人教版九年级下《26.2用函数观点看一元二次方程》同步练习卷答案(1)

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1、第 1 页(共 34 页)26.2 用函数观点看一元二次方程同步练习卷一选择题(共 7 小题)1若关于 x 的一元二次方程(x2) (x 3)m 有实数根 x1、x 2,且 x1x 2,有下列结论: x12,x 23 m 二次函数 y(xx 1) (xx 2)+ m 的图象与 x 轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)其中,正确的结论是( )A B C D2已知二次函数 yx 24x +m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,且点 A 的坐标为(1,0) ,则线段 AB 的长为( )A1 B2 C3 D43如图,二次函数 yax 2+bx+c 图象的对称轴是直线 x 1,与 x 轴一个交点 A(

2、3,0) ,则与 x 轴的另一个交点坐标是( )A (0, ) B ( ,0) C (0,1) D (1,0)4函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示,那么关于 x 的方程 ax2+bx+c40 的根的情况是( )A有两个相等的实数根 B有两个异号的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根5用“描点法”画二次函数 yax 2+bx+c(a0)的图象时,列了如下表格:x 0 1 2 3 4 y 3 4 3 0 5 根据表格上的信息回答问题:一元二次方程 ax2+bx+c50 的解为( )第 2 页(共 34 页)Ax 12,x 24 Bx 11,x 23 Cx 13,x 24 Dx 14,

3、x 246已知抛物线 y(x +a) (x a1) (a 为常数,a0) 有下列结论(1)抛物线的对称轴为 x ;(2) (x+a) (x a1)1 有两个不相等的实数根;(3)抛物线上有两点 P(x 0,m ) ,Q (1,n) ,若 mn,则 0x 01其中,正确结论的个数为( )A0 B1 C2 D37二次函数 yx 2+bx 的对称轴为直线 x2,若关于 x 的一元二次方程 x2+bxt 0(t 为实数)在1x 4 的范围内有解,则 t 的取值范围是( )A0t5 B4t5 C4t 0 Dt4二填空题(共 4 小题)8已知二次函数 yax 2+bx( a0)的最小值是3,若关于 x 的

4、一元二次方程ax2+bx+c0 有实数根,则 c 的最大值是 9抛物线 ya(x h) 2+k 经过(1,0) , (5,0)两点,则关于 x 的一元二次方程a(xh+1 ) 2+k0 的解是 10已知二次函数 y3x 2+2x+n,当自变量 x 的取值在1x1 的范围内时,函数与 x 轴有且只有一个公共点,则 n 的取值范围是 11二次函数 yax 2+bx 的图象如图所示,若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根,则 k 的取值范围为 三解答题(共 15 小题)12已知关于 x 的一元二次方程 x2(k +5)x+3k+60(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方

5、程有一个根大于2 且小于 0,k 为整数,求 k 的值第 3 页(共 34 页)13如图,抛物线 yax 2+bx(a0)交 x 轴正半轴于点 A,直线 y2x 经过抛物线的顶点M已知该抛物线的对称轴为直线 x2,交 x 轴于点 B(1)求 M 点的坐标及 a,b 的值;(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接 OP,BP设点 P 的横坐标为 m,OBP 的面积为 S,当 m 为多少时,s 14已知关于 x 的二次函数 yx 2+(k1)x+k(1)试判断该函数的图象与 x 轴的交点的个数;(2)求该函数的图象顶点 M 的坐标(用 k 的代数式表示) ;(3)当3k3 时,

6、求顶点 M 的纵坐标的取值范围15如图,抛物线 yax 2bx+4 与坐标轴分别交于 A,B ,C 三点,其中 A(3,0) ,B(8, 0) ,点 D 在 x 在轴上, ACCD,过点 D 作 DE x 轴交抛物线于点 E,点 P,Q分别是线段 CO,CD 上的动点,且 CPQD(1)求抛物线的解析式(2)记APC 的面积为 S1,PCQ 的面积为 S2,QED 的面积为 S3,若S1+S34S 2,求出 Q 点坐标(3)连结 AQ,则 AP+AQ 的最小值为 (请直接写出答案)16如图,抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A(1 ,0) ,B (5,0)两点(1)求抛物线的解析

7、式;(2)在第二象限内取一点 C,作 CD 垂直 x 轴于点 D,连接 AC,且 AD5,CD8,将 Rt ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位,当点 C 落在抛物线上时,求 m 的值第 4 页(共 34 页)17如图,点 M(1,3)在抛物线 yax 2+bx2 上,且该抛物线与 x 轴分别交于点 A 和点 B( 1,0) ,与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)若点 D 是抛物线对称轴上的一个动点,求 OD+MD 的最小值;(3)点 N 是抛物线上除点 M 外的一点,若ACN 与ACM 的面积相等,求点 N 的坐标18在平面直角坐标系 xOy 中,直线 yx 与抛物线 yax

8、 2(3+a)x+3(a0)交于A,B 两点,并且 OAOB(1)当 a1 时,求抛物线与 x 轴的交点坐标;(2)当 2 时,求 a 的取值范围19定义:在平面直角坐标系中,图形 G 上点 P(x,y)的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差yx 称为 P 点的“坐标差” ,记作 Zp,而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值” (1) 点 A( 3,1)的“坐标差”为 ;求抛物线 yx 2+5x 的“特征值” ;第 5 页(共 34 页)(2)某二次函数 yx 2+bx+c(c0)的“特征值”为 1,点 B(m ,0)与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴

9、的交点,且点 B 与点 C 的“坐标差”相等直接写出 m ;(用含 c 的式子表示)求此二次函数的表达式20抛物线 yx 2+2x+m 与 x 轴有两个不同的交点,求 m 的取值范围21如图,抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴相交于 A(1,0) ,B (3,0) ,于 y 轴交于 C(1)求该抛物线的解析式;(2)若 M 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点,N 是抛物线的顶点,求 MN 的长;(3)若点 P 是抛物线上点,当 SPAB 8 时,求点 P 的坐标22如图,已知抛物线 yx 2+ax3 交 x 轴于点 A,D 两点,交 y 轴于点 C,过点 A 的直线与 x 轴下方的抛物线

10、交于点 B,已知点 A 的坐标是(1,0) (1)求 a 的值;(2)连结 BD,求ADB 面积的最大值;(3)当ADB 面积最大时,求点 C 到直线 AB 的距离23已知二次函数 yx 22x3(1)请你把已知的二次函数化成 y(xh) 2+k 的形式,并在平面直角坐标系中画出它的图象;(2)如果 A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2)是(1)中像上的两点,且 x1x 21,请直接写出第 6 页(共 34 页)y1、y 2 的大小关系为 (3)利用(1)中的图象表示出方程 x22x10 的根,画在(1)的图象上即可,要求保留画图痕迹24阅读下列材料我们通过下列步骤估计方程 2x2+x2

11、0 的根的所在的范围第一步:画出函数 y2x 2+x 2 的图象,发现图象是一条连续不断的曲线,且与 x 轴的一个交点的横坐标在 0,1 之间第二步:因为当 x0 时,y 20;当 x1 时,y10所以可确定方程 2x2+x20 的一个根 x1 所在的范围是 0x 11第三步:通过取 0 和 1 的平均数缩小 x1 所在的范围;取 x ,因为当 x 时,y 0,又因为当 x1 时,y 0,所以 x 11(1)请仿照第二步,通过运算,验证 2x2+x20 的另一个根 x2 所在范围是2x 21;(2)在2x 21 的基础上,重复应用第三步中取平均数的方法,将 x2 所在范围缩小至 mx 2n,使

12、得 nm 25 (1)已知二次函数 yx 22x 3,请你化成 y(xh) 2+k 的形式为 ,并在直角坐标系中画出 yx 22x 3 的图象;第 7 页(共 34 页)(2)如果 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)是(1)中图象上的两点,且 x1x 21,请直接写出 y1、y 2 的大小关系为 ;(3)利用(1)中的图象表示出方程 x22x10 的根来,要求保留画图痕迹,说明解题思路即可,不用计算结果26利用函数的图象,求方程 x22x+3 的解第 8 页(共 34 页)参考答案与试题解析一选择题(共 7 小题)1若关于 x 的一元二次方程(x2) (x 3)m 有实数根 x1、x

13、 2,且 x1x 2,有下列结论: x12,x 23 m 二次函数 y(xx 1) (xx 2)+ m 的图象与 x 轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)其中,正确的结论是( )A B C D【分析】将已知的一元二次方程整理为一般形式,根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式0,列出关于 m 的不等式,求出不等式的解集即可对选项进行判断;再利用根与系数的关系求出两根之积为 6m ,这只有在 m0 时才能成立,故选项错误;将选项中的二次函数解析式整理后,利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入,整理得到确定出二次函数解析式,令 y0,得到关于 x 的方程,求出方程的解得到 x 的值,确定

14、出二次函数图象与 x 轴的交点坐标,即可对选项进行判断【解答】解:一元二次方程(x2) (x3)m 化为一般形式得:x 25x+6m0,方程有两个不相等的实数根 x1、x 2,b 24ac(5) 24(6m )4m +10,解得:m ,故选项正确;一元二次方程实数根分别为 x1、x 2,x 1+x25,x 1x26m,而选项 中 x12,x 23,只有在 m0 时才能成立,故选项错误;二次函数 y(x x 1) (xx 2)+mx 2(x 1+x2)x+x 1x2+mx 25x+(6m)+m x25x+6(x2) (x3) ,令 y0,可得(x 2) (x 3 )0,解得:x2 或 3,抛物线

15、与 x 轴的交点为(2,0)或(3,0) ,故选项正确故选:A【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点,一元二次方程的解,根与系数的关系,以及根的判别式的运用,是中考中常考的综合题2已知二次函数 yx 24x +m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,且点 A 的坐标为(1,0) ,第 9 页(共 34 页)则线段 AB 的长为( )A1 B2 C3 D4【分析】将点 A(1,0)代入 yx 24x+m ,求出 m 的值,结合韦达定理AB| x1x 2| ;【解答】解:将点 A(1,0)代入 yx 24x+m ,得到 m3,所以 yx 24x +3,与 x 轴交于两点,设 A(x 1,y 1)

16、 ,b(x 2,y 2)x 24x+30 有两个不等的实数根,x 1+x24,x 1x23,AB|x 1x 2| 2;故选:B【点评】本题考查一元二次函数根与系数的关系;熟练掌握二次函数 x 轴上两点间的距离与根与系数的关系是解题的关键3如图,二次函数 yax 2+bx+c 图象的对称轴是直线 x 1,与 x 轴一个交点 A(3,0) ,则与 x 轴的另一个交点坐标是( )A (0, ) B ( ,0) C (0,1) D (1,0)【分析】找出点 A 关于 x1 的对称点的坐标即可【解答】解:点 A 的坐标为(3,0) ,点 A 关于 x 1 的对称点的坐标为(1,0) 故选:D【点评】本题

17、主要考查的是抛物线与 x 轴的交点,利用抛物线的对称性求得点 A 的对称点的坐标是解题的关键4函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示,那么关于 x 的方程 ax2+bx+c40 的根的情况是( )第 10 页(共 34 页)A有两个相等的实数根 B有两个异号的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为 4,判断方程 ax2+bx+c40 的根的情况即是判断函数 yax 2+bx+c 的图象与直线 y4 交点的情况【解答】解:函数的顶点的纵坐标为 4,直线 y4 与抛物线只有一个交点,方程 ax2+bx+c40 有两个相等的实数根故选:A【点评】此题主要

18、考查了方程 ax2+bx+c40 的根的情况,先看函数 yax 2+bx+c 的图象的顶点坐标纵坐标,再通过图象可得到答案5用“描点法”画二次函数 yax 2+bx+c(a0)的图象时,列了如下表格:x 0 1 2 3 4 y 3 4 3 0 5 根据表格上的信息回答问题:一元二次方程 ax2+bx+c50 的解为( )Ax 12,x 24 Bx 11,x 23 Cx 13,x 24 Dx 14,x 24【分析】由表格中的数据可求出抛物线的解析式,则一元二次方程 ax2+bx+c50 中各项的系数已知,再解方程即可【解答】解:由题意可知点(0,3) , (1,4) , (2,3)在二次函数 y

19、ax 2+bx+c的图象上,则 ,解得: ,所以一元二次方程 ax2+bx+c50 可化为:x 22x3 50,解得:x 12,x 24,第 11 页(共 34 页)故选:A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:对于二次函数 yax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a0) ,b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数:b 24ac0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;b 24ac0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;b 24ac0 时,抛物线与 x 轴没有交点6已知抛物线 y(x +a) (x a1) (a 为常数,a0) 有下列结论(1)抛物线的对称轴为 x ;(2) (x+a)

20、 (x a1)1 有两个不相等的实数根;(3)抛物线上有两点 P(x 0,m ) ,Q (1,n) ,若 mn,则 0x 01其中,正确结论的个数为( )A0 B1 C2 D3【分析】 (1)先把二次函数化为一般式 yx 2x a 2a,即可求出对称轴为 x ;(2)令 y1,即 x2x a 2 a1,计算判别式即可判断方程根的情况;(3)利用二次函数的增减性即可判断抛物线上两点 P(x 0,m) ,Q (1,n) ,若函数值mn 时,则自变量 0x 01【解答】解:抛物线 y(x +a) (x a1)x 2xa 2a,(1)抛物线的对称轴为 x ,所以此答案正确;(2)令 y1,即 x2x

21、a 2 a1,整理得一元二次方程 x2x a 2a10,14(a 2a1)4a 2+4a+52(a+1 ) 2+30,(x+a) (x a1)1 有两个不相等的实数根,所以此答案正确;(3)10,抛物线开口向上,当 x 时,y 随 x 的增大而减小,当 x 时,y 随 x 的增大而增大,若 mn,则 0x 01,所以此答案正确(1) (2) (3)均正确,故选:D【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的判别式,灵活应用这些性质是解题的关键第 12 页(共 34 页)7二次函数 yx 2+bx 的对称轴为直线 x2,若关于 x

22、的一元二次方程 x2+bxt 0(t 为实数)在1x 4 的范围内有解,则 t 的取值范围是( )A0t5 B4t5 C4t 0 Dt4【分析】先求出 b,确定二次函数解析式,关于 x 的一元二次方程 x2+bxt0 的解可以看成二次函数 yx 24x 与直线 yt 的交点,1x 4 时4y5,进而求解;【解答】解:对称轴为直线 x2,b4,yx 24x,关于 x 的一元二次方程 x2+bxt0 的解可以看成二次函数 yx 24x 与直线 yt 的交点,1x4,二次函数 y 的取值为4y5,4t5;故选:B【点评】本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与

23、直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键二填空题(共 4 小题)8已知二次函数 yax 2+bx( a0)的最小值是3,若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c0 有实数根,则 c 的最大值是 3 【分析】利用公式先表示出二次函数的最值,由此得到 b212a,再利用关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有实数根,得到b 24ac 0,代入得到 12a4ac0,求解即可求出 c 的最大值【解答】解:二次函数 yax 2+bx(a0)的最小值是 3,a0,且 3,即 b212a,关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有实数根,b 24ac0,即 12a4ac0,即 4a(3c

24、 )0,3c0,即 c3,c 的最大值为 3故答案为:3第 13 页(共 34 页)【点评】本题考查了二次函数的最值和一元二次方程有实数根的条件,综合应用即可解决问题9抛物线 ya(x h) 2+k 经过(1,0) , (5,0)两点,则关于 x 的一元二次方程a(xh+1 ) 2+k0 的解是 x 12,x 24 【分析】将抛物线 ya(x h) 2+k 向左平移一个单位得到 ya(x h+1 ) 2+k,然后根据抛物线 ya(x h) 2+k 经过(1,0) , (5,0)两点,可以得到 a(xh+1)2+k0 的解【解答】解:将抛物线 ya(xh) 2+k 向左平移一个单位长度后的函数解

25、析式为ya(xh+1) 2+k,抛物线 ya(x h) 2+k 经过( 1,0) , (5,0)两点,当 a(xh+1) 2+k 的解是 x12,x 24,故答案为:x 12,x 24【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答10已知二次函数 y3x 2+2x+n,当自变量 x 的取值在1x1 的范围内时,函数与 x 轴有且只有一个公共点,则 n 的取值范围是 5n1 或 n 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线 x ,讨论:若抛物线与 x 轴有两个交点,利用函数图象,当 x1,y0 且 x1,y0 时,在1x 1 的范围

26、内时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,即 32+n0 且 3+2+n0;若抛物线与 x 轴有两个交点,则2 243n0,在1x1 的范围内时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,然后分别解不等式组或方程即可【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x ,若抛物线与 x 轴有两个交点,则当 x1,y 0 且 x1,y 0 时,在1x1 的范围内时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,即 32+n0 且 3+2+n0,解得5n1;若抛物线与 x 轴有两个交点,则2 243n0,在1x1 的范围内时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,即 n ,综上所述,n 的取值范围是5n1 或 n 第 14 页(共

27、 34 页)故答案为5n1 或 n 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 yax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质11二次函数 yax 2+bx 的图象如图所示,若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根,则 k 的取值范围为 k1 【分析】把关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根看作为抛物线 yax 2+bx与直线 yk+1 没有交点,结合图象得到当k +12 时,直线 yk+1 与抛物线yax 2+bx 没有交点,从而得到 k 的范围【解答】解:把关

28、于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根看作为抛物线yax 2+bx 与直线 yk+1 没有交点,而当k+12 时,直线 yk +1 与抛物线 yax 2+bx 没有交点,所以当 k1 时,关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k1 0 没有实数根故答案为 k1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 yax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程解决此题的关键是数形结合的思想的运用三解答题(共 15 小题)12已知关于 x 的一元二次方程 x2(k +5)x+3k+60(1)求证:此方程总有两个实数根;

29、(2)若此方程有一个根大于2 且小于 0,k 为整数,求 k 的值【分析】 (1)求出方程的判别式的值,利用配方法得出0,根据判别式的意义即可证明;第 15 页(共 34 页)(2)设方程的两个根分别是 x1,x 2,利用公式法求方程的解,然后根据一元二次方程根与系数的关系求得 k 的取值范围,再进一步求出 k 的整数值【解答】 (1)证明:(k5) 24(3k +6)k 22k+1(k1) 20,无论 k 为何值,方程总有两个实数根;(2)设方程的两个根分别是 x1,x 2,解方程得 x ,x 1k+2,x 23由题意可知2k+20,即4k2k 为整数k3【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的

30、交点,二次函数的图象和性质,二次函数与一元二次方程的关系,根的判别式,根与系数的关系,综合性较强,难度适中13如图,抛物线 yax 2+bx(a0)交 x 轴正半轴于点 A,直线 y2x 经过抛物线的顶点M已知该抛物线的对称轴为直线 x2,交 x 轴于点 B(1)求 M 点的坐标及 a,b 的值;(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接 OP,BP设点 P 的横坐标为 m,OBP 的面积为 S,当 m 为多少时,s 【分析】 (1)通过直线 y2x 确定 M 点的坐标,然后利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列关于 a、b 的方程组,再解方程组得到 a、b 的值;(2

31、)设 P(m,m 2+4m) ,利用三角形面积公式得到 2(m 2+4m) ,然后解方程求出即可得到满足条件的 m 的值【解答】解:(1)将 x2 代入 y2x 得 y4第 16 页(共 34 页)M(2,4) ,根据题意得 ,解得 ;(2)抛物线解析式为 yx 2+4x,设 P(m,m 2+4m) ,B(2,0) 2(m 2+4m) ,m24m ,解得 m1 ,m 2 ,P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,m 的值为 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 yax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也

32、考查了二次函数的性质14已知关于 x 的二次函数 yx 2+(k1)x+k(1)试判断该函数的图象与 x 轴的交点的个数;(2)求该函数的图象顶点 M 的坐标(用 k 的代数式表示) ;(3)当3k3 时,求顶点 M 的纵坐标的取值范围【分析】 (1)计算判别式的值得到(k+1) 20,然后根据判别式的意义确定该函数的图象与 x 轴的交点的个数;(2)利用配方法,把一般式配成顶点式即可得到该函数的图象顶点 M 的坐标;(3)设顶点 M 的纵坐标为 t,利用(2)的结论得到 t (k+1) 2,则 t 为 k 的二次函数,然后利用二次函数的性质求解【解答】解:(1)(k1) 24(1)kk2+2

33、k+1(k+1) 20,该函数的图象与 x 轴的交点的个数为 1 个或 2 个;(2)yx 2+(k 1)x+kx 2(k1)x +( ) 2( ) 2+k(x ) 2+第 17 页(共 34 页)该函数的图象顶点 M 的坐标为( , ) ;(3)设顶点 M 的纵坐标为 t,则 t (k+1) 2,当 k1 时,t 有最小值 0;当3k1,t 随 k 的增大而减小,则 0t1;当1k3 时,t 随 k 的增大而减小,则 0t4,t 的范围为 0t4,即当3k3 时,顶点 M 的纵坐标 t 的取值范围为 0t4【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 yax 2+bx+c(a,b,

34、c 是常数,a0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数(b 24ac0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;b 24ac0时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;b 24ac0 时,抛物线与 x 轴没有交点) 也考查了二次函数的性质15如图,抛物线 yax 2bx+4 与坐标轴分别交于 A,B ,C 三点,其中 A(3,0) ,B(8, 0) ,点 D 在 x 在轴上, ACCD,过点 D 作 DE x 轴交抛物线于点 E,点 P,Q分别是线段 CO,CD 上的动点,且 CPQD(1)求抛物线的解析式(2)记APC 的面积为 S1,P

35、CQ 的面积为 S2,QED 的面积为 S3,若S1+S34S 2,求出 Q 点坐标(3)连结 AQ,则 AP+AQ 的最小值为 (请直接写出答案)【分析】 (1)利用待定系数法求抛物线解析式即可;(2)作 QNOD,根据等腰三角形的性质得出 D(3,0 ) ,进而求得 E(3,5) ,根据勾股定理求得 CD5,设 PCQDx ,由NQC ODC 的性质得出NQ ,根据 S1+S34S 2,列出关于 x 的方程,即可求得 x 的值,进而求得 NQ和 ON,就求得 Q 点的坐标第 18 页(共 34 页)(3)连接 AE,先证明ACPEQD ,则 APEQ ,所以 AP+AQEQ+AQ,利用三角

36、形三边的关系得到 EQ+AQAE(当且仅当点 A、Q、E 共线时取等号) ,然后计算出AE 即可【解答】解:(1)抛物线 yax 2bx +4 与坐标轴分别交于 A,B,C 三点,其中A(3,0) ,B(8,0) ,C(0,4) ,设抛物线的解析式为 ya(x+3) (x 8) ,代入 C 点的坐标得,424 a,a ,y (x+3) (x 8) ,抛物线的解析式为:y x2+ x+4;(2)ACCD,COAD,ODOA 3 ,D(3,0) ,E 点的横坐标为 3,把 x3 代入 y x2+ x+4 得,y5,E(3,5) ,OD3,OC4,CD5,设 PCQDx,作 QNOD,交 OC 于

37、N,NQCODC, ,即 ,NQ ,S 1+S34S 2,x3+ 53 4 x解得 x ,第 19 页(共 34 页)QD ,CQ5 , , ,NQ ,CN ,ON4CN ,Q( , ) ;(3)连接 AE,ACCD,COAD,OC 平分ACD,ACODCO,EDOC,DCOCDE,DECDAC5,CPQD ,ACPEDQ,APEQ ,AP+AQEQ+AQ,而 EQ+AQAE(当且仅当点 A、Q、E 共线时取等号) ,EQ+ AQ 的最小值 ,AQ+ AP 的最小值为 ,故答案为 【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质;会

38、利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与第 20 页(共 34 页)图形性质16如图,抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A(1 ,0) ,B (5,0)两点(1)求抛物线的解析式;(2)在第二象限内取一点 C,作 CD 垂直 x 轴于点 D,连接 AC,且 AD5,CD8,将 Rt ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位,当点 C 落在抛物线上时,求 m 的值【分析】 (1)将点 A(1,0) ,B(5,0)代入函数解析式即可;(2)根据条件求出 C(6, 8) ,沿 x 轴向右平移 m 个单位后 C 点坐标为(6+m,8) ,再将点平移后的 C 点代入函数解析式即可求解;【解答】

39、解:(1)抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A(1,0) ,B (5,0) ,b4,c5,yx 2+4x+5;(2)由 AD5,CD8,可得:D(6,0) ,C(6,8) ,将 Rt ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位后 C 点坐标为(6+m,8) ,当 C 在抛物线上时,8( m6) 2+4(m6)+5,m7 或 m9;【点评】本题考查二次函数的图象及性质;掌握待定系数法求函数解析式,理解平面内点的平移特点是解题的关键17如图,点 M(1,3)在抛物线 yax 2+bx2 上,且该抛物线与 x 轴分别交于点 A 和点 B( 1,0) ,与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解

40、析式;(2)若点 D 是抛物线对称轴上的一个动点,求 OD+MD 的最小值;第 21 页(共 34 页)(3)点 N 是抛物线上除点 M 外的一点,若ACN 与ACM 的面积相等,求点 N 的坐标【分析】 (1)将点 M(1, 3)和 B(1,0)代入 y ax2+bx2 即可求解;(2)作点 M(1,3)关于对称轴的对称点为 M(2,3) ,连接 OM,则 OD+MD的最小值为 OD+DMOM;(3) 过 M 做 MNAC 交抛物线与点 N1,直线 MN1 的解析式为为 y x ,与抛物线解析式联立求 N;过点 M 作 MGx 轴,交 AC 于点 H,过点 G 作 N2N3AC,交抛物线与点

41、 N2,N 3,则直线 N2N3 的解析式为 y x ,与抛物线解析式联立求 N的坐标;【解答】解:(1)将点 M( 1,3)和 B(1,0)代入 yax 2+bx2, , ,抛物线解析式为 y ;(2)如图 1:作点 M(1, 3)关于对称轴的对称点为 M(2,3) ,连接 OM,则 OD+MD 的最小值为 OD+DMOM ;OM ;(3)由(1)可求 A(4,0) ,C(0,2) ,AC 的直线解析式为 y x2,ACN 与 ACM 的面积相等,MNAC,第 22 页(共 34 页)如图所示:过 M 做 MNAC 交抛物线与点 N1M(1,3) ,直线 MN1 的解析式为 y ,联立得 ,

42、 或 ,N 1(3,2) ;过点 M 作 MGx 轴,交 AC 于点 H,H(1, ) ,GHHM ,过点 G 作 N2N3AC,交抛物线与点 N2,N 3,则直线 N2N3 的解析式为 y x ,联立得 , 或 ,N 2(2+ , ) ,N 3(2 , ) ;满足条件的 N 有三个分别是 N1(3,2) ,N 2(2+ , ) ,N 3(2 ,) ;第 23 页(共 34 页)【点评】本题考查二次函数的图象及性质,最短距离;熟练掌握待定系数法求函数解析式,利用轴对称求最短距离,掌握直线与抛物线交点坐标的求法是解题的关键18在平面直角坐标系 xOy 中,直线 yx 与抛物线 yax 2(3+a

43、)x+3(a0)交于A,B 两点,并且 OAOB(1)当 a1 时,求抛物线与 x 轴的交点坐标;(2)当 2 时,求 a 的取值范围【分析】 (1)把 a1 代入函数解析式得到关于 x 的一元二次方程 x24x+30,通过解该方程求得抛物线与 x 轴交点的横坐标;(2)根据题意得到直线 AB 与抛物线的交点坐标,依据限制性条件 2 来求 a 的取值范围【解答】解:(1)把 a1 代入 yax 2(3+a)x +3(a0) ,得 yx 24x +3令 y0,即 x24x +30,解得 x11,x 23抛物线与 x 轴的交点坐标是(1,0) , (3,0) ;(2)依题意得:xax 2(3+a)

44、x +3(a0) ,解得 x11,x 2 与 y 轴交于( 0,3) 当 a0,OB4 时,B(4 ,4) 解得 a 当 OB2 时 B(2,2) 解得 a a ;同理,当 a0 时, a 第 24 页(共 34 页) a 或 a 【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点,二次函数图象与系数的关系,函数图象与性质等知识点,综合性较强,解题时,需要对 a 的取值进行分类讨论19定义:在平面直角坐标系中,图形 G 上点 P(x,y)的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差yx 称为 P 点的“坐标差” ,记作 Zp,而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值” (1) 点 A( 3,

45、1)的“坐标差”为 2 ;求抛物线 yx 2+5x 的“特征值” ;(2)某二次函数 yx 2+bx+c(c0)的“特征值”为 1,点 B(m ,0)与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点,且点 B 与点 C 的“坐标差”相等直接写出 m c ;(用含 c 的式子表示)求此二次函数的表达式【分析】 (1)由“坐标差”的定义可求出点 A(3,1)的“坐标差” ;用 yx 可找出 yx 关于 x 的函数关系式,再利用配方法即可求出 yx 的最大值,进而可得出抛物线 yx 2+5x 的“特征值” ;(2) 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标,由“坐标差”的定义结合点 B 与点 C 的“

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