1、课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019如皋中学月考)函数 f(x)| x22 x2|的增区间是_解析：因为函数 f(x)| x22 x2|( x1) 21|( x1) 21，所以函数 f(x)| x22 x2|的增区间是1，)答案：1，)2函数 y x(x0)的最大值为_x解析：令 t ，则 t0，所以 y t t2 2 ，x (t12) 14结合图象知，当 t ，即 x 时， ymax .12 14 14答案：143(2018徐州质检)函数 f(x) xlog 2(x2)在区间1,1上的最大值为(13)_解析：因为 y x和 ylog 2(x2)都
2、是1,1上的减函数，所以 y (13) (13)xlog2(x2)是在区间1,1上的减函数，所以最大值为 f(1)3.答案：34已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递减，则满足 f(2x1) f(5)的 x 的取值范围是_解析：因为偶函数 f(x)在区间0，)上单调递减，且 f(2x1) f(5)，所以|2x1|5，即 x2 或 x3.答案：(，2)(3，)5若函数 f(x) x22 ax 与 g(x)( a1) 1 x在区间1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是_解析：因为 f(x) x22 ax( x a)2 a2在1,2上是减函数，所以 a1.又 g(x)( a1) 1 x在1,2上
3、是减函数所以 a11，所以 a0.综上可知 0 a1.答案：(0,16(2019海门中学高三检测)已知函数 f(x)Error!满足对任意 x1 x2，都有 f(x1) f(x2)成立，那么实数 a 的取值范围是_解析：函数 f(x)满足对任意 x1 x2，都有 f(x1) f(x2)成立，函数 f(x)在定义域上是增函数，则满足Error! 即Error! 解得 a2.32答案： 32， 2) 二保高考，全练题型做到高考达标1设函数 f(x) 在区间(2，)上是增函数，则 a 的取值范围是ax 1x 2a_解析： f(x) a ，ax 2a2 2a2 1x 2a 2a2 1x 2a因为函数
4、f(x)在区间(2，)上是增函数所以Error! 解得 a1.答案：1，)2(2019江阴高三检测)设 a0 且 a1，函数 f(x)log a|ax2 x|在3,5上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为_解析： a0 且 a1，函数 f(x)log a|ax2 x|log a|x(ax1)|在3,5上是单调增函数，当 a1 时， y x(ax1)在3,5上是单调增函数，且 y0，满足 f(x)是增函数；当 0 a1 时，要使 f(x)在3,5上是单调增函数，只需Error!解得 a .16 15综上可得， a1 或 a .16 15答案： (1，)16， 15)3对于任意实数 a， b，定
5、义 mina， bError!设函数 f(x) x3， g(x)log 2x，则函数 h(x)min f(x)， g(x)的最大值是_解析：依题意， h(x)Error!当 0 x2 时， h(x)log 2x 是增函数，当 x2 时， h(x) x3 是减函数，所以 h(x)在 x2 时，取得最大值 h(2)1.答案：14(2018徐州一模)已知函数 y f(x)和 y g(x)的图象关于 y 轴对称，当函数y f(x)和 y g(x)在区间 a， b上同时递增或者同时递减时，把区间 a， b叫做函数y f(x)的“不动区间” ，若区间1,2为函数 f(x)|2 x t|的“不动区间” ，则
6、实数 t 的取值范围是_解析：因为函数 y f(x)与 y g(x)的图象关于 y 轴对称，所以 g(x) f( x)|2 x t|.因为区间1,2为函数 f(x)|2 x t|的“不动区间” ，所以函数 f(x)|2 x t|和函数 g(x)|2 x t|在1,2上单调性相同，因为 y2 x t 和函数 y2 x t 的单调性相反，所以(2 x t)(2 x t)0 在1,2上恒成立，即 2 x t2 x在1,2上恒成立，解得 t2.12答案： 12， 25(2018金陵中学月考)定义在2,2上的函数 f(x)满足( x1 x2)f(x1) f(x2)0， x1 x2，且 f(a2 a) f
7、(2a2)，则实数 a 的取值范围为_解析：函数 f(x)满足( x1 x2)f(x1) f(x2)0， x1 x2，所以函数在2,2上单调递增，所以Error!所以Error! 所以 0 a1.答案：0,1)6设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)时， f(x)是增函数，则 f(2)，f()， f(3)的大小关系为_(用“”表示)解析：因为 f(x)是偶函数，所以 f(3) f(3)， f(2) f(2)又因为函数 f(x)在0，)上是增函数，所以 f() f(3) f(2)，所以 f(2) f(3) f()答案： f(2) f(3) f()7(2018苏州高三暑假测试)已知函数 f
8、(x) x (a0)，当 x1,3时，函数axf(x)的值域为 A，若 A8,16，则 a 的值等于_解析：因为 A8,16，所以 8 f(x)16 对任意的 x1,3恒成立，所以Error!对任意的 x1,3恒成立，当 x1,3时，函数 y16 x x2在1,3上单调递增，所以16x x215,39，函数 y8 x x2在1,3上也单调递增，所以 8x x27,15，所以Error!即 a 的值等于 15.答案：158若函数 f(x) ax(a0， a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14 m) 在0，)上是增函数，则 a_.x解析：函数 g(x)在0，)上为增函
9、数，则 14 m0，即 m .若 a1，则函数14f(x)在1,2上的最小值为 m，最大值为 a24，解得 a2， m，与 m 矛盾；当1a 12 140 a1 时，函数 f(x)在1,2上的最小值为 a2 m，最大值为 a1 4，解得 a ， m14.所以 a .116 14答案：149已知函数 f(x) a .1|x|(1)求证：函数 y f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)2 x 在(1，)上恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)证明：当 x(0，)时， f(x) a ，1x设 0 x1 x2，则 x1x20， x2 x10，f(x2) f(x1) 0，(a1x2) (a
10、1x1) 1x1 1x2 x2 x1x1x2所以 f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意 a 2 x 在(1，)上恒成立，1x设 h(x)2 x ，1x则 a h(x)在(1，)上恒成立任取 x1， x2(1，)且 x1 x2，h(x1) h(x2)( x1 x2) .(21x1x2)因为 1 x1 x2，所以 x1 x20， x1x21，所以 2 0，1x1x2所以 h(x1) h(x2)，所以 h(x)在(1，)上单调递增故 a h(1)，即 a3，所以实数 a 的取值范围是(，310(2019江阴期中)设函数 f(x) 是定义在(1,1)上的奇函数，且 f .ax b1 x2 (13)
11、 310(1)求函数 f(x)的解析式；(2)用单调性定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式 f(|t|1) f(t2) f(0)解：(1)因为 f(x) 是定义在(1,1)上的奇函数，ax b1 x2所以 f(0) b0，所以 f(x) ，ax1 x2而 f ，(13)13a1 19 310解得 a1，所以 f(x) ， x(1,1)x1 x2(2)证明：任取 x1， x2(1,1)且 x1 x2，则 f(x1) f(x2) .x11 x21 x21 x2 x1 x2 1 x1x2 1 x21 1 x2因为 x1 x2，所以 x1 x20，又因为 x1， x2(1,1)，所
12、以 1 x1x20，所以 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，所以函数 f(x)在(1,1)上是增函数(3)由题意，不等式 f(|t|1) f(t2) f(0)可化为 f(|t|1) f(t2)0，即 f(t2) f(|t|1)，因为 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，所以 f(t2) f(1| t|)，所以Error!解得 t 且 t0，1 52 5 12所以该不等式的解集为 .(1 52 ， 0) (0， 5 12 ) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足 f(xy) f(x) f(y)， f(3)1，当f(x) f(x8)2
13、 时， x 的取值范围是_解析：因为 f(9) f(3) f(3)2，所以由 f(x) f(x8)2，可得 fx(x8) f(9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有Error!解得 8 x9.答案：(8,92已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满足 f f(x1) f(x2)，且当 x1 时，(x1x2)f(x)0.(1)证明： f(x)为单调递减函数；(2)若 f(3)1，求 f(x)在2,9上的最小值解：(1)证明：任取 x1， x2(0，)，且 x1 x2，则 1，由于当 x1 时， f(x)0，x1x2所以 f 0，即 f(x1) f(x2)0，(x1x2)因此 f(x1) f(x2)，所以函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(2)因为 f(x)在(0，)上是单调递减函数，所以 f(x)在2,9上的最小值为 f(9)由 f f(x1) f(x2)得，(x1x2)f f(9) f(3)，而 f(3)1，(93)所以 f(9)2.所以 f(x)在2,9上的最小值为2.
