1、第六章 四边形,第26讲 矩形、菱形、正方形,1.（2017长沙市）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（ ） A. 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm 2.下列命题是假命题的是（ ） A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形,D,C,3.（2017衢州市）如图，在矩形纸片ABCD中，AB4，BC6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 4.（2018白银市）如图，点
2、E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE2，则AE的长为（ ） A. 5 B. C. 7 D.,B,D,5.（2016茂名市）已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO1，那么BD_. 6.（2017天津市）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，点P为AE的中点，连接PG，则PG的长为_. 7.（2018北京市）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB4，AD3，则CF的长为_.,2,8. （2017北京市）如图，在四边形ABCD中，BD
3、为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，点E为AD的中点，连接BE. （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的长.,（1）证明：AD2BC，点E为AD的中点， DEBCAE. ADBC，四边形BCDE是平行四边形. ABD90，AEDE，BEDE. 四边形BCDE是菱形. （2）解：连接AC. ADBC，AC平分BAD，BAC=DAC=BCA.ABBC1. AD2BC2，在RtABD中，sinADB . ADB30.BAD60. DAC30，ADC60. ACD90. 在RtACD中，AD2，CD1. AC .,考点一 矩形 1.矩形的概念
4、：有一个角是直角的_叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质； （2）矩形的四个角都是_； （3）矩形的对角线_； （4）矩形是轴对称图形. 3.矩形的判定： （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）定理1：有_是直角的四边形是矩形； （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 4.矩形的面积：S矩形长宽ab.,平行四边形,直角,相等,三个角,考点二 菱形 1.菱形的概念：有一组邻边_的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的_边相等； （3）菱形的对角线互相_，并且每一条对角线_一组对角； （4）菱形是轴对称图
5、形. 3.菱形的判定： （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）定理1：_都相等的四边形是菱形； （3）定理2：对角线_的平行四边形是菱形. 4.菱形的面积：S菱形底高两条对角线乘积的一半.,相等,四条,垂直,平分,四边,互相垂直,考点三 正方形 1.正方形的概念：有一组邻边相等并且_的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线_，并且互相垂直_，每一条对角线平分_； （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴； （5）正方形一条对角线将正方形分成两个全等的_三角形，
6、两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形； （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等.,有一个角是直角,相等,平分,一组对角,等腰直角,3.正方形的判定： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等； 先证明它是菱形，再证明有一个角是直角. （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： 先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是正方形. 4.正方形的面积：设正方形的边长为a，对角线长为b，S正方形a2 .,考点四 几种特殊平行四边形的联系,【例题 1】准备一张矩形纸片，按如图操作：将ABE沿
7、BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M，将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N. （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积.,考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质.,分析：（1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EBDF，DEBF，从而得证；（2）求出ABE30，解直角三角形求得AE，BE，再根据菱形的面积公式计算即可求出答案.,（1）证明：由翻折的性质得EBD ABD， FDB CDB. 四边形ABCD是矩形， ADBC，ABCD. ABDCDB.EBDFDB.EBDF. 又EDBF，四边形BFD
8、E是平行四边形. （2）解：四边形BFDE是菱形， BEBF，EBDFBDABE. 四边形ABCD是矩形，ABC90. ABE30. A90，AB2，AEABtan 30 . BFBE2AE . S菱形BFDE 2 .,【例题 2】如图，四边形ABCD是正方形，BEBF，BEBF，EF与BC交于点G. （1）求证：AECF； （2）若ABE55，求EGC的大小.,考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；正方形的性质.,分析：（1）利用AEBCFB来证明AECF；（2）利用角的关系求出BEF和EBG，由EGCEBGBEF求得结果.,（1）证明：四边形ABCD是正方形， ABC90，ABBC. BEBF，FBE90. ABEEBC90，CBFEBC=90. ABECBF. 在AEB和CFB中， AEBCFB（SAS）.AECF. （2）解：由（1）得FBE90，ABC90. 又BEBF，BEFEFB45. 又ABE55，EBG905535. EGCBEFEBG453580.,变式：如图，在正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE.将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC 3.其中正确结论的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4,C,
