1、2019 年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1 （3 分）已知 i 是虚数单位， xR，复数 z（x+i） （2+i）为纯虚数，则 2xi 的模等于（ ）A1 B C D22 （3 分）已知 x，y 满足不等式组 ，则 zx+3y 的最小值等于（ ）A3 B6 C9 D123 （3 分）若某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ）A3 B4 C5 D64 （3 分）设 xR，则“1x2”是“| x2|1”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （3 分）已知偶函数 f（x ）在0 ，
2、2上递减，试比 af（1） ，bf（ ） ，cf（log 2 ）大小（ ）Aabc Bacb Cbac Dc ab6 （3 分）为了得到函数 y3cos2x 图象，只需把函数 图象上所有点（ 第 2 页（共 23 页）A向右平行移动 个单位长度B向右平行移动 个单位长度C向左平行移动 个单位长度D向左平行移动 个单位长度7 （3 分）已知 F1、F 2 分别是双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A （
3、1， ） B （ ，+） C （ ，2） D （2，+）8 （3 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）2f（x） ，当 x0，2）时，f（x），若当 x4，2）时，不等式 f（x） 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ）A2，3 B1，3 C1 ，4 D2 ，4二、填空题9 （3 分）集合 A0，1，2 ，3 ，Bx|x 22x0 ，则 AB 10 （3 分）若（ ） n 的二项展开式中各项的二项式系数之和是 64，则展开式中的常数项为 （用数字作答）11 （3 分）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆
4、柱底面内，且底面是正三角形如果三棱柱的体积为 ，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 12 （3 分）某工程队有 5 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，第 3 页（共 23 页）工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是 （用数字作答）13 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知AB 8，AD5， 3 ， 2，则 的值是 14 （3 分）若实数 x，y 满足 2cos2（x+y1） ，则 xy 的最小值为 &nbs
5、p; 三、解答题15在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c， f（x ）2sin （xA）cosx+sin（B +C） （xR） ，函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称（）当 x（ 0， ）时，求 f（x）的值域；（）若 a7 且 sinB+sinC ，求ABC 的面积16某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50， 100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定：A、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A
6、 B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60） ，60，70） ，70，80） ，80 ，90） ，90 ，100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示（I）求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值；（）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率；（）在选取的样本中，从 A、C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数
7、，求随机变量 的分布列及数学期望第 4 页（共 23 页）17如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB AD，ABCD，AB 2AD2CD2，PC 4，E 为线段 PB 上一点（1）求证：平面 EAC平面 PBC；（2）若二面角 PACE 的余弦值为 ，求 的值18在等差数列a n中，已知公差 d2，a 2 是 a1 与 a4 的等比中项（）求数列a n的通项公式；（）若数列b n满足： ，求数列b n的通项公式；（）令 （nN*） ，求数列c n的前 n 项和 Tn19已知椭圆 C： + 1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角
8、形的面积为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设 F1，F 2 是椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 F1 和 F2，求这个平行四边形的面积最大值第 5 页（共 23 页）20已知 f（x） mxalnx m，g（x） ，其中 m，a 均为实数，（1）求 g（x）的极值；（2）设 m1，a0，求证对|恒成立；（3）设 a2，若对给定的 x0（0，e，在区间（0，e上总存在 t1，t 2（t 1t 2）使得f（t 1）f（t 2）g（x 0）成立，求 m 的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择
9、题1 （3 分）已知 i 是虚数单位， xR，复数 z（x+i） （2+i）为纯虚数，则 2xi 的模等于（ ）A1 B C D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 x，代入2xi，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z（x+i） （2+i ）（2x1）+（x+2）i 为纯虚数， ，即 x 2xi1i，则 2xi 的模等于 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题2 （3 分）已知 x，y 满足不等式组 ，则 zx+3y 的最小值等于（ ）A3 B6 C9 D12【分析】画出满
10、足条件的平面区域，将直线变形为 y x+ ，通过图象读出即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由 zx +3y 得：y x+ ，第 7 页（共 23 页）显然直线过（3，0）时，z 最小，z 的最小值是 3，故选：A【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题3 （3 分）若某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】算法的功能是求满足 P1+3+（2n1）20 的最小 n 值，利用等差数列的前 n 项和公式求得 P，根据 P20，确定最小的 n 值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足 P1+3+（2n1）
11、20 的最小n 值，P1+3+（2n1） nn 220，n 5，故输出的 n5故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键4 （3 分）设 xR，则“1x2”是“| x2|1”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求解：|x 2|1，得出“1x2” ，根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：|x 2|1，第 8 页（共 23 页）1x3，“1x2”根据充分必要条件的定义可得出：“1x2”是“| x2|1”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易
12、题5 （3 分）已知偶函数 f（x ）在0 ，2上递减，试比 af（1） ，bf（ ） ，cf（log 2 ）大小（ ）Aabc Bacb Cbac Dc ab【分析】由对数的定义，可得 bf（2） ，c f（ ） f（ ） 再结合函数函数f（x）在0 ，2上递减，即可得到 a、b、c 的大小关系【解答】解： ，f（x）在0 ， 2上递减，f（ ）f（1）f（2）又f（x）是偶函数， f（ ）f （ ） f（1） ，即 cab故选：D【点评】本题给出偶函数在0，2 上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题6 （3
13、 分）为了得到函数 y3cos2x 图象，只需把函数 图象上所有点（ ）第 9 页（共 23 页）A向右平行移动 个单位长度B向右平行移动 个单位长度C向左平行移动 个单位长度D向左平行移动 个单位长度【分析】由题意利用诱导公式，函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，可得函数 y3cos2x3sin（2x + ）图象，故选：D【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数 yAsin （x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题7 （3 分）已知 F1、F 2 分别是双曲线 1（a0，b
14、0）的左、右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A （1， ） B （ ，+） C （ ，2） D （2，+）【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点 F2 的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点 M 的坐标，再利用点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出【解答】解：双曲线 1 的渐近线方程为 y x，不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y （xc） ，与 y x 联立，可得交点 M（ ， ） ，点 M 在以线段 F1F2
15、 为直径的圆外，|OM| | OF2|，即有 c 2，b 23a 2，c 2a 23a 2，即 c2a第 10 页（共 23 页）则 e 2双曲线离心率的取值范围是（2，+） 故选：D【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键8 （3 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）2f（x） ，当 x0，2）时，f（x），若当 x4，2）时，不等式 f（x） 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ）A2，3 B1，3 C1 ，4 D2 ，4【分析】根据条件，只要求出函数 f（x ）在 x4，2）上的最小值即
16、可得到结论【解答】解：当 x0，1）时，f （x）x 2x ，0 ，当 x1，2）时， f（x）（0.5） |x1.5| 1， ，当 x0，2）时， f（x）的最小值为1，又函数 f（x）满足 f（x +2） 2f（x） ，当 x 2，0）时， f（x）的最小值为 ，当 x 4， 2）时，f（x）的最小值为 ，若 x 4， 2时，f（x ） t+ 恒成立， t+ 恒成立即 t24t+30，即（t3） （t1）0，即 1t3，即 t1，3 ，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大二、填空题第 11 页（共 23 页）9 （3 分）集合 A0，
17、1，2 ，3 ，Bx|x 22x0 ，则 AB 0 ，1，2 【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A0， 1，2，3 ，B x|x22x 0x|0x 2 ，AB0，1，2故答案为：0，1，2【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10 （3 分）若（ ） n 的二项展开式中各项的二项式系数之和是 64，则展开式中的常数项为 15 （用数字作答）【分析】由已知求得 n，写出二项展开式的通项，由 x 得指数为 0 求得 r 值，则答案可求【解答】解：由题意，得 2n64，即 n6 ，其通项公式为令 ，得 r2展开式
18、中的常数项为 故答案为：15【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题11 （3 分）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形如果三棱柱的体积为 ，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 16 【分析】根据已知条件求出底面半径，同时得到圆柱的母线长，进而得到圆柱的侧面第 12 页（共 23 页）积【解答】解：设圆柱的底面半径为 r，则其高为 2r三棱柱的底面是正三角形，内接于圆，如图：连接 OA，OB ，过 O 作 OD 垂直于 AB，垂足为 D，因为三角形 ABC 为等边三角形，所以OAB30，在直角三角形中，ADOA cos3
19、0 ，AB r，三棱柱的体积为 12 解得 r2，所以圆柱的侧面积为：2r 2r2 2416故填：16【点评】本题考察圆柱侧面积的简单计算，属于基础题12 （3 分）某工程队有 5 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是 12 （用数字作答）【分析】安排甲工程放在第一位置时，乙丙与剩下的两个工程共有 种方法，同理甲在第二位置共有 22 种方法，甲在第三位置时，共有 2 种方法利用加法原理即可得出【解答】解：安排甲工程放在第一位置时，乙丙与剩下的两个工程共有 种方法，同理甲在第二位置共有 22 种方法，甲
20、在第三位置时，共有 2 种方法由加法原理可得： +4+212 种故答案为：12【点评】本题考查了排列与乘法原理，优先安排除了甲乙丙 3 个工程后剩下的 2 个工程的方案是解题的关键，属于中档题13 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知AB 8，AD5， 3 ， 2，则 的值是 22 第 13 页（共 23 页）【分析】由 3 ，可得 + ， ，进而由 AB8，AD5，3 ， 2，构造方程，进而可得答案【解答】解： 3 ， + ， ，又AB8，AD5， （ + ）（ ）| |2 | |225 122，故 22，故答案为：22【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平
21、面向量数量积的运算，其中根据已知得到 + ， ，是解答的关键14 （3 分）若实数 x，y 满足 2cos2（x+y1） ，则 xy 的最小值为 【分析】配方可得 2cos2（x+y1） （x y+1）+ ，由基本不等式可得（x+y +1）+ 2，或（xy+1）+ 2，进而可得cos（x+y1）1，xy ，由此可得 xy 的表达式，取 k0 可得最值【解答】解： ，2cos 2（x+ y1）2cos 2（x+ y1） ，第 14 页（共 23 页）故 2cos2（x+ y1） （xy+1）+ ，由基本不等式可得（xy +1）+ 2，或（xy +1）+ 2，2cos 2
22、（x+ y1）2，由三角函数的有界性可得 2cos2（x+y1）2，故 cos2（x+ y1）1，即 cos（x+y1）1，此时 xy+11，即 xyx+y1k，kZ，故 x+y2x k+1，解得 x ，故 xyxx ，当 k0 时，xy 的最小值 ，故答案为：【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y1）1 是解决问题的关键，属中档题三、解答题15在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c， f（x ）2sin （xA）cosx+sin（B +C） （xR） ，函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称（）当 x（ 0， ）时，求 f（x
23、）的值域；（）若 a7 且 sinB+sinC ，求ABC 的面积【分析】 （）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简 f（x） ，再由对称性，计算可得 A，再由 x 的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；（）运用正弦定理和余弦定理，可得 bc40，再由面积公式即可计算得到【解答】解：（）f（x ）2sin（xA）cosx+sin （B+ C）2（sinxcos A cosxsinA）cosx +sinA2sinx cosxcosA2cos 2xsinA+sinAsin2x cosAcos2xsinAsin（2xA） ，由于函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称，则
24、f（ ）0，即有 sin（ A）0，由 0A ，则 A ，则 f（x）sin（2x ） ，由于 x（0， ） ，则 2x （ ， ） ，第 15 页（共 23 页）即有 sin（2x ）1则值域为（ ，1；（）由正弦定理可得 ，则 sinB b，sinC c，sinB+sinC （b+c） ，即 b+c13，由余弦定理可得 a2b 2+c22bccosA，即 49b 2+c2bc （b+ c） 23bc ，即有 bc40，则ABC 的面积为 S bcsinA 40 10 【点评】本题重点考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质
25、，考查运算能力，属于中档题16某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50， 100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定：A、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60） ，60，70） ，70，80） ，80 ，90） ，90 ，100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示（
26、I）求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值；（）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率；（）在选取的样本中，从 A、C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望第 16 页（共 23 页）【分析】 （I）结合图形求出 n 的值，即可求出频率分布直方图中的 x，y 的值；（）找出成绩是合格等级人数，进而求出抽取 50 人成绩合格等级的频率，即可求出该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概
27、率；（）找出 C 等级学生人数， A 等级学生人数，确定出 的取值，进而求出 P（）的值，确定出 的分布，以及 E 的值【解答】解：（I）由题意得：样本容量n 50，x 0.004，y 0.018；（）成绩是合格等级人数为（10.1）5045 人，抽取的 50 人中成绩是合格等级的频率为 ，设该校高一学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩是合格等级的事件为 A，则 P（A）1 （1 ） 2 ；（）由题意得：C 等级的学生人数为 0.18509 人，A 等级的人数为 3 人，故 的取值为 0，1，2，3，P（0） ，P（1） ，P（2） ，P（3） ， 的分布为 第 17 页（共 23 页） &
28、nbsp;0 1 2 3 P 则 E0 +1 +2 +3 【点评】此题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，以及频率分布直方图，弄清图形的数据是解本题的关键17如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB AD，ABCD，AB 2AD2CD2，PC 4，E 为线段 PB 上一点（1）求证：平面 EAC平面 PBC；（2）若二面角 PACE 的余弦值为 ，求 的值【分析】 （1）推导出 ACPC，ACBC，从而 AC平面 PBC，由此能证明平面 EAC平面 PBC（2）以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为
29、 y 轴，CP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】证明：（1）在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABAD ，ABCD，AB2AD2CD，PC 4，E 为线段 PB 上一点ACPC，ACBC ，AC 2+BC2AB 2，ACBC，PCBCC，AC平面 PBC，AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC解：（2）以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，CP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0， ，0） ，B（ ，0，0） ，P（0，0，4） ，第 18 页（共 23 页）设 E（a，b，c ） ， ， （01）
30、，则（a ，b，c）（ ，0，4） ，E（ ，0，4） ，平面 PAC 的法向量 （1，0，0） ，设平面 ACE 的法向量 （x，y，z） ，（0， ，0） ， （ ，0，4） ，则 ，取 z1，得 （ ，0，1） ，二面角 PACE 的余弦值为 ，|cos | ，由 01，解得 的值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题18在等差数列a n中，已知公差 d2，a 2 是 a1 与 a4 的等比中项（）求数列a n的通项公式；（）若数列b n满足： ，求数列b n的
31、通项公式；（）令 （nN*） ，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （）运用等差数列a n的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项，可得所求通项公式；第 19 页（共 23 页）（）令 n1 可得数列 b1，n2 时，将 n 换为 n1，作差可得所求通项公式；（）求得 n（3 n+1） ，运用数列的分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和【解答】解：（）等差数列a n的公差 d2，a 2 是 a1 与 a4 的等比中项，可得 a22a 1a4，即（a 1+2） 2a 1（a 1+6） ，解得 a12，则 ana 1+（n1）d2+2 （n1）2n；（）数
32、列b n满足： ，可得 a1 ，即 b18；n2 时，a n1 + + ，与 ，相减可得 2 ，即有 bn2（3 n+1） ，上式对 n1 也成立，可得 bn2（3 n+1） ，nN*；（） n（3 n+1） ，则前 n 项和 Tn（13+2 32+n3n）+（1+2+n） ，设 Sn13+23 2+n3n，3 Sn13 2+233+n3n+1，相减可得2S n3+3 2+3nn3 n+1 n3 n+1，化简可得 Sn ，则 Tn + n（n+1 ） 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题19已
33、知椭圆 C： + 1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，第 20 页（共 23 页）且该三角形的面积为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设 F1，F 2 是椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 F1 和 F2，求这个平行四边形的面积最大值【分析】 （1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（2）设过椭圆右焦点 F2 的直线 l：xty+1 与椭圆交于 A，B 两点，由 ，得：（3t 2+4） y2+6ty90，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能
34、求出平行四边形面积的最大值【解答】20 （本小题满分 12 分）解：（1）椭圆 C： + 1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 ，依题意 ，解得 a2，b ，c1，椭圆 C 的方程为： （5 分）（2）设过椭圆右焦点 F2 的直线 l：xty+1 与椭圆交于 A，B 两点，则 ，整理，得：（3t 2+4）y 2+6ty90，由韦达定理，得： ， ，|y 1y 2| ，第 21 页（共 23 页） ，椭圆 C 的内接平行四边形面积为 S4S OAB ，令 m 1，则 Sf（m ） ，注意到 Sf（m）在1，+）上单调递减，S maxf（1）6，当且仅当 m1，即
35、 t0 时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为 6（12 分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性的合理运用20已知 f（x） mxalnx m，g（x） ，其中 m，a 均为实数，（1）求 g（x）的极值；（2）设 m1，a0，求证对|恒成立；（3）设 a2，若对给定的 x0（0，e，在区间（0，e上总存在 t1，t 2（t 1t 2）使得f（t 1）f（t 2）g（x 0）成立，求 m 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解
36、极值（2）通过 m1，a0，化简 f（x）x1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数 ，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立（3）由（1）得 g（x）的最大值，求出函数 f（x）的导数，判断 m0，不满足题意；当 m0 时，要t 1，t 2 使得 f（t 1）f （t 2） ，f （x）的极值点必在区间（0，e ）内，求出m 的范围，当 ，利用 g（x）在（0，e）上的值域包含于 f（x）在上的值域，推出关系式，通过构造函数 w（x）2e xx，通过导数第 22 页（共 23 页）求解函数的最值，然后推出 【解答】解：（1） ， ，（，1）， （1，+），g（x）极大值 g（1）1，
37、无极小值；（4 分）（2）m1，a0，f（x）x1，在3，4上 是增函数 ，在3，4 上是增函数设 3x 1x 24，则原不等式转化为即 （6 分）令 ，即证x 1x 2，h（x 2）h（x 1） ，即 h（x ）在3 ，4h（x）1e x0 在3 ，4 恒成立即 h（x ）在3 ，4，即所证不等式成立（9 分）（3）由（1）得 g（x）在（0，1）（1，e），g（x ） maxg（1）1所以，g（x） （0，1又 不符合题意当 m0 时，要t 1，t 2 使得 f（t 1）f （t 2） ，那么由题意知 f（x ）的极值点必在区间（0，e）内，即得 ，且函数 f（x ）在由题意得 g（x）在（0，e ）上的值域包含于 f（x）在 上的值域， 内， ，下面证 时，f（t）1，取 te m ，先证 令 w（x ）2e xx， 内恒成立，w（x）， ，2e mm 0，第 23 页（共 23 页）再证 f（e m ） 1， ， （14 分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力
