0 ，g（x） 由得 ，故 g（x）为 D（2）型函数【点评】本题考查利用导数研究函数的性质及函数类型的判断与证明、实数的取值范围的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题【选做题】本题包括 21、22、23、24 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评
44、分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-1：几何证明选讲21如图，ABC 中，已知 AB3，BC 6，AC 4，D 是边 BC 上一点，AC 与过点A，B ，D 的圆 O 相切，求 AD 的长【分析】推导出CADABC，ACDBCA ，从而ACDBCA ，进而，由此能求出 AD【解答】证明：过点 A，B，D 的圆 O 与 AC 相切，CADABC，又ACDBCA，ACDBCA ， ，AB3，BC 6，AC4，第 27 页（共 31 页） ，解得 AD2【点评】本题考查线段长的求法，考查圆、三角形相似、圆周角定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-2：
45、矩阵与变换 （本小题满分 0 分）22已知矩阵 ， ，CAB （1）求矩阵 C；（2）若直线 l1：x +y0 在矩阵 C 对应的变换作用下得到另一直线 l2，求 l2 的方程【分析】 （1）根据矩阵的乘法即可求得 C；（2）根据矩阵的坐标变换即可求得在矩阵 C 对应的变换作用下得到点（x，y） ，代入直线方程，即可求得 l2 的方程【解答】解：（1）由 CAB ，矩阵 C ，（2）设直线 l1：x +y0 上任意一点（x，y）在矩阵 C 对应的变换作用下得到点（x，y） ，则 ，其坐标变换为 ，由此得： ，代入 x+y0，得 0，即 2xy0，直线 l2 的方程 2xy0【点评】本题考查矩阵的乘法，矩阵的坐标变换，考查计算能力，属于基础题选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 0 分）23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，圆 C 的参数方程为 （ 为参数，r0） ，若直线 l 被圆
