1、2019 年天津市河东区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（3 分）计算（6）+2 的结果等于（ ）A8 B4 C4 D82（3 分）tan60的值为（ ）A B C D3（3 分）下面图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D4（3 分）2016 年西峡香菇年出口值达到 4380000000 亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心其中 4380000000 科学记数法表示为（ ）A43810 7 B4.3810 8 C4.3810 9 D4.3810 105（3 分）如图，是由七个相同的小
2、正方体组成的立体图形，其俯视图是（ ）A B C D6（3 分） 介于两个相邻整数之间，这两个整数是（ ）A23 B34 C45 D567（3 分）化简 的结果是（ ）A B C D8（3 分）二元一次方程组 的解为（ ）A B C D9（3 分）如图，E、F 分别是矩形 ABCD 边 AB、CD 上的点，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使 A、D 分别落在 A和 D处，若150，则 2 的度数是（ ）A65 B60 C50 D4010（3 分）已知点 A（x 1，y 1），（x 2，y 2）是反比例函数 y 图象上的点，若x10x 2，则一定成立的是（ ）Ay 1y 20 By 10y 2
3、 C0y 1y 2 Dy 20y 111（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为（ ）A6 B8 C12 D1012（3 分）已知：抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过点（1，0），且满足4a+2b+c0，以下结论：a+ b0；a+c0；a+b+c0；b 22ac5a 2，其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）化简：（a 2）a 5 14（3 分）计算： 15（3 分）箱子里有 7 个白球、3 个红球，它们
4、仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 16（3 分）若直线 y2x+3b+2 经过第一、二、四象限，则 b 的取值范围是 17（3 分）如图，ABC 是等边三角形P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF2，则 PE 的长为 18（3 分）如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 均为格点，点P，Q 分别为线段 AB，BC 上的动点，且满足 APBQ（I）线段 AB 的长度等于 ；（）当线段 AQ+CP 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段 AQ和 CP，并简要说明你是怎么
5、画出点 Q，P 的（不要求证明） 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分）19（8 分）解不等式组请结合意填空，完成本题的解答（1）解不等式，得 ；（）解不等式，得 ；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来（）原不等式组的解集为 20（8 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思维活力，让人得到智慧的启发，让人漱养浩然正气”倡导读书活动，鼓励师生利用课余时间广泛阅读期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图（1）这次一共调查的学生人数是 人（2）所调查学生读书本数的众数是 本，中位数是
6、本（3）若该校有 800 名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？21（10 分）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC 40（1）如图 1，若 D 为弧 AB 的中点，求ABC 和ABD 的度数；（2）如图 2，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD的度数22（10 分）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图无人机从地面点 B 垂直起飞到达点 A 处，测得学校 1 号楼顶部 E 的俯角为 60，测得 2 号楼顶部 F 的俯角为 45，此时航拍无人机的高度为 50 米已知 1号楼的高度为
7、20 米，且 EC 和 FD 分别垂直地面于点 C 和 D，B 为 CD 的中点，求 2 号楼的高度23（10 分）某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印刷费，另收 150 元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收 2.5 元印刷费，不收制版费设在同一家印刷厂一次印制数量为 x 份（x 为正整数）（1）根据题意，填写下表一次印制数量 5 10 20 x甲印刷厂收费（元） 155 乙印刷厂收费（元） 12.5 （）在印刷品数量大于 800 份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？24（10 分）如图（1），在平面直角坐标系中，已知AOB 是等边三角形，点 A
8、 的坐标是（0，4），点 B 在第一象限，点 P（t ，0）是 x 轴上的一个动点，连接 AP，并把AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合连接 OD，PD，得ABD （）当 t 时，求 DP 的长；（）在点 P 运动过程中，依照条件所形成的OPD 面积为 S求 t 0 时，求 S 与 t 之间的函数关系式；当 t 0 时，要使 S ，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标25（10 分）如图，抛物线 yax 2+bx+ 过点 A（1，0），B（5，0），与 y 轴相交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为
9、点到二次函数图象的垂直距离如：点 O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长已知点 E 为抛物线对称轴上的一点，且在 x 轴上方，点 F 为平面内一点，当以 A，B，E，F为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时，请求出点 F 到二次函数图象的垂直距离（3）在（2）中，当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在以 A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否存在点 Q，使得 AQ，BQ，FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由2019 年天津市河东区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符
10、合题目要求的）1（3 分）计算（6）+2 的结果等于（ ）A8 B4 C4 D8【分析】绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加得 0依此即可求解【解答】解：（6）+24故选：B【点评】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0从而确定用那一条法则在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”2（3 分）tan60的值为（ ）A B C D【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【解答】解：tan60 故选：C【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值3（
11、3 分）下面图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】结合中心对称图形的概念进行求解即可【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、是中心对称图形，本选项正确；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、不是中心对称图形，本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合4（3 分）2016 年西峡香菇年出口值达到 4380000000 亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心其中 4380000000 科学记数法表示为（ ）A43810 7 B4.3810 8 C4.3810 9 D4.3810 10【分析】科学记数法
12、的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 4380000000 用科学记数法表示为：4.3810 9故选：C【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（3 分）如图，是由七个相同的小正方体组成的立体图形，其俯视图是（ ）A B C D【分析】根据组合体的形状即可求出答案【解答】解：
13、这个立体图形的俯视图是： ，故选：D【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力解题的关键是根据组合体的形状进行判断6（3 分） 介于两个相邻整数之间，这两个整数是（ ）A23 B34 C45 D56【分析】直接利用估算无理数的方法得出 的取值范围即可【解答】解：3 4，这两个整数是：34故选：B【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键7（3 分）化简 的结果是（ ）A B C D【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果【解答】解：原式 ，故选：A【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键8（3 分）二元
14、一次方程组 的解为（ ）A B C D【分析】利用加减消元法求解可得【解答】解： ，+，得：3x 3，解得：x1，将 x1 代入，得：1+ y5，解得：y4，所以方程组的解为 ，故选：D【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法9（3 分）如图，E、F 分别是矩形 ABCD 边 AB、CD 上的点，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使 A、D 分别落在 A和 D处，若150，则 2 的度数是（ ）A65 B60 C50 D40【分析】由折叠的性质得到AEFAEF，根据平行线的性质即可得到结论【解答】解：由折叠的性质得，AEFAEF，150，AEF
15、AEF 65，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，2AEF65，故选：A【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键10（3 分）已知点 A（x 1，y 1），（x 2，y 2）是反比例函数 y 图象上的点，若x10x 2，则一定成立的是（ ）Ay 1y 20 By 10y 2 C0y 1y 2 Dy 20y 1【分析】反比例函数 y （k0，k 为常数）中，当 k0 时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小判定则可【解答】解：k20，函数为减函数，又x 10x 2，A，B 两点不在同一象限内，y 20y 1；故选：B【点
16、评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握11（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为（ ）A6 B8 C12 D10【分析】要求 DN+MN 的最小值，DN，MN 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN 的值，从而找出其最小值求解【解答】解：如图，连接 BM，点 B 和点 D 关于直线 AC 对称，NBND，则 BM 就是 DN+MN 的最小值，正方形 ABCD 的边长是 8，DM2，CM6，BM 10，DN+MN 的最小值是 10故选：D【点评】此题考查正方形
17、的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点 N 的位置：利用轴对称的方法然后熟练运用勾股定理12（3 分）已知：抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过点（1，0），且满足4a+2b+c0，以下结论：a+ b0；a+c0；a+b+c0；b 22ac5a 2，其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】（1）因为抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过点（1，0），把点（1，0）代入解析式，结合 4a+2b+c0，即可整理出 a+b0；（2） +2 得，6a+3c0，结合 a0，故可求出 a+c0；（3）画草图可知 c0，结合 ab+c0，可
18、整理得a+b+c2c0，从而求得a+b+c0；（4）把（1，0）代入解析式得 ab+c0，可得出 2a+c0，再由 a0，可知 c0则 c2a0，故可得出（c +2a）（c 2a）0，即 b22 ac5a 20，进而可得出结论【解答】解：（1）因为抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过点（1，0），所以原式可化为 ab+c0，又因为 4a+2b+c0，所以 得： 3a+3b0，即 a+b0；（2） +2 得，6a+3c0，即 2a+c0，a+ca，a0，a0，故 a+c0；（3）因为 4a+2b+c0，可以看作 yax 2+bx+c（a0）当 x2 时的值大于 0，草图为：可见 c0，ab+
19、c0，a+bc0，两边同时加 2c 得a+bc +2c2c ，整理得a+b+c2c0，即a+b+c0；（4）过（1，0），代入得 ab+c0，b 22ac5a 2（a+c ） 22ac 5a 2c 24a 2（c+2a ）（c 2a）又4a+2b+c04a+2（a+c）+c0即 2a+c0a0，c0则 c2a0由知（c+2a）（c 2a）0，所以 b22ac5a 20，即 b22ac5a 2综上可知正确的个数有 4 个故选：D【点评】此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算，是一道难题二、填空题（本大题共 6 小题，每小
20、题 3 分，共 18 分）13（3 分）化简：（a 2）a 5 a 7 【分析】根据同底数幂的乘除法进行计算即可【解答】解：原式a 2a5a 7故答案为：a 7【点评】本题考查了整式的运算，掌握平同底数幂的运算法则是解题的关键14（3 分）计算： 1 【分析】利用平方差公式求解即可得：原式（ ） 2（ ） 2，继而求得答案【解答】解： （ ） 2（ ） 2561故答案为：1【点评】此题考查了二次根式的乘除运算此题难度不大，注意掌握平方差公式的应用是解此题的关键15（3 分）箱子里有 7 个白球、3 个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 【分析】用白球的个数除以球的总个数即可【
21、解答】解：箱子里有 7 个白球、3 个红球，从中随机摸出一球是白球的概率是 故答案为 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比16（3 分）若直线 y2x+3b+2 经过第一、二、四象限，则 b 的取值范围是 b 【分析】由一次函数图象经过的象限结合一次函数图象与系数的关系，即可得出关于 b的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：直线 y2x+3b+2 经过第一、二、四象限，3b+20，b 故答案为：b 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k0，b0ykx+b 的图象在一、二、四象限”是解题的关键17（3 分）如图，ABC 是等边三角形P
22、 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF2，则 PE 的长为 【分析】在直角BFQ 中，利用三角函数即可求得 BQ 的长，则 BP 的长即可求得，然后在直角BPE 中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半即可求得 PE 的长【解答】解：ABC 是等边三角形P 是ABC 的平分线 BD 上一点，FBQEBP30，在直角BFQ 中，BQ BFcosFBQ2 ，又QF 是 BP 的垂直平分线，BP2BQ 2 直角BPE 中，EBP 30，PE BP 故答案是： 【点评】本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形的性质和三
23、角函数，正确求得BQ 的长是关键18（3 分）如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 均为格点，点P，Q 分别为线段 AB，BC 上的动点，且满足 APBQ（I）线段 AB 的长度等于 5 ；（）当线段 AQ+CP 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段 AQ和 CP，并简要说明你是怎么画出点 Q，P 的（不要求证明） 如图 2 中，取格点J，S，连接 JS 得到交点 T，作射线 BT，取格点 W，R，连接 WR 交射线 BT 于 H，此时BH3，连接 AH 交 BC 于点 Q，取格点 K，使得 AK5，连接 CK 交 AB 于 P，点P，Q 即为所求 【
24、分析】（I）利用勾股定理计算即可（）如图 1 中，作 BHAB，使得 BHAC 3，易证CAPHBQ ，推出HQPC，推出 PC+AQAQ+HQ，由 AQ+QHAH，可知当 A，Q，H 共线时，AQ+QH 的值最小由此即可解决问题【解答】解：（I）线段 AB 的长度 5故答案为 5（）如图 1 中，作 BHAB，使得 BHAC 3，易证CAPHBQ ，推出HQPC，PC+AQAQ+HQ，AQ+ QHAH，当 A，Q，H 共线时，AQ+ QH 的值最小如图 2 中，取格点 J，S，连接 JS 得到交点 T，作射线 BT，取格点 W，R，连接 WR 交射线 BT 于 H，此时 BH3，连接 AH
25、交 BC 于点 Q，取格点 K，使得 AK5，连接 CK交 AB 于 P，点 P，Q 即为所求故答案为如图 2 中，取格点 J，S，连接 JS 得到交点 T，作射线 BT，取格点 W，R，连接 WR 交射线 BT 于 H，此时 BH3，连接 AH 交 BC 于点 Q，取格点 K，使得 AK5，连接 CK 交 AB 于 P，点 P，Q 即为所求【点评】本题考查复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（共 7 小题，满分 66 分）19（8 分）解不等式组
26、请结合意填空，完成本题的解答（1）解不等式，得 x4 ；（）解不等式，得 x2 ；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来（）原不等式组的解集为 2x4 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：（I）解不等式 ，得 x4；（）解不等式，得 x2；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来：（）原不等式组的解集为2x4，故答案为：x4，x 2，2x 4【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键20（8 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思维活力，让人得到智慧的启发，让
27、人漱养浩然正气”倡导读书活动，鼓励师生利用课余时间广泛阅读期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图（1）这次一共调查的学生人数是 20 人（2）所调查学生读书本数的众数是 4 本，中位数是 4 本（3）若该校有 800 名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？【分析】（1）将条形图中的数据相加即可；（2）根据众数和中位数的概念解答即可；（3）先求出平均数，再解答即可【解答】解：（1）1+1+3+4+6+2+2+1 20，故答案为：20；（2）众数是 4中位数是 4，；故答案为：4；4；（3）每个人读书本数的平
28、均数是：（1+21+3 3+46+54+62+72+8）4.5总数是：8004.53600答：估计该校学生这学期读书总数约 3600 本【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件21（10 分）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC 40（1）如图 1，若 D 为弧 AB 的中点，求ABC 和ABD 的度数；（2）如图 2，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD的度数【分析】（1）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ABC 和ABD 的大小；（2）根据题意和平行线
29、的性质、切线的性质可以求得OCD 的大小【解答】解：（1）如图 1，连接 OD，AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC40，ACB90ABCACBBAC 904050D 为弧 AB 的中点， AOB180，AOD 90 ，ABD45；（2）如图 2，连接 OD，DP 切 O 于点 D，ODDP ，即 ODP 90由 DPAC，又BAC40，PBAC40AOD 是 ODP 的一个外角，AOD P+ ODP130ACD65OCOA，BAC40，OCABAC40OCDACDOCA654025【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数
30、形结合的思想解答22（10 分）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图无人机从地面点 B 垂直起飞到达点 A 处，测得学校 1 号楼顶部 E 的俯角为 60，测得 2 号楼顶部 F 的俯角为 45，此时航拍无人机的高度为 50 米已知 1号楼的高度为 20 米，且 EC 和 FD 分别垂直地面于点 C 和 D，B 为 CD 的中点，求 2 号楼的高度【分析】过点 E 作 EGAB 于 G，过点 F 作 FHAB 于 H，可得四边形 ECBG，HBDF是矩形，在 RtAEG 中，根据三角函数求得 EG，在 RtAHP 中，根据三角函数求得AH，再根据线段的
31、和差关系即可求解【解答】解：过点 E 作 EG AB 于 G，过点 F 作 FHAB 于 H，则四边形 ECBG，HBDF 是矩形，ECGB20，HBFD ，B 为 CD 的中点，EGCBBDHF ，由已知得：EAG906030，AFH45在 Rt AEG 中，AGAB GB502030 米，EGAG tan3030 10 米，在 Rt AHP 中，AHHF tan4510 米，FDHB ABAH5010 （米）答：2 号楼的高度为（5010 ）米【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题的知识此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键23（10 分）某
32、单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印刷费，另收 150 元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收 2.5 元印刷费，不收制版费设在同一家印刷厂一次印制数量为 x 份（x 为正整数）（1）根据题意，填写下表一次印制数量 5 10 20 x甲印刷厂收费（元） 155 160 170 150+x 乙印刷厂收费（元） 12.5 25 50 2.5x （）在印刷品数量大于 800 份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？【分析】（1）甲的印刷费 150+x，乙的印刷费 2.5x，分别代入即可；（2）对甲来说，印刷大于 800 份时花费大于 950 元；对乙来说，印刷
33、大于 800 份时花费大于 2000 元；【解答】解：（1）甲每份材料收 1 元印刷费，另收 150 元的制版费；故答案为 160，170，150+x；乙每份材料收 2.5 元印刷费，故答案为 25，50，2.5x；（2）对甲来说，印刷大于 800 份时花费大于 150+800，即花费大于 950 元；对乙来说，印刷大于 800 份时花费大于 2.5800，即花费大于 2000 元；故去甲更省钱；【点评】本题考查代数式求值；能够根据题意列出代数式，并根据实际情况进行最优求解是关键24（10 分）如图（1），在平面直角坐标系中，已知AOB 是等边三角形，点 A 的坐标是（0，4），点 B 在第一
34、象限，点 P（t ，0）是 x 轴上的一个动点，连接 AP，并把AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合连接 OD，PD，得ABD （）当 t 时，求 DP 的长；（）在点 P 运动过程中，依照条件所形成的OPD 面积为 S求 t 0 时，求 S 与 t 之间的函数关系式；当 t 0 时，要使 S ，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标【分析】（）先判断出ADP 是等边三角形，进而得出 DPAP ，即可得出结论；（） 先求出 GHOP 2，进而求出 DG，再得出 DH，即可得出结论；分两种情况，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论【解答】解：（）A（0，4），OA
35、4，P（t，0），OPt，ABD 是由AOP 旋转得到，ABDAOP，APAD ，DABPAO，DAPBAO60，ADP 是等边三角形，DPAP，t ，OP ，DPAP ；（） 当 t0 时，如图 1，BDOP t ，过点 B，D 分别作 x 轴的垂线，垂足于 F，H ，过点 B 作 x 轴的平行线，分别交 y 轴于点 P，交 DH 于点 G，OAB 为等边三角形，BEy 轴，ABP 30，APOP 2，ABD90，DBG 60 ，DGBD sin60 t，GHOP 2 ，DH2+ t，S t（2+ t） t2+t（t0）；当 t 0 时，分两种情况：点 D 在 x 轴上时，如图 2 在 Rt
36、ABD 中，BDOP ，i、当 t0 时，如图 3，BDOPt，BG t，DHGF BFBG2（ t）2+ t， t（2+ t） ，t 或 t ，P（ ，0）或（ ，0），ii、当 t 时，如图 4，BDOPt， DG t，DH t2， （t）（ 2 t） ，t 或 t （舍），P（ ，0）【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解本题的关键25（10 分）如图，抛物线 yax 2+bx+ 过点 A（1，0），B（5，0），与 y 轴相交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的
37、点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离如：点 O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长已知点 E 为抛物线对称轴上的一点，且在 x 轴上方，点 F 为平面内一点，当以 A，B，E，F为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时，请求出点 F 到二次函数图象的垂直距离（3）在（2）中，当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在以 A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否存在点 Q，使得 AQ，BQ，FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）将 A，B 两点代入可求解析式（2）分类讨论，以 AB 为边的菱形和以 AB 为对角线的菱形，抓住菱形边长为 4 和 E 的横坐标
38、为 3，可解 F 点坐标，即可求点 F 到二次函数图象的垂直距离（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为 AN，根据勾股定理求AN【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+ 过点 A（1，0），B（5，0），0a+b+025a+5b+a ，b3解析式 y x23x +（2）当 y0，则 0 x2 3x+x 15，x 21A（1，0），B（5，0）对称轴直线 x3，顶点坐标（3，2），AB4抛物线与 y 轴相交于点 CC（0， ）如图 1如 AB 为菱形的边，则 EFAB，EFAB 4，且 E 的横坐标为 3F 的横坐标为 7 或1AEAB4，AM 2，EMABEM2F（7，2
39、），或（1，2 ）当 x7，y 4973+ 6点 F 到二次函数图象的垂直距离 62如 AB 为对角线，如图 2AEBF 是菱形，AFBF 4ABEF，EM MF2F（3，2 ）点 F 到二次函数图象的垂直距离2+2（3）当 F（3，2 ）时，点 F 到二次函数图象的垂直距离最小如图 3，以 BQ 为边作等边三角形 BQD，将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置，连接 AN，作 PNAB 于 P等边三角形 BQDQDQB BD ，将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置NBBF4， FBN 60 ，DNFQAQ+ BQ+FQAQ+QD+ DN当 AQ，QD ， DN 共线时 AQ+BQ+FQ 的和最短，即最短值为 AN 的长AFBF4AB，ABF 60NBP60且 BN4，BP2，PN 2AP6在 Rt ANP 中，AN 4AQ+ BQ+FQ 的和最短值为 4 【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，菱形的性质，勾股定理等有关知识，关键是构造三角形转化 BQ，和 BQ 的长
