1、2019 年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 zm（3+i ）（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，1） B （， ）C （ ） D （， ）（1，+）2 （5 分）已知集合 Ax|1 0，则 RA（ ）A x|x2 或 x6 Bx|x2 或 x6 C x|x2 或 x10 D x|x2 或 x103 （5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该公司
2、的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n（ ）A96 B72 C48 D364 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 z 的值是（ ）A21 B22 C23 D245 （5 分）已知点 A 与点 B（1，2）关于直线 x+y+30 对称，则点 A 的坐标为（ ）A （3，4） B （4，5） C （4，3） D （5，4）6 （5 分）从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动设所选 3 人中女生人数为 ，则数学期望 E（ &
3、nbsp;）A B1 C D27 （5 分）已知：sin ，其中 ，则 tan2（ ）A B C D第 2 页（共 33 页）8 （5 分）过双曲线 1（a0，b0）的左焦点 F 作圆 x 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右交于点 P，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D9 （5 分）若曲线 yx 32x 2+2 在点 A 处的切线方程为 y4x 6，且点 A 在直线mx+nyl0（其中 m0 ，n0）上，则的最小值为（ ）A4 B3+2 C6+4 D810 （5 分）函数 f（x ）2sin（x+） （0，| |）的部分图象如图所示，先把函
4、数yf（x ）图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 yg（x）的图象，则函数 yg（x）的图象的一条对称轴为（ ）Ax Bx Cx Dx 11 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30 上，PQ 的中点为M（x 0，y 0） ，且 1y 0x 0 7，则的取值范围为（ ）A2， B C D 2. 12 （5 分）若点 A（t，0）与曲线 ye x 上点 P 的距离的最小值为 2 ，则实数 t 的值为（ ）A4 B4 C3+ D3+二、填空题：本题共 4 小题，每小题
5、 5 分，共 20 分第 3 页（共 33 页）13 （5 分）若 ， 是夹角为 60的两个单位向量，向量 2 + ，则| | 14 （5 分）若（axl） 5 的展开式中 x3 的系数是 80，则实数 a 的值是 15 （5 分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 ”如果把以上这段文字写成公式就是S ，其中 a，b，c 是ABC 的内角 A，B，C 的对边若 sinC2sin AcosB，且
6、 b2，1，c 2 成等差数列，则 ABC 面积 S 的最大值为 16 （5 分）有一个底面半径为 R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为 a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则 a 的最大值为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知a n是递增的等比数列，a 2+a34，a 1a43（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bnna n，求数列
7、b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x（年龄 /岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61y（脂肪含量/%）14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6根据上表的数据得到如下的散点图第 4 页（共 33 页）（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求 ；（ii）计算样本相关系数（精确到 0.01） ，并刻画它们的相关程度（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到 0.01） ，并根据回归方程估
8、计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量附：参考数据： 27， ， ， 7759.6，参考公式：相关系数 r 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，第 5 页（共 33 页）APD90，且 ADPB（l）求证：平面 PAD平面 ABCD；（2）若 ADPB ，求二面角 DPB C 的余弦值20 （12 分）在平面直角坐标系中，动点 M 分别与两个定点 A（2，0） ，B（2，0）的连线的斜率之积为 （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）设过点（1，0）的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，判断直线
9、 x 与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx （kR） （1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）若函数 f（x ）有两个零点 xl，x 2，求 k 的取值范围，并证明 x1+x22 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 22pcos+8（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐
10、标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB |4 ，求直线 l 的倾斜角选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 1|a（1）当 a1 时，解不等式 f（x ）x+1；（2）若存在实数 x，使得 f（x） f（x +1）成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 33 页）第 7 页（共 33 页）2019 年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 zm（3+i ）（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数
11、 m 的取值范围是（ ）A （，1） B （， ）C （ ） D （， ）（1，+）【分析】根据复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义求出点的坐标，根据点的象限建立不等式组关系进行求解即可【解答】解：zm（3+ i）（2+i）（3m2）+ （m1）i，复数对应点的坐标为（3m 2，m 1） ，若对应点的坐标在第三象限，则 得 得 m ，即实数 m 的取值范围是（ ， ） ，故选：B【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，结合复数的运算求出复数以及对应点的坐标，结合点在坐标系中的位置建立不等式关系是解决本题的关键2 （5 分）已知集合 Ax|1 0，则 RA（
12、）A x|x2 或 x6 Bx|x2 或 x6 C x|x2 或 x10 D x|x2 或 x10【分析】根据集合关系即可得到结论【解答】解：由 1 0，即 0，即（x10） （x2）0，解得 2x10，即 Ax|2x10，则 RAx| x2 或 x10，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础3 （5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的第 8 页（共 33 页）轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n（ ）A96 B72 C48 D36
13、【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：设样本中 A 型号车为 x 辆，则 B 型号为（x+8）辆，则 ，解得 x16，即 A 型号车 16 辆，则 ，解得 n72故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题4 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 z 的值是（ ）A21 B22 C23 D24【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：x1，y 2，则 zx +y1+2 3，z20 是，x2，y3，zx+y2+35，z20 是，x3，y5，zx+y3+58，z20 是，x5，y8，zx+y5+813，z2
14、0 是，x8，y13，zx+y8+1321，z20 否，输出 z21，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键5 （5 分）已知点 A 与点 B（1，2）关于直线 x+y+30 对称，则点 A 的坐标为（ ）A （3，4） B （4，5） C （4，3） D （5，4）【分析】设点 A（x ，y ） 点 A 与点 B（1，2）关于直线 x+y+30 对称，可得第 9 页（共 33 页），解出即可得出【解答】解：设点 A（x ，y ） 点 A 与点 B（1，2）关于直线 x+y+30 对称， ，解得 x5，y4则点 A 的坐标为（5，4） 故选
15、：D【点评】本题考查了相互垂直直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分）从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动设所选 3 人中女生人数为 ，则数学期望 E（ ）A B1 C D2【分析】随机变量随机 的所有可能的取值为 0，1，2分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可【解答】解：随机变量 的所有可能的取值为 0，1，2，P（0） ，P（1） ，P（2） 所有随机变量 的分布列为： 0 1 2P 所以 的期望 E（）0 +1 +2 1故选：B【点评】本题考查了离散型随机
16、变量的期望，属于基础题7 （5 分）已知：sin ，其中 ，则 tan2（ ）第 10 页（共 33 页）A B C D【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出 2sincos 的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sincos0，联立求出 sin 与 cos 的值，即可求出 tan 的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解【解答】解：把 sin+cos ，两边平方得：（sin +cos） 2 ，即1+2sincos ，2sincos ， ，sin 0，cos0，sincos 0，（sin cos） 212sin cos ，解
17、得：sin cos ，+得：2sin ，即 sin ，cos ，则 tan ， tan2 故选：D【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题8 （5 分）过双曲线 1（a0，b0）的左焦点 F 作圆 x 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右交于点 P，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】由 ，知 E 为 PF 的中点，令右焦点为 F，则 O 为 FF的中点，则|PF| 2|OE| a，运用双曲线的定义可得|PF |PF|+2a a，在 RtPFF中，|PF|2+|PF| 2|FF| 2，由此能求出离心率【解答】解：
18、由若 ，可得 E 为 PF 的中点，令右焦点为 F，O 为 FF的中点，第 11 页（共 33 页）则|PF|2| OE| a，由 E 为切点，可得 OEPF，即有 PFPF，由双曲线的定义可得|PF| PF| 2a，即|PF| |PF|+2a a，在 Rt PFF中，|PF| 2+|PF |2|FF| 2，即 a2+ a24c 2，即 c a，则离心率 e 故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题9 （5 分）若曲线 yx 32x 2+2 在点 A 处的切线方程为 y4x 6，且点 A
19、 在直线mx+nyl0（其中 m0 ，n0）上，则的最小值为（ ）A4 B3+2 C6+4 D8【分析】设 A（s，t） ，求得函数 y 的导数可得切线的斜率，解方程可得切点 A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值【解答】解：设 A（s，t） ，yx 32x 2+2 的导数为 y3x 24x，第 12 页（共 33 页）可得切线的斜率为 3s24s，切线方程为 y4x 6，可得 3s24s4，t 4s6，解得 s2，t2 或 s ， t ，由点 A 在直线 mx+nyl0（其中 m0，n0） ，可得 2m+2n1 成立， （s ，t ，舍去） ，则 （2m+2n） （ ）2
20、（3+ + ）2（3+2 ）6+4 ，当且仅当 n m 时，取得最小值 6+4 ，故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题10 （5 分）函数 f（x ）2sin（x+） （0，| |）的部分图象如图所示，先把函数yf（x ）图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 yg（x）的图象，则函数 yg（x）的图象的一条对称轴为（ ）Ax Bx Cx Dx 【分析】由图象得到函数的周期 T，然后求出 ，再由 f（2）2 求 的值，可求f（x）的解析式，利用图象的平移伸缩变换可
21、求 g（x）的解析式，利用正弦函数的性质即可求解其对称轴【解答】解：由图象可知，得函数的周期 T4（3.52 ）6，T6则 函数解析式为 f（x ）2sin（ x+） 第 13 页（共 33 页）由 f（2）2，得 2sin（ + ）2，可得：+ 2k + ，k Z，可得：2k ，k Z，又| ，当 k0 时， 则 f（x）的解析式是： f（x ） 2sin（ x ） 把函数 yf（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，可得函数解析式为：y2sin（ x ） 再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 yg（x）的图象，则：g（x）2sin （x ） 2sin（ x ） 令 x
22、 k+ ，kZ，可得：x k+ ，kZ，可得：当 k1 时，可得函数 yg（x ）的图象的一条对称轴为 x 故选：C【点评】本题考查了由函数 yAsin （ x+）的部分图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，图象的平移伸缩变换，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出 ，然后利用五点作图的某一点求 ，属于中档题11 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30 上，PQ 的中点为M（x 0，y 0） ，且 1y 0x 0 7，则的取值范围为（ ）A2， B C D 2. 【分析】根据直线平行的性质求出 M 的轨迹方程，结合直线斜率的
23、几何意义进行求解即可【解答】解：直线 x+2y10 与 x+2y+30 平行，点 M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为 x+2y+10，即点 M（x 0，y 0）满足 x0+2y0+10，而满足不等式 1y 0x 07，第 14 页（共 33 页）如图，表示线段 AB 上的点与原点连线的斜率，A（1，0） ，联立 ，解得 B（5，2） ， ， 的取值范围为 ，0故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12 （5 分）若点 A（t，0）与曲线 ye x 上点 P 的距离的最小值为 2 ，则实数 t 的值为（ &nb
24、sp;）A4 B4 C3+ D3+【分析】求得函数 y 的导数，设 P（m ，e m） ，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两点的距离公式，解方程可得所求值【解答】解：ye x 的导数为 ye x，设 P（m，e m） ，可得过 P 的切线的斜率为 em，当 AP 垂直于切线时，AP 取得最小值 2 ，可得 ，第 15 页（共 33 页）且 2 ，可得（mt） 2（mt）120，解得 mt3（4 舍去） ，即有 e2mtm3，解得 m ，t3+ ，故选：D【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，
25、共 20 分13 （5 分）若 ， 是夹角为 60的两个单位向量，向量 2 + ，则| | 【分析】根据条件即可求出 ， ，从而可以求出 ，进而得出 【解答】解： ， ； ； 故答案为： 【点评】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法14 （5 分）若（axl） 5 的展开式中 x3 的系数是 80，则实数 a 的值是 2 【分析】二项展开式的通项 Tr+1C 5r（ax） 5r （1） r（1） ra5r C5rx5r ，令5r3 可得 r2，从而有 a3C5280 可求 a 的值【解答】解：二项展开式的通项 Tr+1C 5r（ax） 5r （1） r（
26、1） ra5r C5rx5r令 5r3 可得 r2a 3C5280a2故答案为：2第 16 页（共 33 页）【点评】本题主要考查了特定项的系数，以及二项展开式的通项，同时考查了计算能力，属于基础题15 （5 分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 ”如果把以上这段文字写成公式就是S ，其中 a，b，c 是ABC 的内角 A，B，C 的对边若 sinC2sin AcosB，且 b2，1，c 2 成等差数列，则 ABC 面积 S 的最大值为 &nbs
27、p; 【分析】由已知利用正弦定理，余弦定理可求 ab，利用等差数列的性质可求c22b 22a 2，利用已知面积公式可求 S ，即可得解其最大值【解答】解：sinC2sin AcosB，c2acos B2a ，可得：ab，b 2，1，c 2 成等差数列，2b 2+c2，c 22b 22a 2，ABC 的面积 S ，a 2 时，ABC 的面积 S 的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题第 17 页（共 33 页）16 （5 分）有一个底面半径为 R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为 a 的四面体，
28、并且四面体在纸盒内可以任意转动，则 a 的最大值为 【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到 a 的最大值【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为 P，球的半径为 r，轴截面上球与圆锥母线的切点为 Q，圆锥的轴截面如图：则 OAOB R，因为 SAB 为等边三角形，故 P 是SAB 的中心，连接 BP，则 BP 平分SBA ， PBO30所以 tan30 ，即 r ，即四面体的外接球的半径为 r ，另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为 a 时，截得它的正方体的棱长为
29、 ，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以 2r AA1 ，r ，又知道 r ，所以 ，所以 a 故填： 第 18 页（共 33 页）【点评】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知a n是递增的等比数列，a 2+a34，a 1a43（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bnna n
30、，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）解法 1：设等比数列a n的公比为 q，利用已知条件列出方程组求出首项与公比，然后求解通项公式解法 2：设等比数列a n的公比为 q，利用已知条件求出数列的第二，三项，然后求解数列的通项公式（2）说明 ，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解法 1：（1）设等比数列a n的公比为 q，因为 a2+a34，a 1a43，所以 （2 分）解得或 第 19 页（共 33 页）（4 分）因为a n是递增的等比数列，所以 ，q3（5 分）所以数列a n的通项公式为 （6 分）解法 2：（1）设等比数列a n的公比为 q因为 a2+a34，a 1a4a
31、2a33，所以 a2，a 3 是方程 x24x +30 的两个根（2 分）解得或 （4 分）因为a n是递增的等比数列，所以 a21，a 33，则q3（5 分）所以数列a n的通项公式为 an3 n2 （6分）（2）由（1）知 （7 分）则 ，（8 分）在式两边同时乘以 3 得，（9 分）第 20 页（共 33 页）得 ，（10 分）即 ，（11 分）所以 （12 分）【点评】本题考查等比数列以及数列的性质的应用，数列求和，考查计算能力18 （12 分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x（年龄 /岁） 26 27 39 41 4
32、9 53 56 58 60 61y（脂肪含量/%）14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6根据上表的数据得到如下的散点图（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求 ；（ii）计算样本相关系数（精确到 0.01） ，并刻画它们的相关程度（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到 0.01） ，并根据回归方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量附：第 21 页（共 33 页）参考数据： 27， ， ， 7759.6，参考公式：相关系数 r 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，【分析】 （1）根据上表中的样
33、本数据计算（）平均数 ，求出（）相关系数 r，由此得出结论；（2）利用回归方程求出回归系数，写出线性回归方程，计算 x50 时 y 的值即可【解答】解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图知，（） ；（2分）（）回归系数 r （3 分） （4 分）第 22 页（共 33 页） ；（5 分）因为 ， ，所以 r0.98；（6 分）由样本相关系数 r0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；（7 分）（2）因为回归方程为 ，即 ，所以 ；【或利用 】（10 分）所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ，将 x50 代入线性回归方程得 ；（11 分）所以根据回归方程预测年龄为 50 岁时人的
34、脂肪含量为28.56% （12 分）【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，APD90，且 ADPB（l）求证：平面 PAD平面 ABCD；（2）若 ADPB ，求二面角 DPB C 的余弦值第 23 页（共 33 页）【分析】 （1）取 AD 中点 O，连结 OP，OB ，BD，推导出 OBAD，OPOB ，从而OB平面 PAD，由此能证明平面 PAD平面 ABCD（2）法 1：推导出 AD平面 POBPO ADPOOB ， ADOB，以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直线为
35、 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 DPBC 的余弦值法 2：推导出 AD平面 POB从而 POAD，过点 D 作 DHPB，H 为垂足，过点 H作 HGBC，交 PC 于点 G，连接 DG，则DHG 为二面角 DPBC 的平面角，由此能求出二面角 DPBC 的余弦值【解答】证明：（1）取 AD 中点 O，连结 OP，OB ，BD，因为底面 ABCD 为菱形，BAD60，所以 ADABBD因为 O 为 AD 的中点，所以 OBAD （1 分）在APD 中，APD 90，O 为 AD 的中点，所以 设 ADPB2a，则 ，PO OAa，因为 PO2+OB2a 2+
36、3a24a 2PB 2，所以OPOB（2 分）因为 OPAD O，OP 平面 PAD，AD 平面 PAD，所以 OB平面PAD（3 分）因为 OB平面 ABCD，所以平面 PAD平面ABCD（4 分）解：（2）解法 1：因为 AD PB，AD OB，OBPBB ，PB平面 POB，OB 平面 POB，所以 AD平面 POB所以 POAD由（1）得 POOB，AD OB ，所以 OA，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直（5 分）以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空第 24 页（共 33 页）间直角坐标系（6 分）设 AD2，则 A（1
37、，0，0） ， D（1，0，0） ，B（0， ，0） ，P（0，0，1） ，（7 分）所以 （1，0，1） ， （0， ，1） ， （2，0，0） ，（8 分）设平面 PBD 的法向量为 （x，y ，z） ，则 ，令 y1，得（ ） （9 分）设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，令 y1，则（0，1， ） （10 分）设二面角 DPBC 为 ，由于 为锐角，所以cos|cos | ，（11 分）所以二面角 DPBC 的余弦值为 （12 分）解法 2：因为 ADPB ，AD OB，OBPBB，PB平面 POB，OB 平面 POB，所以 AD平面 POB所以 POAD（5 分）所以
38、 POa，PD 过点 D 作 DHPB，H 为垂足，过点 H 作 HGBC ，交 PC 于点 G，连接DG，（6 分）因为 ADPB，BCAD，所以 BCPB ，即 HGPB所以DHG 为二面角 DPBC 的平面角（7 分）第 25 页（共 33 页）在等腰BDP 中，BD BP2a，PD ，根据等面积法可以求得DH a （8 分）进而可以求得 PH a，所以HG ，PG （9 分）在PDC 中，PD ，DC 2a，PC2 a，所以 cosDPC 在PDG 中， PD ，PG a，cos DPC ，所以 DG2PD 2+PG22PDPG cosDPGa 2，即DGa（10 分）在DHG 中，D
39、H ，HG ，DGa，所以cosDHG ，（11 分）所以二面角 DPBC 的余弦值为 （12 分）第 26 页（共 33 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20 （12 分）在平面直角坐标系中，动点 M 分别与两个定点 A（2，0） ，B（2，0）的连线的斜率之积为 （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）设过点（1，0）的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，判断直线 x 与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由【分析】 （1）设动点 M 的坐标为（ x，y） ，由斜率之积为 列
40、式求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）过点（1，0）的直线为 x 轴时，显然不合题意设过点（1，0）的直线方程为 xmy1，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得 PQ 的中点坐标为N（ ） 再由弦长公式求 |PQ|求得点 N 到直线 x 的距离为 d由第 27 页（共 33 页）0，可得 d ，即直线 x 与以线段 PQ 为直径的圆相离【解答】解：（1）设动点 M 的坐标为（x，y） ， （x2） ， （x2） ， 整理得 动点 M 的轨迹 C 的方程 （x2） ；（2）过点（1，0）的直线为 x 轴时，显然不合题意可设过点（1，0）的直线方程为 xmy1，设直线 xmy1 与轨迹
41、 C 的交点坐标为 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，由 ，得（m 2+2）y 22my 30（2m） 2+12（m 2+2）0，由韦达定理得 ， PQ 的中点坐标为 N（ ） |PQ | 点 N 到直线 x 的距离为 d 0，第 28 页（共 33 页）即 d ，直线 x 与以线段 PQ 为直径的圆相离【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx （kR） （1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）若函数 f（x ）有两个零点 xl，x 2，求 k 的取值范围，并证明 x1+x22 【分析】 （
42、1）函数 f（x ）的定义域为（0，+） ，f（x） ，x0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数 f（x ）的单调性（2）先求 k 的取值范围是 ，再证明 f（2k）ln（2k） 0然后证明 x1+x2 2 ，即证（ 1） （1+t 2）8lnt ，或证 8lnt+（ ） （1+t 2）0， （t0） 设 h（t）8lnt+（ ） （1+t） 2，t 1则 h（t）8lntt 22t+，t1由此能证明 x1+x22 【解答】解：（1）函数 f（ x）lnx （kR） 函数 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x） ，x0（1 分）当 k0 时，f （x）0，函数 f（x）在（ 0，+）上单调递增（2 分）当 k0 时，由 f（x）0，得 x （负根舍去） ，当 x（0， ）时，f（x）0，当 x（ ）时，f （x）0，函数 f（x）在（ 0， ）上单调递减；在（ ）上单调递增（3 分）综上所述，当 k0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；当 k0 时，函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ）上单调递增（4 分）第 29 页（共 33 页）（2）先求 k 的取值范围：由（1）知，当 k0 时，f（x）在（0，+）上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件（5 分）当 k0 时，函数 f（x）在（0， ）上单
