1、2018 年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 M1，0，1，2，Nx|x0 或 x1，则 MN 中的元素个数为（ ）A1 B2 C3 D42 （5 分）若 a 为实数，且（1+ai ） （ai ）2，则 a（ ）A1 B0 C1 D23 （5 分）执行如图的程序框图，若输出 y ，则输入 x 的值为（ ）Alog 231 或 B1log 23 或 C1log 23 D4 （5 分）若双曲线 C： （a0，b0）的一条渐近线方程为 y2x，则 C 的离心率为（
2、）A B C D5 （5 分）根据如图给出的 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（ ）A2000 年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增加C2008 年我国实际利用外资同比增速最大D2010 年我国实际利用外资同比增速最大6 （5 分）已知命题 p：x R，x 2+x10；命题 q：xR，2 x3 x，则下列命题中为真命题的是（ ）Apq Bp（q） C （p）q D （p）（q）7 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z3xy 的取值范围是（ ）A1，3 B1，3 C 7，1
3、 D 7，38 （5 分）若函数 f（x ）sin（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递增区间是（ ）Ak ，k+ （kZ ） B k ，k+ （kZ ）C2k ， 2k+ （k Z ） D2k ，2k + （k Z ）9 （5 分）设a n是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 ，S 721，则 a10（ ）A8 B9 C10 D1210 （5 分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A18+ B18+2 C16+ D16+211 （5 分）已知直线 l 与曲线 yx 3x+1 有
4、三个不同交点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3， y3） ，且| AB|AC| ，则 （x i+yi）（ ）A0 B1 C2 D312 （5 分）体积为 的三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，则球 O 的体积的最小值为（ ）A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| |2，| | ，则| | 14 （5 分）已知函数 f（x ）e xx 2 的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（0，a） ，则a 15 （5 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把
5、1，3，6，10这样的数称为“三角形数” ，而把 1，4，9，16这样的数称为“正方形数” 如图，可以发现任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：36 15+21；4918+31 ；6428+36 ；8136+45 中符合这一规律的等式是 （填写所有正确结论的编号）16 （5 分）设点 P 是抛物线 x24y 上的动点，点 P 到 x 轴的距离为 d，点 P1 是圆（x2） 2+（y+1 ） 21 上的动点，当 d+|PP1|最小时，点 P 的坐标为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须
6、作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 bsin2AasinB（1）求 A；（2）若 a2，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长18 （12 分）A 药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买 100 件某种中药材，为此 A 药店从这两家药厂提供的 100 件该种中药材中随机各抽取 10 件，以抽取的 10 件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示已知 A 药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂（1）根据样本数据，A 药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说
7、明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：每件中药材的质量 n（单位：克） 购买价格（单位：元/件）n15 5015n20 an20 100（）估计 A 药店所购买的 100 件中药材的总质量；（）若 A 药店所购买的 100 件中药材的总费用不超过 7000 元，求 a 的最大值19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，M，N 分别是 AB1 和 BC 的中点（1）证明：MN平面 AA1C1C；（2）若 AA12，AB AC1，BAC 90，求棱锥 C1AMN 的高20 （12 分）已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，右焦点
8、为 F（2，0） ，短轴长为 4（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l：y kx+3 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，点 P 为线段 MN 的中点，OPFM ，求直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）a（x1）lnx（1）若函数 f（x ）的极小值不大于 k 对任意 a0 恒成立，求 k 的取值范围；（2）证明：nN*， （1+ ） （1+ ）（1+ ）（1+ ）e 2 （其中 e 为自然对数的底数）（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中
9、，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2（1+2sin 2）a（a0） （1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB | ，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|+|2x1| ，不等式 f（x）2 的解集为 M（1）求 M；（2）证明：当 a，bM 时，|a+b|+| ab|12018 年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选
10、项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 M1，0，1，2，Nx|x0 或 x1，则 MN 中的元素个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】求出集合 MN，由此能求出集合 MN 中元素的个数【解答】解：集合 M1，0，1，2，Nx|x0 或 x1，则 MN 1，2，集合 MN 中元素的个数为 2故选：B【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2 （5 分）若 a 为实数，且（1+ai ） （ai ）2，则 a（ ）A1 B0 C1 D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：a 为实数，且（1+ai ） （ai
11、）2a+（a 2 1）i2，2a2，即 a1故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （5 分）执行如图的程序框图，若输出 y ，则输入 x 的值为（ ）Alog 231 或 B1log 23 或 C1log 23 D【分析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足 y 的 x 值，综合可得答案【解答】解：当 x1 时，由 y2 x 得：xlog 231，当 x1 时，由 y2log 2x 得：x ，综上可得：若输出 y ，则输入 x 的值为 log231 或 ，故选：A【点评】本题考查的知识点分支结构，分类讨论思想，对数的运算性质，难度中档4 （5 分）若双曲线 C： （a0，
12、b0）的一条渐近线方程为 y2x，则 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】利用双曲线的渐近线推出 b，a 关系，然后求解离心率即可【解答】解：由已知双曲线 C： （a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，可得 ， ，故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5 （5 分）根据如图给出的 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（ ）A2000 年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增加C2008 年我国实际利用外资同比增速最大D2010 年我国实际利用外资同比增速最大【
13、分析】根据图表中的数据对选项逐项分析【解答】从图表中可以看出，2000 年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项 A 错误；我国实际利用外资规模 2012 年比 2011 年少，所以选项 B 错误；从图表中的折线可以看出，2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 C 正确；2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 D 错误；故选：C【点评】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题6 （5 分）已知命题 p：x R，x 2+x10；命题 q：xR，2 x3 x，则下列命题中为真命题的是（ ）Apq Bp（q） C （p）q D
14、 （p）（q）【分析】根据条件判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可，【解答】解：判别式14（1）50，x R，x 2+x10 不成立，即命题p 是假命题，当 x1 时，2 1 3 1 ，即命题 q：xR，2 x3 x，是真命题，则（p）q 是真命题，其余为假命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断两个命题的真假是解决本题的关键7 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z3xy 的取值范围是（ ）A1，3 B1，3 C 7，1 D 7，3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代
15、入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，可知 A（1，4） ，化目标函数 z3xy 为 y3 xz，由图可知，当直线 y3x z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为7B（1，0） ，由图可知，当直线 y3x z 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 3z3x y 的取值范围是7，3故选：D【点评】本题考查解得的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8 （5 分）若函数 f（x ）sin（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递增区间是（ ）Ak ，k+ （kZ ） B k ，k+ （kZ ）C2k ，
16、2k+ （k Z ） D2k ，2k + （k Z ）【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式 再利用正弦函数的单调性，求得 f（x ）的单调递增区间【解答】解：根据函数 f（x ）sin（x+）的部分图象，可得 ， 2，再根据五点法作图可得 2 +0，求得 ，f（x）sin（2x ） 令 2k 2x 2k + ，求得 k xk+ ，故函数 f（x）的增区间为 k ，k + （kZ） ，故选：A【点评】本题主要考查由函数 yAsin （ x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，正弦函数的单调性，属于基础题9 （5 分）设a n是公差不为零的等差数列
17、，其前 n 项和为 Sn，若 ，S 721，则 a10（ ）A8 B9 C10 D12【分析】设a n是公差 d 不为零的等差数列，由 ，S 721，可得+ + ，7a 1+ d21，化为2a1+9d0，a 1+3d3，解得 a1，d即可得出【解答】解：设a n是公差 d 不为零的等差数列， ，S 721， + + ，7a 1+ d21，2a 1+9d0，a 1+3d3，解得 a19，d2则 a109+299故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
18、是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A18+ B18+2 C16+ D16+2【分析】作出直观图，根据三视图得出几何体尺寸，再计算表面积【解答】解：由三视图可知长方体的棱长为 2，2，1，半圆柱的底面半径为 1，高为 1，长方体的表面积为（22+21+21）216，半圆柱的侧面积为 11+21 +2，几何体的表面积为 16+218+故选：A【点评】本题考查了常见几何体的三视图，结构特征与表面积计算，属于中档题11 （5 分）已知直线 l 与曲线 yx 3x+1 有三个不同交点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3， y3） ，且| AB|AC|，则 （x i+y
19、i）（ ）A0 B1 C2 D3【分析】根据函数对称性可知 A 为对称中心，从而得出三点的坐标和【解答】解：yx 3x 是奇函数，故 yx 3x 的图象关于原点对称，yx 3x+1 的函数图象关于点（ 0，1）对称，直线 l 与曲线 yx 3x+1 有三个不同交点 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，C （x 3，y 3） ，且|AB| AC|，A 为函数的对称点，即 A（0，1） ，且 B，C 两点关于点 A（0，1）对称，x 1+x2+x30 ，y 1+y2+y33 于是 （x i+yi）3故选：D【点评】本题考查了函数对称性的判断与应用，属于中档题12 （5 分）体积为 的
20、三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，则球 O 的体积的最小值为（ ）A B C D 【分析】根据余弦定理计算 AC 的最小值，从而得出外接球半径的最小值，得出结论【解答】解：V PABC SABC PA ，ABBC6，PA平面 ABC，PA2，O 到平面 ABC 的距离为 d PA1，设ABC 的外接圆半径为 r，球 O 的半径为 R，R 由余弦定理可知 AC2AB 2+BC22ABBC cos120AB 2+BC2+62ABBC+618，当且仅当 ABBC 时取等号AC3 由正弦定理可得 2r 2 ，r R 当 R 时，球 O 的体积取得最小值
21、 V 故选：B【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，正余弦定理解三角形，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| |2，| | ，则| | 【分析】根据向量的数量积公式和向量的模即可求出【解答】解：向量 与 的夹角为 ，| |2，| | ， | | |cos 2 2，| |2| |2+| |22 4+242，| | ，故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模，属于基础题14 （5 分）已知函数 f（x ）e xx 2 的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（0，a） ，则a 1 【分析】求得函数 f（x ）的导
22、数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得 a的值【解答】解：函数 f（x ）e xx 2 的导数为 f（x ）e x2x，函数 f（x）e xx 2 的图象在点（1，f（1） ）处的切线的斜率为 e2，切点为（1，e1） ，由切线过点（0，a） ，可得：e2 ，解得 a1，故答案为：1【点评】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题15 （5 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10这样的数称为“三角形数” ，而把 1，4，9，16这样的数称为“正方形数” 如图，可以发现任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，
23、下列等式：36 15+21；4918+31；6428+36 ；8136+45 中符合这一规律的等式是 （填写所有正确结论的编号）【分析】通过已知的等式，找出规律，判断是否满足规律即可【解答】解：由已知条件可得如下规律等式41+3，93+6，166+10，2510+15，3615+214921+286428+36，8136+45， 故答案为【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 16 （5 分）设点 P 是抛物线 x24y 上的动点，点 P 到 x 轴的距离为 d，点 P1 是圆（x2） 2+（y+1 ）
24、 21 上的动点，当 d+|PP1|最小时，点 P 的坐标为 （2+2 ，32 ） 【分析】由抛物线对于可知 d|PF |1，故而当 F，M，P 1，P 四点共线时，d+| PP1|最小，联立方程组求出 P 点坐标【解答】解：抛物线的焦点为 F（0，1） ，准线方程为 y1圆的圆心为 M（2，1） ，dPF1，故当 FP1PM 四点共线且 P， P1 在 M，F 之间时，d+|PP 1|取得最小值，此时直线 MF 的方程为：y x +1，联立方程组 ，得：x 2+4x40，解得 x2 ，或 x22 （舍） ，y32 故答案为（2+2 ，32 ） 【点评】本题考查了抛物线的性质，最短距离的计算，
25、属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 bsin2AasinB（1）求 A；（2）若 a2，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出 A 的值（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长【解答】解：（1）知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且bsin2AasinB则：2bsinAc
26、osAasinB，由于：sinAsinB0，则：cosA ，由于：0A，所以：A （2）利用余弦定理得：a 2b 2+c22bccosA，由于：a2，所以：4b 2+c2bc ，ABC 的面积为 ，则： ，解得：bc4故：b 2+c28，所以：（b+c） 28+2416，则：b+c4所以：三角形的周长为 2+46【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用18 （12 分）A 药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买 100 件某种中药材，为此 A 药店从这两家药厂提供的 100 件该种中药材中随机各抽取 10 件，以抽取的 10 件中药材的
27、质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示已知 A 药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂（1）根据样本数据，A 药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：每件中药材的质量 n（单位：克） 购买价格（单位：元/件）n15 5015n20 an20 100（）估计 A 药店所购买的 100 件中药材的总质量；（）若 A 药店所购买的 100 件中药材的总费用不超过 7000 元，求 a 的最大值【分析】 （1）分析样本数据知 A 药店应选择乙药厂；（2） （）计算从乙药厂所抽取的每件中药材的质
28、量平均数，求出总质量；（）计算 A 药店所购买的 100 件中药材的总费用，列不等式求出 a 的最大值【解答】解：（1）根据样本数据知，A 药店应选择乙药厂购买中药材；（2） （）从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数为 （7+9+11+12+12+17+18+21+21+22）15；估计 A 药店所购买的 100 件中药材的总质量为 100151500 克；（）乙药厂所提供的每件中药材的质量 n15 的概率为 0.5，15n20 的概率为 0.2，n20 的概率为 0.3，则 A 药店所购买的 100 件中药材的总费用为100（500.5+0.2a+100 0.3） ；依题意得 100（50
29、0.5+0.2a+1000.3）7000，解得 a75，a 的最大值为 75【点评】本题考查了茎叶图与平均数、概率的应用问题，是基础题19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，M，N 分别是 AB1 和 BC 的中点（1）证明：MN平面 AA1C1C；（2）若 AA12，AB AC1，BAC 90，求棱锥 C1AMN 的高【分析】 （1）连结 A1B，CA 1，根据中位线定理可得 MNA 1C，从而得出 MN平面AA1C1C；（2）建立坐标系，计算 C1M 与平面 AMN 的夹角正弦值，从而得出 C1 到平面 AMN 的距离，即棱锥 C1AMN 的高【解答】 （1）证明：连
30、结 A1B，CA 1，四边形 ABB1A1 是平行四边形，M 是 AB1 的中点，M 是 A1B 的中点，又 N 是 BC 的中点，MNA 1C，又 MN平面 ACC1A1，A 1C平面 ACC1A1，MN平面 AA1C1C（2）解：以 A1 为原点，以 A1B1，A 1A，A 1C1 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则 C1（0，0，1） ，A（0，2， 0） ，M（ ，1，0） ，N（ ，2， ） ， （ ，1，1） ， （ ，1，0） ， （ ，0， ） ，设平面 AMN 的法向量为 （x，y ，z ） ，则 ， 0， ，令 y1，得 （2，1，2） ，cos ， 设直线 C1M 与平面
31、 AMN 的夹角为 ，则 sin ，C 1 到平面 AMN 的距离 d |C1M|sin 棱锥 C1AMN 的高为 【点评】本题考查了线面平行的判定，空间距离的计算，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，右焦点为 F（2，0） ，短轴长为 4（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l：y kx+3 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，点 P 为线段 MN 的中点，OPFM ，求直线 l 的方程【分析】 （1）根据条件求出 a，b 的值，得出椭圆的方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出 P 点坐标，得出 M 点坐标，代入椭圆方程解出 k 的值【解答】解：（1）
32、设椭圆方程为 1（ab0） ，由题意可知 c2，2b4，即 b2，a 2 椭圆方程为 1（2）联立方程组 ，消去 y 得：（1+2k 2）x 2+12 kx+280，288k 2112（1+2k 2）64k 21120，解得 k2 设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，则 x1+x2 ，x 1x2 ，x0 ，y 0kx 0+3 ，k OP ，OPFM，k FMk OP ，直线 FM 的方程为 y （x 2） ，解方程组 ，得 ，即 M（ ， ） ，M 在椭圆上，（ ） 2+2（ ） 28，解得 k22，即 k 直线 l 的方程为 y x+3 或 y x+3
33、 【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）a（x1）lnx（1）若函数 f（x ）的极小值不大于 k 对任意 a0 恒成立，求 k 的取值范围；（2）证明：nN*， （1+ ） （1+ ）（1+ ）（1+ ）e 2 （其中 e 为自然对数的底数）【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据函数的极值得到关于 k 的范围即可；（2）得到 lnxx 1，令 x 1+ ，得 ln（1+ ） ，令 Sn + + +， sn + + + ，根据 作差证明即可【解答】解：（1）函数 f（x）的定义域是（0，+）
34、，由 f（x）a（ x1）lnx，得 f（x）a ，当 a0 时，令 f（x ）0，解得：x ，则 x（0， ）时， f（x ） 0，x （ ，+）时，f（x）0，故函数 f（x）在（ 0， ）递减，在（ ，+）递增；当 x 时，函数 f（x）取得极小值，其值为 f（ ）a（ 1） ln 1a+lna，令 g（a）1a+lna（a0） ，则 g（a） ，当 0a1 时，g（a）0，当 a1 时，g（a）0，故 g（a）在（0，1）递增，在（1，+）递减，当 a1 时，g（a）取最大值，其值为 g（1）0，应用函数 f（x）的极小值不大于 k 对任意 a0 恒成立，则 k0，故 k 的范围是0，
35、+ ） ，（2）证明：由（1）可知，当 a1 时，函数 f（x ）在（0，1）递减，在（1，+）递增，当 x1 时，函数 f（x）取最小值为 f（1）0，故 x0 时，f（ x）0，即 x1lnx0，得 lnxx1，nN*，令 x 1+ ，得 ln（1+ ） ，故 ln（1+ ） +ln（1+ ）+ln（1+ ）+ +ln（1+ ） + + + ，令 Sn + + + ，sn + + + ，得 sn + + + ， 1故 Sn2 2，故 ln（1+ ） （1+ ） （1+ ）（1+ ）2，故（1+ ） （1+ ） （1+ ）（1+ ）e 2【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导
36、数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2（1+2sin 2）a（a0） （1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB | ，求 a 的值【分析】 （1）消参数 t，可以得到直线 l 的普通方程，利用公式 2x 2+y2，siny 可以将曲
37、线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程（2）将直线 l 和曲线 C 的方程联立，消去 y，整理出关于 x 的方程，利用韦达定理和公式|AB| |x2x 1|可以计算出|AB |的长度【解答】 （1）解：由 消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 y （x1） 即 +y 0，由 2（ 1+2sin2）a，即 2+22sin2a，把 2 x2+y2，sin y 代入上式得 x2+3y2a所以 C 的直角坐标方程为 x2+3y2a（2）解：由 消去 y，得 10x218x +9a 0（1） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，得 x1+x2 ， x1x2 |AB| |x2x 1| 又
38、由已知|AB| ，得 ，解得 a ，此时（1）式的判别式445（22 ）120所以 a 的值为 【点评】本题重点考查参数方程与普通方程的互相转化，属于中等题型，运算要细心选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|+|2x1| ，不等式 f（x）2 的解集为 M（1）求 M；（2）证明：当 a，bM 时，|a+b|+| ab|1【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集 M 即可；（2）法一：根据绝对值不等式的性质证明即可；法二：求出（|a+b|+|ab| ） 2 的表达式，根据 a，b 的范围证明即可【解答】解：（1）f（x ）2，即|2x+1|+|
39、2x1| 2，当 x 时，得（2x +1）+（12x）2，解得：x ，故 x ，当 x 时，得（2x +1）（2x 1）2，即 22 ，故 x ，当 x 时，得（2x +1）+ （2x1）2，解得：x ，故 x ，故不等式 f（x） 2 的解集 Mx| x ；（2）证明：法一：当 a，b M 时，即 a ， b ，得|a | ，|b| ，当（a+b） （ab）0 时，| a+b|+|ab| |a+b+ab|2|a|1，当（a+b） （ab）0 时，| a+b|+|ab| |a+ba+b|2|b|1，故|a +b|+|1；法二：当 a，bM 时，即 a ， b ，得|a | ，|b| ，（|a +b|+|ab| ） 22（a 2+b2） +2|a2b 2| ，由于 a2 ，b 2 ，则 4a21，4b 21，故（|a+b|+| ab|） 21，故|a +b|+|ab| 1【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题
