1、2018 年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若 z11+2 i，z 21i ，则|z 1z2|（ ）A6 B C D2 （5 分）已知集合 Mx |x|2，x Z，N x|x22x 30，则 MN（ ）A （1，2 B1，2 C0 ，2 D0 ，1，23 （5 分）执行如图的程序框图，若输出 y ，则输入 x 的值为（ ）Alog 231 或 B1log 23 或 C1log 23 D4 （5 分）若双曲线 C： （a0，b0）的渐近线与圆（x2） 2+y21 相切，
2、则 C 的渐近线方程为（ ）Ay By Cy Dy 3x5 （5 分）根据如图给出的 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（ ）A2000 年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增加C2008 年我国实际利用外资同比增速最大D2010 年我国实际利用外资同比增速最大6 （5 分）若 ， 为锐角，且 cos（ ）sin（ ） ，则（ ）A B C D7 （5 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的左焦点为 F，直线 y 与 C 相交于A，B 两点，且 AFBF，则 C 的离心率为（ ）A B
3、1 C D 18 （5 分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A18+ B18+2 C16+ D16+29 （5 分）已知 x 是函数 f（x）sin（2x +）的图象的一条对称轴，且 f（ ）f（） ，则 f（x ）的单调递增区间是（ ）Ak+ ，k + （kZ ） B k ，k+ （kZ）Ck， k+ （kZ） Dk ，k （kZ ）10 （5 分）已知函数 f（x ）e x+x2 的零点为 a，函数 g（x）lnx+x2 的零点为 b，则下列不等式中成立的是（ ）Ae a+lnb2 Be a+l
4、nb2 Ca 2+b23 Dab111 （5 分）体积为 的三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，则球 O 的体积的最小值为（ ）A B C D 12 （5 分）已知直线 l 与曲线 y x3x 2+x+1 有三个不同交点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3， y3） ，且| AB|AC| ，则 （x i+yi）（ ）A4 B5 C6 D7二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| |2，| | ， （ ）则实数 14 （5 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3
5、，6，10这样的数称为“三角形数” ，而把 1，4，9，16这样的数称为“正方形数” 如图，可以发现任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：36 15+21；4918+31 ；6428+36 ；8136+45 中符合这一规律的等式是 （填写所有正确结论的编号）15 （5 分） （x 2 +y） 6 的展开式中，x 3y3 的系数是 （用数字作答）16 （5 分）已知等边三角形 ABC 的边长为 4，其外接圆圆心为点 O，点 P 在ABC 内，且 OP 1，BAP ，当 APB 与APC 的面积之比最小时，sin 的值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文
6、字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知各项均为正数的数列a n满足 +2anan+1，且 a2+a43（a 3+3） ，其中 nN*（1）证明数列a n是等比数列，并求其通项公式；（2）令 bnna n，求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，A 1AA 1C，侧面 A1ACC1底面 ABC，直线 A1B 与平面 A1ACC1 所成角为 60（1）证明：A 1AA 1C；（2）求二面角
7、 AA 1BC 的余弦值19 （12 分）某工厂生产的 A 产品按每盒 10 件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒 10 件产品中任取 4 件，4 件都做检验，若 4 件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若 4 件中次品数多于 1 件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若 4 件中只有 1 件次品，则把剩余的 6 件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验假设某盒 A 产品中有 8 件合格品，2 件次品（1）求该盒 A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为 10 元，且抽取的每件都
8、需要检验，设该盒 A 产品的检验费用为 X（单位：元） （）求 P（X40） ；（）求 X 的分布列和数学期望 EX20 （12 分）已知 O 为坐标原点，点 R（0，2） ，F 是抛物线 C：x 22py（p0）的焦点，|RF|3| OF|（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 R 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，与直线 y2 交于点 M，抛物线C 在点 A，B 处的切线分别记为 l1，l 2， 1 与 l2 交于点 N，若 MON 是等腰三角形，求直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）e xx 2ax（1）若函数 f（x ）在 R 上单调递增，求 a 的取值
9、范围；（2）若 a1，证明：当 x0 时，f （x） （ ） 2参考数据：e2.71828，ln20.69（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2（1+2sin 2）a（a0） （1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB | ，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）
10、|2x +1|+|2x1| ，不等式 f（x）2 的解集为 M（1）求 M；（2）证明：当 a，bM 时，|a+b|+| ab|12018 年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若 z11+2 i，z 21i ，则|z 1z2|（ ）A6 B C D【分析】直接利用复数的模等于模的乘积求解【解答】解：z 11+2 i，z 21i ，|z 1z2|1+2i|1 i| 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题2 （5 分）
11、已知集合 Mx |x|2，x Z，N x|x22x 30，则 MN（ ）A （1，2 B1，2 C0 ，2 D0 ，1，2【分析】可先解出 M2，1，0，1，2，Nx|1 x3，然后进行交集的运算即可【解答】解：Mx |2x2，x Z 2，1，0， 1，2，Nx|1x3；MN0 ， 1，2故选：D【点评】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算，描述法和列举法表示集合的概念3 （5 分）执行如图的程序框图，若输出 y ，则输入 x 的值为（ ）Alog 231 或 B1log 23 或 C1log 23 D【分析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足 y 的 x 值，综合可得答案【
12、解答】解：当 x1 时，由 y2 x 得：xlog 231，当 x1 时，由 y2log 2x 得：x ，综上可得：若输出 y ，则输入 x 的值为 log231 或 ，故选：A【点评】本题考查的知识点分支结构，分类讨论思想，对数的运算性质，难度中档4 （5 分）若双曲线 C： （a0，b0）的渐近线与圆（x2） 2+y21 相切，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay By Cy Dy 3x【分析】根据题意，设双曲线 C 的渐近线为 ykx，由直线与圆的位置关系可得 d1，解可得 k 的值，将 k 的值代入直线的方程即可得答案【解答】解：根据题意，设双曲线 C 的渐近线为 ykx，即 kxy0，若
13、双曲线 C： （a 0，b0）的渐近线与圆（x2） 2+y21 相切，则有 d 1，解可得 k ，则 C 的渐近线方程为 y x，故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题5 （5 分）根据如图给出的 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（ ）A2000 年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增加C2008 年我国实际利用外资同比增速最大D2010 年我国实际利用外资同比增速最大【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析【解答】从图表中可以看出，2000 年
14、以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项 A 错误；我国实际利用外资规模 2012 年比 2011 年少，所以选项 B 错误；从图表中的折线可以看出，2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 C 正确；2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 D 错误；故选：C【点评】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题6 （5 分）若 ， 为锐角，且 cos（ ）sin（ ） ，则（ ）A B C D【分析】利用诱导公式化等式两边为同名三角函数，得到 +2k，k Z 或（ ）+ （ ）+2k，k Z由已知角的范围求得 、+ 的范围，则答
15、案可求【解答】解：由 cos（ ）sin sin（ ） ，且 cos（ ）sin（ ） ，sin（ ）sin（ ） ，得 +2k， kZ 或（ ）+ （ ）+2k，k Z ，kZ，或 +2k ，kZ ， 为锐角，（ ） ，+（0，） 则 故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了由角的三角函数值判断角的关系，是中档题7 （5 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的左焦点为 F，直线 y 与 C 相交于A，B 两点，且 AFBF，则 C 的离心率为（ ）A B 1 C D 1【分析】可解得点 A、B 坐标，由 AFBF ，得 0，把 b2a 2c 2 代入该式整理后两边同除以 a4，得 e
16、的方程，解出即可，注意 e 的取值范围【解答】解：由 ，消 y 可得得（3a 2+b2）x 2a 2b2，解得x ，分别代入 y ，A（ ， ） ，B（ ， ） ， （ +c， ） ， （c ， ） ， c 2 0，c 2 ， （*）把 b2a 2c 2 代入（*）式并整理得 4a2c2c 44a 2（a 2 c2） ，两边同除以 a4 并整理得 e48e 2+40，解得 e242e 1，故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题8 （5 分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是该几何体的三视图，则
17、该几何体的表面积是（ ）A18+ B18+2 C16+ D16+2【分析】作出直观图，根据三视图得出几何体尺寸，再计算表面积【解答】解：由三视图可知长方体的棱长为 2，2，1，半圆柱的底面半径为 1，高为 1，长方体的表面积为（22+21+21）216，半圆柱的侧面积为 11+21 +2，几何体的表面积为 16+218+故选：A【点评】本题考查了常见几何体的三视图，结构特征与表面积计算，属于中档题9 （5 分）已知 x 是函数 f（x）sin（2x +）的图象的一条对称轴，且 f（ ）f（） ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）Ak+ ，k + （kZ ） B k ，k+ （kZ）Ck， k+
18、 （kZ） Dk ，k （kZ ）【分析】利用正弦函数的图象的对称性求得 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得 f（x ）的单调递增区间【解答】解：x 是函数 f（x）sin（2x +）的图象的一条对称轴，可得+k + ，kZ，即 k + f（ ）sin（+ ）sin ，f （）sin （2+）sin，f（ ）f （） ，sin sin ，sin0， +2k，kZ，f（x ） sin（2x+ +2k）sin（2x + ） 令 2k 2x+ 2k+ ，求得 k xk + ，故函数的增区间为 k，k+ （k Z） ，故选：B【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调
19、性，属于中档题10 （5 分）已知函数 f（x ）e x+x2 的零点为 a，函数 g（x）lnx+x2 的零点为 b，则下列不等式中成立的是（ ）Ae a+lnb2 Be a+lnb2 Ca 2+b23 Dab1【分析】由题意可得 ea2a，lnb2b，即有 ea+lnb4（a+b） ，由 ye x 的反函数 ylnx 关于直线 yx 对称，可得 a2b，再由基本不等式可得 ab 的范围，即可得到结论【解答】解：函数 f（x ）e x+x2 的零点为 a，函数 g（x）lnx +x2 的零点为 b，可得 ea2a，lnb2b，即有 ea+lnb4（a+b） ，由 ye x 的反函数 ylnx
20、 关于直线 yx 对称，ye x 与直线 y2x 的交点为（ a，2a） ，ylnx 与直线 y2x 的交点为（b，2b） ，可得 a2b，即 a+b2，有 ea+lnb422，排除 A，B；且 a0，b0，由 a+b2 ，可得 0ab1，排除 D故选：C【点评】本题考查函数的对称性和基本不等式的运用，考查运算能力和判断能力，属于中档题11 （5 分）体积为 的三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，则球 O 的体积的最小值为（ ）A B C D 【分析】根据余弦定理计算 AC 的最小值，从而得出外接球半径的最小值，得出结论【解答】解：V PABC
21、SABC PA ，ABBC6，PA平面 ABC，PA2，O 到平面 ABC 的距离为 d PA1，设ABC 的外接圆半径为 r，球 O 的半径为 R，R 由余弦定理可知 AC2AB 2+BC22ABBC cos120AB 2+BC2+62ABBC+618，当且仅当 ABBC 时取等号AC3 由正弦定理可得 2r 2 ，r R 当 R 时，球 O 的体积取得最小值 V 故选：B【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，正余弦定理解三角形，属于中档题12 （5 分）已知直线 l 与曲线 y x3x 2+x+1 有三个不同交点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3， y3） ，且|
22、 AB|AC| ，则 （x i+yi）（ ）A4 B5 C6 D7【分析】求得函数 y 的导数，以及二阶导数，可得函数的对称点，再由 f（1+x）+f（1x） ，检验可得对称性，再由条件可得 A 为 BC 的中点，计算可得所求和【解答】解：y x3x 2+x+1 的导数为 yx 22x+1，y2x2，由 y0，可得 x1，即有 x1 时，y ，由 f（1+x）+f（1x） （1+x1） 3+ + （1x1 ） 3+ ，可得函数 y x3x 2+x+1 的图象关于点（ 1， ）对称，由|AB| |AC|，可得 A 为 BC 的中点，则 （x i+yi）（x 1+x2+x3）+ （y 1+y2+y
23、3）3x 1+3y13 1+3 7，故选：D【点评】本题考查三次函数的对称性和运用，考查化简变形的运算能力，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| |2，| | ， （ ）则实数 2 【分析】运用向量的数量积的定义和向量垂直的条件：数量积为 0，解方程即可得到所求值【解答】解：向量 与 的夹角为 ，| |2，| | ，可得 2 cos 2 2，（ ） ，可得 （ ） 2+ 4+2 0，解得 2，故答案为：2【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量垂直的条件：数量积为 0，考查方程思想和运算能力，属于基础题14
24、 （5 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10这样的数称为“三角形数” ，而把 1，4，9，16这样的数称为“正方形数” 如图，可以发现任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：36 15+21；4918+31 ；6428+36 ；8136+45 中符合这一规律的等式是 （填写所有正确结论的编号）【分析】通过已知的等式，找出规律，判断是否满足规律即可【解答】解：由已知条件可得如下规律等式41+3，93+6，166+10，2510+15，3615+214921+286428+36，8136+45， 故答案为【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观
25、察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 15 （5 分） （x 2 +y） 6 的展开式中，x 3y3 的系数是 120 （用数字作答）【分析】写出：（x 2 +y） 6 的展开式的通项，由 y 的指数为 3 求得 r 值，再写出的展开式的通项，由 x 的指数为 3 求得 s，则答案可求【解答】解：（x 2 +y） 6 的展开式的通项为 ，取 r3，得 而 的展开式的通项为 取 63s3，得 s1x 3y3 的系数是 故答案为：120【点评】本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，是中档题16 （5 分）已知等边三角形 ABC 的边长为
26、 4，其外接圆圆心为点 O，点 P 在ABC 内，且 OP 1，BAP ，当 APB 与APC 的面积之比最小时，sin 的值为 【分析】由已知可得 P 点落在以 O 为圆心，以 1 为半径的圆 O 上，当 取最小值，即AP 于圆 O 相切时， APB 与 APC 的面积之比最小，进而得到答案【解答】解：已知等边三角形 ABC 的边长为 4，其外接圆圆心为点 O，故外接圆半径 OAOBOC ，点 P 在ABC 内，且 OP1，故 P 点落在以 O 为圆心，以 1 为半径的圆 O 上，由 ，当锐角 最小时，面积比最小，当 取最小值，即 AP 于圆 O 相切时，APB 与APC 的面积之比最小，此
27、时 sin（30 ） ，则 cos（30 ） ，故 sin sin30（30） ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是三角形的五心，三角函数的化简求值，难度中档三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知各项均为正数的数列a n满足 +2anan+1，且 a2+a43（a 3+3） ，其中 nN*（1）证明数列a n是等比数列，并求其通项公式；（2）令 bnna n，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）分解已知等式，结合等比
28、数列的定义和通项公式，解方程可得首项，即可得到所求通项；（2）方法一、求得 bnna nn3 n，运用错位相减法可得所求和；方法二、b nna nn3 n （n+1 ） 3n+1（ n ）3 n，由裂项相消求和可得所求和【解答】解：（1）证明： +2anan+1，可得（a n+1+an） （a n+13a n）0，数列a n各项为正的，可得 an+13a n，数列a n是公比为 3 的等比数列；a2+a43（a 3+3） ，可得 3a1+3a133（3a 12+3） ，解得 a13，则 an33 n1 3 n；（2）解法一、b nna nn3 n，Sn13+23 2+n3n，3Sn13 2+2
29、33+n3n+1，相减可得2S n3+3 2+3nn3 n+1 n3 n+1，化简可得 Sn 3n+1+ ；解法二、b nna nn3 n （n+1 ） 3n+1（ n ）3 n，则 Sn13+23 2+n3n（ 2 ）3 2（ ）3+（ 3 ）3 3（ 2 ）3 2+（ 4）3 4（ 3 ）3 3+ （n+1） 3n+1（ n ）3 n （n+1 ） 3n+1（ ）33n+1+ 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的底面是边长为 1 的正
30、三角形，A 1AA 1C，侧面 A1ACC1底面 ABC，直线 A1B 与平面 A1ACC1 所成角为 60（1）证明：A 1AA 1C；（2）求二面角 AA 1BC 的余弦值【分析】 （1）取 AC 的中点 O，连结 A1O，BO 则 BOAC，从而 BO平面A1ACC1，OA 1B 是直线 A1B 与平面 A1ACC1 所成角，OA 1B60，推导出OAA 1OA 1AOA 1C45，从而AA 1COA 1A+OA 1C90，由此能证明 A1AA 1C（2）过 A 作 ADA 1B 于 D，连结 CD，推导出A 1ABA 1CB，从而 CDA 1B，且CDAD，ADC 是二面角 AA 1B
31、C 的平面角，由此能求出二面角 AA 1BC 的余弦值【解答】证明：（1）取 AC 的中点 O，连结 A1O，BO ，ABC 是正三角形，BOAC，平面 A1ACC1平面 ABC，且平面 A1ACC1平面 ABCAC，BO平面 ABC，BO平面 A1ACC1，OA 1B 是直线 A1B 与平面 A1ACC1 所成角，依题意得OA 1B60，ABC 是边长为 1 的正三角形，则 BO ，在 Rt A1OB 中，A 1O ，A 1OOA OC ，OAA 1OA 1AOA 1C45，AA 1COA 1A+OA 1C90，A 1AA 1C解：（2）过 A 作 ADA 1B 于 D，连结 CD，在A 1
32、AB 和 A1CB 中，ABBC，A 1AA 1C，A 1BA 1B，A 1AB A1CB，CDA 1B，且 CDAD ，ADC 是二面角 AA 1BC 的平面角，在 Rt A1OB 中，A 1B 1，在 Rt A1OA 中，A 1A ，由 ，解得 AD ，CDAD ，在ADC 中，cosADC ，二面角 AA 1BC 的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）某工厂生产的 A 产品按每盒 10 件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒
33、10 件产品中任取 4 件，4 件都做检验，若 4 件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若 4 件中次品数多于 1 件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若 4 件中只有 1 件次品，则把剩余的 6 件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验假设某盒 A 产品中有 8 件合格品，2 件次品（1）求该盒 A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为 10 元，且抽取的每件都需要检验，设该盒 A 产品的检验费用为 X（单位：元） （）求 P（X40） ；（）求 X 的分布列和数学期望 EX【分析】 （1）只有
34、取出的 4 件产品全是合格品才能出厂，根据组合数公式得出出厂概率；（2） （i）只有取出的 4 件产品全是合格品或含有 2 件不合格品时，检验费用为 40 元，根据组合数公式得出概率；（ii）根据条件概率公式计算 X 的各种取值对应的概率，得出分布列和数学期望【解答】解：（1）由题意可知只有当开始取出的 4 件产品都是合格品时，该盒 A 产品才能出厂，故该盒 A 产品可出厂的概率为 P （2） （i）设事件 A：“开始抽出的 4 件产品都是合格品” ，事件 B：“开始抽取的 4 件产品中又 2 件合格品，2 件不合格品” ，则 P（A） ，P （B ） ，P（X40） （ii）X 的可能取值为
35、：40，50，60，70，80，90，100，P（X40） ，P （X50） ，P（X60） ，同理可得 P（X70）P （X 80）P（X 90）P（X100） ，X 的分布列为：X 40 50 60 70 80 90 100P E（X）40 +50 +60 +70 +80 +90 +100 58 【点评】本题考查了组合数公式的应用，离散型随机变量的分布列及数学期望，属于中档题20 （12 分）已知 O 为坐标原点，点 R（0，2） ，F 是抛物线 C：x 22py（p0）的焦点，|RF|3| OF|（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 R 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，
36、与直线 y2 交于点 M，抛物线C 在点 A，B 处的切线分别记为 l1，l 2， 1 与 l2 交于点 N，若 MON 是等腰三角形，求直线 l 的方程【分析】 （1）根据抛物线的简单性质可得抛物线的方程，（2）设直线 l 的方程为 ykx+2，求出 M 点的坐标，再由 ，可得x1+x22k，x 1x24，根据导数的几何意义求出切线方程，即可求出 N 的坐标，再根据MON 是等腰三角形，即可求出答案【解答】解：（1）F 是抛物线 C：x 22py（p0）的焦点，即 F（0， ） ，R（0，2） ，|RF|3|OF| ，|2 |3 ，解得 p1 或 p2（舍去） ，抛物线的方程为 x22y ，
37、（2）设直线 l 的方程为 ykx+2 ，k 0，由 ，解得 x ，y2，M（ ，2） ，由 ，消 y 可得 x22kx40，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，x 1+x22k，x 1x24，由 y x2，可得 yx，则抛物线 C 在点 A 处的切线方程 l1 为 yy 1x 1（xx 1） ，由点 A 在抛物线上，则 y1 x12，直线 l1 的方程为 yx 1x x12，同理可得 l2 的方程 yx 2x x22，由解得 xk，y2，即点 N 的坐标为（k ，2） ，由 kOMkON （ ）1，则 OM ON，又MON 是等腰三角形，则|OM| | ON|，即 k2+4
38、+4，解得 k2，故直线了的方程为 y2x +2 或 y2x+2【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题21 （12 分）已知函数 f（x ）e xx 2ax（1）若函数 f（x ）在 R 上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若 a1，证明：当 x0 时，f （x） （ ） 2参考数据：e2.71828，ln20.69【分析】 （1）解法 1，求出函数的导数，得 ae x2x，设 g（x）e x2x，根据函数的单调性求出 g（x）的最小值，从而求出 a 的范围；解法 2：求出函数的导数设 h（x）f （x）e x2xa，根据函数的单调性
39、求出h（x）的最小值，从而求出 a 的范围即可；（2）得出 x0（1，1+ ln2） ，使得 2x 010，根据函数的单调性得到函数f（x）取最小值 f（x 0） x 0，求出 2x 0+1，结合二次函数的性质证明即可【解答】解：（1）解法 1：f（x ）e x2xa，函数 f（x）在 R 递增，f（x）e x2xa0，得 ae x2x，设 g（x）e x2x ，则 g（x ）e x2，令 g（x）0，解得：x ln2，当 xln2 时， g（x）0，当 xlnx 时，g（x ）0，故函数 g（x）在（，ln2）递减，在（ln 2，+）递增，故 xln2 时， g（x）取得最小值 g（ln 2
40、）22ln 2，故 a22ln2，故 a 的范围是（，22ln 2） ；解法 2：由 f（x ）e x2xa，设 h（x）e x2x a，则 h（x ）e x2，令 h（x）0，解得：x ln2，当 xln2 时， h（x）0，当 xln2 时， h（x）0，故函数 h（x）在（，ln2）递减，在（ln 2，+）递增，故 xln2 时， h（x）取得最小值 h（ln 2）22ln 2a，函数 f（x）在 R 递增，故 f（x ）0，由于 f（x） h（x） ，则 22ln 2a0，解得：a22ln 2，故 a 的范围是（，22ln 2） ；（2）证明：若 a1，则 f（ x）e xx 2x，得
41、 f（x）e x2x1，由（1）知函数 f（x ）在（，ln 2）递减，在（ln 2，+）递增，又 f（0）0，f（1）e30，f （1+ ln2） e3ln20，则存在 x0（1 ，1+ ln2） ，使得 f（x 0）0，即 2x010，当 x（0，x 0）时，f（x ）0，当 x（x 0，+ ）时， f（x ）0，则函数 f（x）在（ 0，x 0）递减，在（x 0，+）递增，则当 xx 0 时，函数 f（x）取最小值 f（x 0） x 0，故当 x0 时，f（x）f（x 0） ，由 2x 010，得 2x 0+1，则 f（x 0） x 02x 0+1 x 0 +x0+1 + ，由于 x0（
42、1， 1+ ln2） ，则 f（x 0） + +（1+ ln2）+11 ，故 x0 时，f（ x）1 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以函数恒成立问题，考查转化思想，不等式的证明，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2（1+2sin 2）a（a0） （1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）若
43、l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB | ，求 a 的值【分析】 （1）消参数 t，可以得到直线 l 的普通方程，利用公式 2x 2+y2，siny 可以将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程（2）将直线 l 和曲线 C 的方程联立，消去 y，整理出关于 x 的方程，利用韦达定理和公式|AB| |x2x 1|可以计算出|AB |的长度【解答】 （1）解：由 消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 y （x1） 即 +y 0，由 2（ 1+2sin2）a，即 2+22sin2a，把 2 x2+y2，sin y 代入上式得 x2+3y2a所以 C 的直角坐标方程为 x2+3y2a（2）解：
44、由 消去 y，得 10x218x +9a 0（1） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，得 x1+x2 ， x1x2 |AB| |x2x 1| 又由已知|AB| ，得 ，解得 a ，此时（1）式的判别式445（22 ）120所以 a 的值为 【点评】本题重点考查参数方程与普通方程的互相转化，属于中等题型，运算要细心选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|+|2x1| ，不等式 f（x）2 的解集为 M（1）求 M；（2）证明：当 a，bM 时，|a+b|+| ab|1【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集 M 即可；（2）法一：根据绝对值不等式的性质证明即可；法二：求出（|a+b|+|ab| ） 2 的表达
