1、课时跟踪检测（十一） 函数与方程 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知函数 f(x) a的零点为 1，则实数 a的值为_23x 1解析：由已知得 f(1)0，即 a0，解得 a .231 1 12答案：122已知关于 x的方程 x2 mx60 的一个根比 2大，另一个根比 2小，则实数 m的取值范围是_解析：设函数 f(x) x2 mx6，则根据条件有 f(2)0，即 42 m60，解得 m1.答案：(，1)3已知函数 f(x)Error!若 f(0)2， f(1)1，则函数 g(x) f(x) x的零点个数为_解析：依题意得Error!由此解得 b4， c2.由 g(x)0 得 f(x) x
2、0，该方程等价于Error! 或Error! 解得 x2，解得 x1 或 x2.因此，函数 g(x) f(x) x的零点个数为 3.答案：34(2019连云港调研)已知函数 f(x) x b有一个零点，则实数 b的取值2 x2范围为_解析：由已知，函数 f(x) x b有一个零点，即函数 y x b和 y2 x2的图象有 1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为2 x2y x2，过点(0， )的直线方程为 y x ，所以满足条件的 b的2 2取值范围是 b2 或 b .2 2答案：2( ， 2 25(2018苏州质检)已知函数 f(x) xcos x，则 f(x)在0,2上的零点个数为(12
3、)_解析：作出 g(x) x与 h(x)cos x的图象如图所示，(12)可以看到其在0,2上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在0,2上的零点个数为 3.答案：36(2018泰州中学上学期期中)已知函数 y f(x)的周期为 2，当 x1,1时，f(x) x2，那么函数 y f(x)的图象与函数 y|lg x|的图象的交点共有_个解析：在同一直角坐标系中分别作出 y f(x)和 y|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有 10个交点答案：10 二保高考，全练题型做到高考达标1设 x0为函数 f(x)2 x x2 的零点，且 x0( m， n)，其中 m， n为相邻的整数，则 m n_.解
4、析：函数 f(x)2 x x2 为 R上的单调增函数，又 f(0)10210， f(1)21210，所以 f(0)f(1)0，故函数 f(x)2 x x2 的零点在区间(0,1)内，故 m0， n1， m n1.答案：12(2018镇江中学检测)已知函数 f(x)2 x2 x6 的零点为 x0，不等式 x4 x0的最小的整数解为 k，则 k_.解析：函数 f(x)2 x2 x6 为 R上的单调增函数，又 f(1)20， f(2)20，所以函数 f(x)2 x2 x6 的零点 x0满足 1 x02，故满足 x0 n的最小的整数 n2，即k42，所以满足不等式 x4 x0的最小的整数解 k6.答案
5、：63已知方程 2x3 x k的解在1,2)内，则 k的取值范围为_解析：令函数 f(x)2 x3 x k，则 f(x)在 R上是增函数当方程 2x3 x k的解在(1,2)内时， f(1)f(2)0，即(5 k)(10 k)0，解得 5 k10.当 f(1)0 时， k5.综上， k的取值范围为5,10)答案：5,10)4(2019太原模拟)若函数 f(x)( m2) x2 mx(2 m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则实数 m的取值范围是_解析：依题意并结合函数 f(x)的图象可知，Error!即Error!解得 m .14 12答案： (14， 12)5(2018无
6、锡期末)设函数 f(x)Error!若方程 f(x) mx0 恰好有 3个零点，则实数 m的取值范围为_解析：当 x1 时，方程 f(x) mx0 变为 1 mx0，解得 x ；1m当1 x1 时，方程 f(x) mx0 变为 xlog2(x1) m0，解得 x0 或x2 m1.因为 f(x) mx0 恰好有 3个零点，所以 1，且12 m11，1m解得 0 m1，故实数 m的取值范围为(0,1)答案：(0,1)6(2019镇江调研)已知 k为常数，函数 f(x)Error!若关于 x的方程 f(x) kx2有且只有 4个不同的解，则实数 k的取值范围为_解析：作出函数 y f(x)的大致图象
7、如图所示，若关于 x的方程 f(x) kx2 有且只有 4个不同解，当直线 y kx2 与 yln x的图象相切时，设切点为( m， n)，可得 nln m， yln x的导数为 y (x1)，可得 k ，则 n km2，解得 me 3， ke 3 ，则1x 1m实数 k的取值范围为(0，e 3 )答案：(0，e 3 )7(2018苏州调研)已知函数 f(x)Error!若直线 y ax与 y f(x)交于三个不同的点 A(m， f(m)， B(n， f(n)， C(t， f(t)(其中 m n t)，则 n 2 的取值范围是1m_解析：由已知条件可得Error!所以Error!所以 n 2
8、n ，令 g(n) n ，1m ln nn ln nn当 f(x)ln x， x0 与 y ax相切时，由 f( x) ，得 a，又 ln x ax，解得1x 1xxe，所以要满足题意，则 1 ne.由 g( n)1 0，所以 g(n) n 在1 ln nn2 ln nn(1，e)上单调递增，所以 g(n) n 2 .1m (1， e 1e)答案： (1， e1e)8(2018南京、盐城一模)设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x)2 x ，设m2xg(x)Error! 若函数 y g(x) t有且只有一个零点，则实数 t的取值范围是_解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f( x) f
9、(x)，即2 x m2x(2 x m2 x)，解得 m1，故 g(x)Error!作出函数g(x)的图象(如图所示)当 x1 时， g(x)单调递增，此时 g(x) ；当32x1 时， g(x)单调递减，此时 g(x) ，所以当 t 时，32 32， 32y g(x) t有且只有一个零点答案： 32， 329已知二次函数 f(x) x2(2 a1) x12 a，(1)判断命题：“对于任意的 aR，方程 f(x)1 必有实数根”的真假，并写出判断 过程；(2)若 y f(x)在区间(1,0)及 内各有一个零点，求实数 a的取值范围(0，12)解：(1)“对于任意的 aR，方程 f(x)1 必有实
10、数根”是真命题依题意， f(x)1有实根，即 x2(2 a1) x2 a0 有实根，因为 (2 a1) 28 a(2 a1) 20 对于任意的 aR 恒成立，即 x2(2 a1) x2 a0 必有实根，从而 f(x)1 必有实根(2)依题意，要使 y f(x)在区间(1,0)及 内各有一个零点，(0，12)只需Error! 即Error!解得 a .12 34故实数 a的取值范围为 .(12， 34)10(2018通州中学检测)已知二次函数 f(x) ax2 bx1， g(x) a2x2 bx1.若函数 f(x)有两个不同零点 x1， x2，函数 g(x)有两个不同零点 x3， x4.(1)若
11、 x3 x1 x4，试比较 x2， x3， x4的大小关系；(2)若 x1 x3 x2， m， n， p(， x1)， ，求证：f mg n f ng p f pg mm n p.解：(1)因为函数 g(x)的图象开口向上，且零点为 x3， x4，故 g(x)0 x( x3， x4)因为 x1， x2是 f(x)的两个不同零点，故 f(x1) f(x2)0.因为 x3 x1 x4，故 g(x1)0 f(x1)，于是( a2 a)x 0.21注意到 x10，故 a2 a0.所以 g(x2) f(x2)( a2 a)x 0，2故 g(x2) f(x2)0，从而 x2( x3， x4)，于是 x3
12、x2 x4.(2)证明：记 x1 x3 t，故 f(t) at2 bt10， g(t) a2t2 bt10，于是(a a2)t20.因为 a0，且 t0，故 a1.所以 f(x) g(x)且图象开口向上所以对 x(， x1)， f( x)递增且 f( x)0， g(x)递减且 g(x)0.若 m n，则 f( n) f( m)0， 0，从而 g(p) g(n)0，故 n p.1g n 1g p同上，当 n p时，可推得 p m.所以 p m n p，矛盾所以 m n不成立同理， n m亦不成立所以 m n.同理， n p.所以 m n p. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019镇江期中)
13、函数 f(x)Error!若关于 x的方程 f2(x) bf(x)4 b10 有4个不同的实数根，则实数 b的取值范围是_解析：令 t f(x)，则原方程等价于 t2 bt14 b0.作出函数 f(x)的图象如图所示由图象可知，当 t3，2 t1 时，函数 y t和 y f(x)各有两个交点，要使方程 f2(x) bf(x)4 b10 有 4个不同的实数根，则方程 t2 bt14 b0 有两个根 t1， t2，且 t13，2 t21.令 g(t) t2 bt14 b，则由根的分布可得Error!解得 b .52 107答案： 52， 107)2(2019南京调研)设函数 fk(x)2 x( k
14、1)2 x(xR， kZ)(1)若 fk(x)是偶函数，求不等式 fk(x) 的解集；174(2)设不等式 f0(x) mf1(x)4 的解集为 A，若 A1,2，求实数 m的取值范围；(3)设函数 g(x) f 0(x) f2(2x)2，若 g(x)在 x1，)上有零点，求实数 的取值范围解：(1)因为 fk(x)是偶函数，所以 fk( x) fk(x)恒成立，即 2 x( k1)2 x2 x( k1)2 x，所以 k2.由 2x2 x ，得 422x172 x40，174解得 2x 或 2x4，即 x2 或 x2，14所以不等式 fk(x) 的解集为 x|x2 或 x2174(2)不等式
15、f0(x) mf1(x)4，即为 2x2 x m2x4，所以 m ，即 m 24 1.2 x 2x 42x (12x) 12x令 t ， x1,2，则 t ，12x 14， 12设 h(t) t24 t1， t ，14， 12则 h(t)max h .(12) 54由 A1,2，即不等式 f0(x) mf1(x)4 在1,2上有解，则需 m h(t)max，即 m .54所以实数 m的取值范围为 .( ，54(3)函数 g(x) (2x2 x)(2 2x2 2 x)2 在 x1，)上有零点，即 (2x2 x)(2 2x2 2 x)20 在 x1，)上有解，因为 x1，)，所以 2x2 x0，所以问题等价于 在 x1，)上有解22x 2 2x 22x 2 x令 p2 x，则 p2，令 u p ，1p则 u在 p2，)上单调递增，因此 u ， .32 u2 4u设 r(u) u ，则 r( u)1 ，当 u2 时， r( u)0，即函数 r(u)u2 4u 4u 4u2 32在 上单调递减，当 u2 时， r( u)0，即函数 r(u)在2，)上单调递增，32， 2所以函数 r(u)在 u2 时取得最小值，且最小值 r(2)4，所以 r(u)4，)，从而满足条件的实数 的取值范围是4，)
