1、2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）设集合 Ay| y2 x，xR，Bx|x 210，则 AB（ ）A （1，1） B （0，1） C （1，+） D （0，+）2 （5 分）若复数满足 iz 1i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20， 40） ，40，60） ，60 ，80） ，80 ，100） ，若低
2、于 60 分的人数是 30 人，则该班的学生人数是（ ）A45 B50 C75 D1004 （5 分）已知偶函数 f（x ） ，当 x0，2）时，f （x） ，当 x2，+）时，f（x）log 2x，则 f（ 4）+f（ ）（ ）A4 B0 C D5 （5 分）若向量 （x+1，2）和向量 （1，1）垂直，则| + |（ ）A B C D6 （5 分）若数列b n满足： + + 2n（nN*） ，则数列 bn的前 n 项和 Sn 为（ ）A2 n+1 B42 n+4 C2 n+22 D2 n+247 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则
3、该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D8 （5 分）在区间0，1上随机取两个数 x，y ，记 P1 为事件“x+y ”的概率，P 2 为事件“|xy| ”的概率，P 3 为事件“xy ”的概率，则（ ）AP 1P 2P 3 BP 2P 3P 1 CP 3P 1P 2 DP 3P 2P 19 （5 分）已知 且 ，则 等于（ ）A B C D10 （5 分）已知圆 C 的方程为 x22x+y 20，直线 l：kxy+22k0 与圆 C 交于 A，B两点，则当ABC 面积最大时，直线 l 的斜率 k 为（ ）A1 B6 C1 或 7 D2 或 611 （5 分）如图，点 P 在正方体 AB
4、CDA 1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论：三棱锥 AD 1PC 的体积不变；A1P 平面 ACD1；DPBC 1；平面 PDB1平面 ACD1其中正确的结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个12 （5 分）若函数 F（x ）2 xf（x ） ，当 F（x）在（，+）上单调递增，则称函数f（x）具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的函数为（ ）Af（x）2e x Bf（ x）x 2+4 Cf（x ）3x Df（x）x 3二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分， ）13 （5 分）已知（2x ） n（nN*）展开式中二项式系数
5、的和为 512，则该展开式中常数项为 14 （5 分）在等差数列a n中，首项 a10，公差 d0，若 ama 1+a2+a3+a20，则m 15 （5 分）如果一个三位数 abc 同时满足 ab 且 bc，则称该三位数为“凹数” ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是 16 （5 分）已知点 A 是抛物线 x24y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|m|PB |，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 三、解答题，共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C
6、 的对边分别是 a，b，c，若 2bc2acosC（1）求角 A；（2）若 2（b+c）3bc ，a ，求ABC 的面积 S18 （12 分）如图所示，PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PAAB，ACCD，M为 AC 的中点（1）证明：BM平面 PCD；（2）若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值为 ，求二面角 CPDM 的余弦值19 （12 分）2017 年 12 月 11 日广州国际马拉松赛后，某机构用“10 分制”调查了各阶层人士对此项赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取 16 名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出
7、这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于 9.5 分，则称该被调查者的满意度为“极满意” 求从这 16 人中随机选取 3 人，至少有 2 人是“极满意”的概率；（3）以这 16 人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体（人数很多）任选 3 人，记 表示抽到“极满意”的人数，求 的分布列及数学期望20 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 + 1（b0）的右顶点和上顶点分别为 A，B，M 为线段 AB 的中点，且 b2（1）求椭圆的离心率；（2）四边形 ABCD 内接于椭圆，ABCD记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1、k 2，求证：k
8、1k2 为定值21 （12 分）设函数 f（x ）alnx+x 2（a2）x（1）若函数 f（x ）在 x1 处的切线与直线 x+6y10 垂直，求实数 a 的值；（2）讨论函数 f（x ）的单调区间与极值；（3）若函数 f（x ）有两个零点，求满足条件的最小整数 a 的值选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 2 sin（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点
9、P 的坐标为（1， ） ，求| PA|+|PB|的值选修 4-5：不等式选讲23 （10 分）已知函数 f（x ）|x1|+| x+1|+2（1）求不等式 f（x ）6 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）设集合 Ay| y2 x，xR，Bx|x 210，则 AB（ ）A （1，1） B （0，1） C （1，+） D （0，+）【
10、分析】求解指数函数的值域化简 A，求解一元二次不等式化简 B，再由并集运算得答案【解答】解：Ay| y2 x，xR（0，+） ，B x|x210（1，1） ，AB（0，+）（1，1）（1，+） 故选：C【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题2 （5 分）若复数满足 iz 1i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可【解答】解：由 iz1i，得 i2z（1i ）ii i 21i，则z1i，z1+ i，对应点的坐标为（ 1，1）为第二象
11、限，或法 2：由 iz1i 得 z 1+i，对应点的坐标为（1，1）为第二象限，故选：B【点评】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简解决本题的关键3 （5 分）某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20， 40） ，40，60） ，60 ，80） ，80 ，100） ，若低于 60 分的人数是 30 人，则该班的学生人数是（ ）A45 B50 C75 D100【分析】由频率分布直方图求出低于 60 分的频率，再由低于 60 分的人数是 30 人，能求出该班的学生人数【解答】解：由频率分布直方图得低于 60 分的频率为：（0.005+0.010）
12、200.3，低于 60 分的人数是 30 人，该班的学生人数是： 100故选：D【点评】本题考查班级学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）已知偶函数 f（x ） ，当 x0，2）时，f （x） ，当 x2，+）时，f（x）log 2x，则 f（ 4）+f（ ）（ ）A4 B0 C D【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（4）与 f（ ）的值，结合函数的奇偶性可得 f（4）与 f（ ）的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，当 x0，2）时，f （x） ，则 f（ ） ，当 x2，+ ）时，f（x）log 2x，f（4）log 242，又由 f
13、（x）为偶函数，则 f（4）f （4）2，f（ ）f（ ） ；则 f（4）+f（ ）2 ；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与解析式的应用，涉及对数的运算，属于基础题5 （5 分）若向量 （x+1，2）和向量 （1，1）垂直，则| + |（ ）A B C D【分析】由 得 0，列方程求出 x 的值，再求 + 的模长| + |【解答】解：由 ，得 （x+1）1+2（1）0，解得 x1； + （3，1） ，| + | 故选：A【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积和模长的计算问题，是基础题6 （5 分）若数列b n满足： + + 2n（nN*） ，则数列 bn的前 n 项和 Sn 为（ ）
14、A2 n+1 B42 n+4 C2 n+22 D2 n+24【分析】利用数列的递推关系式，求出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和即可【解答】解：数列b n满足： + + 2n（nN*） ，可得： + + 2（n1） （n N*） ，可得 2n2（n1）2，可得 bn2 n+1 （n2）当 n1 时，b 14，所以数列b n的通项公式为：b n2 n+1所以数列b n是等比数列，公比为 2数列b n的前 n 项和 Sn 2 n+24故选：D【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一
15、个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D【分析】根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的半径，从而求出球的表面积公式【解答】解：由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面 SAC底面ABC，高为 SO ；其中 OAOB OC1，SO平面 ABC，其外接球的球心在 SO 上，设球心为 M，OMx，则 x，解得 x ，外接球的半径为 R ；三棱锥外接球的表面积为 S4 故选：C【点评】本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题8 （5 分）在区间0，1上随机取两个数 x，y ，
16、记 P1 为事件“x+y ”的概率，P 2 为事件“|xy| ”的概率，P 3 为事件“xy ”的概率，则（ ）AP 1P 2P 3 BP 2P 3P 1 CP 3P 1P 2 DP 3P 2P 1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0， ） ，F（ ，0） ， A（0，1） ，B（1，1） ，C（1，0） ，则阴影部分的面积 S111 1 ，S2112 1 ，S31 + dx + lnx| ln + ln2，S 2S 3S 1，即 P2P 3P 1，故选：B【点评】本题主要考查
17、几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小9 （5 分）已知 且 ，则 等于（ ）A B C D【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos（ ）的值，利用两角差的余弦函数公式根据 cos（ ） 即可计算求值【解答】解： ， ， ，可得：cos（ ） ， cos（ ） cos（ ）cos +sin（ ）sin（ ） + 故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题10 （5 分）已知圆 C 的方程为 x22x+y 20，直线 l：kxy+22k0 与
18、圆 C 交于 A，B两点，则当ABC 面积最大时，直线 l 的斜率 k 为（ ）A1 B6 C1 或 7 D2 或 6【分析】根据题意，由圆的半径分析圆心与半径，分析可得当 CA 与 CB 垂直时，ABC 面积最大，求出圆心到直线的距离，进而可得 ，解可得 k 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，圆 C 的方程为 x22x+y 20，即为（x1） 2+y21，则圆半径 r1，圆心 C（1，0） ，直线 l：kxy+22k 0 与圆 C 交于 A，B 两点，当 CA 与 CB 垂直时，ABC 面积最大，此时ABC 为等腰直角三角形，圆心 C 到直线 AB 的距离 d ，则有 ，解可得 k1 或
19、 7；故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析ABC 面积最大的条件11 （5 分）如图，点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论：三棱锥 AD 1PC 的体积不变；A1P 平面 ACD1；DPBC 1；平面 PDB1平面 ACD1其中正确的结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：对于，由题意知 AD1BC 1，从而 BC1平面 AD1C，故 BC1 上任意一点到平面 AD1C 的距离均相等，所以以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，则三棱锥 AD 1PC
20、 的体积不变，故正确；对于 ，连接 A1B，A 1C1，A 1C1AD 1 且相等，由于知：AD 1BC 1，所以 BA1C1面 ACD1，从而由线面平行的定义可得，故正确；对于 ，由于 DC平面 BCB1C1，所以 DCBC 1，若 DPBC 1，则 BC1平面 DCP，BC1PC，则 P 为中点，与 P 为动点矛盾，故错误；对于 ，连接 DB1，由 DB1AC 且 DB1AD 1，可得 DB1面 ACD1，从而由面面垂直的判定知，故 正确故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想12 （5 分）若函数 F（x
21、）2 xf（x ） ，当 F（x）在（，+）上单调递增，则称函数f（x）具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的函数为（ ）Af（x）2e x Bf（ x）x 2+4 Cf（x ）3x Df（x）x 3【分析】根据条件分别求出 F（x）的表达式，结合函数的导数或函数单调性的性质分别进行判断即可【解答】解：Af（x）2e x ，则 F（x）2 xf（x）2 x2ex 2（ ） x，0 1，F（x ）在（，+）上是减函数，不满足条件B若 f（x）x 2+4，则 F（x）2 xf（x ）2 x（x 2+4） ，F（x ）2 x（ln2）（x 2+4）+2 x（2x）2 x（ln 2）x 2+2x+
22、4ln2，y（ln2）x 2+2x+4ln2 的判别式 2 24ln 24ln2416（ln2） 20，（ln2）x 2+2x+4ln20，F（x）0 ，即 F（x ）在（ ，+ ）上单调递增，满足条件，C若 f（x ）3x ，则 F（x ）2 x3x3x2 x，则 F（2）6 ，F（1）3 ，则 F（2）F（1） ，不满足单调性Df（x）x 3，则 F（x）2 xf（x）2 xx3，则 F（x） 2x（ln2）x 3+2x3x2（2 xx2） （xln 2+3） ，当 x3 时，F （x ）0，此时函数为减函数，不满足条件故选：B【点评】本题主要考查与函数单调性有关的新定义求出函数 F（x）
23、的解析式，通过导数判断函数的单调性是解决本题的关键二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分， ）13 （5 分）已知（2x ） n（nN*）展开式中二项式系数的和为 512，则该展开式中常数项为 672 【分析】根据（2x ） n 展开式中二项式系数的和求出 n 的值，再利用展开式的通项公式求出常数项【解答】解：（2x ） n 展开式中二项式系数的和为 2n512，解得 n9，则展开式中的通项公式为Tr+1 （2x） 9r （1） r 29r ，令 9 0，解得 r6，所以展开式中常数项为 T7（1） 6 23672故答案为：672【点评】本题考查了二项式系数和与展开式的
24、通项公式应用问题，是基础题14 （5 分）在等差数列a n中，首项 a10，公差 d0，若 ama 1+a2+a3+a20，则m 191 【分析】根据题意知 ama 1+a2+a3+a20d+2d+ +19d190da 191，由此求得 m 的值【解答】解：等差数列a n中，首项 a10，公差 d0，ama 1+a2+a3+a20，则 amd+2d+ +19d d190da 191；m191故答案为：191【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和的应用问题，是基础题15 （5 分）如果一个三位数 abc 同时满足 ab 且 bc，则称该三位数为“凹数” ，那么所有不同的三位“凹数”的
25、个数是 285 【分析】根据题意可得十位比百位小，并且十位比个位小，因此首先对十位依次进行分类讨论，分别求出每种情况的“凹数”的个数，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，按十位数字分类讨论：十位数字是 9 时不存在，此时三位“凹数”的个数为 0；十位数字是 8，只有 989，此时三位“凹数”的个数为 1；十位数字是 7，则百位与个位都有 2 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为224；十位数字是 6，则百位与个位都有 3 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为339；十位数字是 5，则百位与个位都有 4 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4416；十位数字是 4 时，则百位与个位都有
26、5 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5525；十位数字是 3 时，则百位与个位都有 6 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6636；十位数字是 2 时，则百位与个位都有 7 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7749；十位数字是 1 时，则百位与个位都有 8 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8864；十位数字是 0 时，则百位与个位都有 9 种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9981，所以所有不同的三位“凹数”的个数是 1+4+81285 个，故答案为：285【点评】本题考查分类计数原理的应用，关键是正确理解“凹数”的定义16 （5 分）已知点 A 是抛物线 x24y 的对称轴与
27、准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|m|PB |，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 【分析】过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义，结合| PA|m|PB|，可得，设 PA 的倾斜角为 ，则当 m 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，求出 P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率【解答】解：过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义可得|PN| |PB |，|PA| m|PB|，|PA|m|PN| ，则 ，设 PA 的倾斜角为 ，则 sin ，当 m 取得最大值时，
28、sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，设直线 PA 的方程为 ykx 1，代入 x24y，可得 x24（kx 1） ，即 x24kx+40，16k 2160，k 1，P（2，1） ，双曲线的实轴长为 PAPB2（ 1） ，双曲线的离心率为 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当 m 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，属中档题三、解答题，共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 2bc2acosC（
29、1）求角 A；（2）若 2（b+c）3bc ，a ，求ABC 的面积 S【分析】 （1）由 2bc2acosC，利用余弦定理可得：2bc2a ，化为：b2+c2a 2bc，再利用余弦定理可求 cosA，结合 A 的范围即可得出（2）由已知可求得 b2+c23bc，与联立 2（b+c）3bc，解得 bc 的值，利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）2bc2acosC，2bc2a ，化为：b 2+c2a 2bc ，可得 cosA ，A（0，） ，A （2）a ，A ，b 2+c2a 2bc ，可得：b 2+c23bc ，与联立 2（b+c）3bc ，解得：bc 2， （负值舍去）ABC
30、的面积 S bcsinA 2 【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图所示，PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PAAB，ACCD，M为 AC 的中点（1）证明：BM平面 PCD；（2）若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值为 ，求二面角 CPDM 的余弦值【分析】 （1）因为 M 为等边 ABC 的 AC 边的中点，所以 BMAC依题意 CDAC ，且 A、B、C 、D 四点共面，由此能证明 BM平面 PCD（2）因为 CDAC，CDPA ，所以 CD平面 PAC，故 PD 与平面 PAC 所成的角即为CPD，在等腰
31、RtPAC 中，过点 M 作 MEPC 于点 E，再在 RtPCD 中作 EFPD于点 F，EFM 即为二面角 CPD M 的平面角，由此能求出二面角 CPD M 的正切值【解答】 （1）证明：因为 M 为等边ABC 的 AC 边的中点，所以 BMAC依题意 CDAC，且 A、B、C、D 四点共面，所以 BMCD又因为 BM平面 PCD，CD 平面 PCD，所以 BM平面 PCD（2）解：因为 CDAC，CDPA，所以 CD平面 PAC，故 PD 与平面PAC 所成的角即为CPD不妨设 PAAB1，则 PC 由于 tanCPD ，所以 CD 在等腰 RtPAC 中，过点 M 作 MEPC 于点
32、 E，再在 RtPCD 中作 EFPD 于点 F（图 1 所示） 因为 MEPC， MECD，所以 ME平面 PCD，可得 MEPD又 EFPD ，所以EFM 即为二面角 CPD M 的平面角由题意知 PE3EC，ME ，EF ，所以 tanEFM ，即二面角 CPDM 的余弦值是 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19 （12 分）2017 年 12 月 11 日广州国际马拉松赛后，某机构用“10 分制”调查了各阶层人士对此项赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取 16 名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位
33、数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于 9.5 分，则称该被调查者的满意度为“极满意” 求从这 16 人中随机选取 3 人，至少有 2 人是“极满意”的概率；（3）以这 16 人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体（人数很多）任选 3 人，记 表示抽到“极满意”的人数，求 的分布列及数学期望【分析】 （1）由茎叶图利用众数与中位数的定义即可得出（2）被调查者的满意度为“极满意”共有 4 人其满意度分别为 9.7，9.6，9.5，9.5利用超几何分布列、古典概率计算公式即可得出（3）由题意可得：B（3， ） 再利用二项分布
34、列的性质即可得出 E（） 【解答】解：（1）由茎叶图可知：这组数据的众数为 8.6，中位数 8.75（2）被调查者的满意度为“极满意”共有 4 人其满意度分别为 9.7，9.6，9.5，9.5从这 16 人中随机选取 3 人，至少有 2 人是“极满意”的概率 P （3）由题意可得：B（3， ） E（） 【点评】本题考查了茎叶图、众数与中位数的定义、超几何分布列、古典概率计算公式、二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 + 1（b0）的右顶点和上顶点分别为 A，B，M 为线段 AB 的中点，且 b2（1）
35、求椭圆的离心率；（2）四边形 ABCD 内接于椭圆，ABCD记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1、k 2，求证：k1k2 为定值【分析】 （1）A（2，0） ，B（0，b） ，线段 AB 的中点 M（1， ） 从而 （2，b） ，（1， ） 由 b2，求出 a2，b1由此能求出椭圆的离心率（2）椭圆的标准方程为 +y21，A（2，0） ，B（0，1） ，直线 BC 的方程为yk 2x+1，联立 ，得 C（ ， ） ，直线 AD 的方程为yk 1（x2） 联立 ，得 D（ ， ） ，由此能证明 k1k2为定值【解答】解：（1）A（2，0） ，B（0，b） ，线段 AB 的中点 M（1， ） （
36、2，b） ， （1， ） b22+ ，解得 a2，b1c ，椭圆的离心率 e 证明：（2）由（1）得椭圆的标准方程为 +y21，A（2，0） ，B（0，1） ，直线 BC 的方程为 yk 2x+1，联立 ，得（1+4k 22）x 2+8k2x，解得 ， ，即 C（ ， ） ，直线 AD 的方程为 yk 1（x 2） 联立 ，化为（1+4k 12）x 216k 12x+16k1240， ，解得 ， ，D（ ， ） ， ，化为 116 +2k12k 2+8 8k 2k120，（k 1k2 ） （4k 1k22k 2+2k1+1）0，k 1k2 为定值【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查两线段的
37、斜率乘积为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21 （12 分）设函数 f（x ）alnx+x 2（a2）x（1）若函数 f（x ）在 x1 处的切线与直线 x+6y10 垂直，求实数 a 的值；（2）讨论函数 f（x ）的单调区间与极值；（3）若函数 f（x ）有两个零点，求满足条件的最小整数 a 的值【分析】 （1）f（x ） +2x（a2） ， （x0） f （1）42a，根据函数f（x）在 x1 处的切线与直线 x+6y10 垂直，可得（42a） 1，解得a（2）f（x） ，对 a 分类讨论，即可得出单调性（3）由（2）可得：
38、a0 时，函数 f（x ）在（0，+）内单调递增，不可能有两个零点，舍去a0 时，可得 x 时，函数 f（x）取得极小值，因此极小值 f（ ）0即可得出【解答】解：（1）f（x ） +2x（a2） ， （x0） f（1）42a，函数 f（x）在 x1 处的切线与直线 x+6y10 垂直，（42a） 1，解得 a1（2）f（x） +2x（a2） ，a0 时，f（x ）0，此时函数 f（x）在（0，+）内单调递增，无极值a0 时，可得函数 f（x ）在（0， ）内单调递减，在（ ，+）内单调递增可得 x 时，函数 f（x）取得极小值，f（ ）aln + aln +（3）由（2）可得：a0 时，函数
39、 f（x ）在（0，+）内单调递增，不可能有两个零点，舍去a0 时，可得 x 时，函数 f（x）取得极小值，x0 +时，f（x）0；x+ 时，f（x）+因此极小值 f（ ）aln + 0即 ln + 0令函数 g（x）ln + ，在（0，+ ）上单调递增g（2） 0，g（3） ， e，可得 g（3） 0，满足条件的最小整数 a3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单
40、位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 2 sin（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1， ） ，求| PA|+|PB|的值【分析】 （1）圆 C 的方程 l 转化为 ，由此能求出圆 C 的直角坐标方程（2）将直线 l 的参数方程为 代入 5，得 ，由此能求出|PA|+|PB|【解答】解：（1）圆 C 的方程为 2 sin，即 ，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y22 y，即 x2+（y ） 25（2）将直线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入 5，得：（1+ t） 2+（ t） 25，即 ，2+16
41、0，设 t1，t 2 是上述方程的根，则 t1+t2 ，t 1t24，点 P 的坐标为（1， ） ，|PA|+|PB|t 1t 2| 3 【点评】本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题选修 4-5：不等式选讲23 （10 分）已知函数 f（x ）|x1|+| x+1|+2（1）求不等式 f（x ）6 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）由题意不等式 f（x ）6 可化为 或 或 ，求出不等式 f（x ）6 的解集即可；（2）求出函数 f（x ）的最小值，把不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，化为a2a24，求出解集即可【解答】解：（1）函数 f（x）|x1|+| x+1|+2 ，不等式 f（x） 6 可化为：或 或 ，解得 x2 或 x2，不等式 f（x） 6 的解集为 x|x2 或 x2；（2）f（x） |x1|+|x+1|+2| （x1）（x+1）|+24，若关于 x 的不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，则 a2a24，即 a2a60，解得2a3，实数 a 的取值范围是2a3【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题
