1、2020 年年天津市河东区天津市河东区一模一模数学试题数学试题 一一、选择题选择题 1已知集合 2, 3, 4,4,5A ，1|Bx x ，则AB（ ） A 2, 3,4 B 2,4,5 C 1, 2, 3, 4,0,1,2,3,4,5 D 2,4 2i 是虚数单位，复数 Z 满足条件2| 2ZZi，则复数 Z 在复平面的坐标为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3双曲线 22 2 1(0) 5 xy a a 的一条渐进线与直线5yx垂直，则 a 的值为（ ） A5 B25 C5 D1 4已知平面、，直线l，直线 m 不在平面上，下列说法正确的是（ ） A若/ , /m，则
2、/l m B若/ , m，则lm C若/ ,l m/ ，则/m D若,lm/m，则a 5对于非零向量a、b，“2ab”是“a，b共线”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 已知函数( )f x为定义在 3,3的奇函数， 且(2)(1)(3)0fff， 则下列各是一定正确的是 （ ） A 21 3 1 (1)log(0)log 9 8 ffff B 12 3 1 log 9( 1)log(0) 8 ffff C 12 3 log 9( 1)(1)log 8ffff D 12 3 1 log 9( 1)log(0) 8 ffff 7 三角形 ABC
3、中，,A,BC对应的边分别为 a，b，c， 2 3 A ，3b ， 三角形 ABC 的面积为15 3 4 ， 则边 a 的值为（ ） A19 B 91 2 C7 D49 8已知实数 a，b，0ab，则 2222 4 ab aba b 的最大值为（ ） A 1 6 B 1 4 C 1 7 D6 9已知函数( )sin 4 3 f xx 13 0, 24 x ，函数( )( )g xf xa有三个零 1, x 2, x 3 x，则 123 xxx的取值范围是（ ） A 107 , 32 B 75 , 128 C 5 0, 8 D 75 , 128 二、填空题二、填空题 10在 5 2 y x 的展
4、开式中， 3 xy的系数是_ 11已知抛物线的焦点为 1 0, 2 F ，点(1, )Pt在抛物线上，则点到 F 的距离_ 12已知圆 O 过点(0,0)A、(0,4)B、(1,1)C，点(3,4)D到圆 O 上的点最小距离为_ 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 8 3 ，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧楞中点的求的表面 积为_ 14已知圆 O 内接正三角形 ABC 边长为 2，圆心为 O，则OB OC_ 若线段 BC 上一点 D， 1 , 2 BDDCOC AD_ 15 函数(),fxx 2 ()3gxxx，若 存在 1, x 2, x, 9 0, 2 n x ，使 得 121121
5、 , nnnn f xf xf xg xg xg xg xf x * nN， 则 n 的最大值 为_ 三、解答题三、解答题 16已知递增等差数列 n a，等比数列 n b，数列 n c， 11 1ac， 4 9c ， 1 a、 2 a、 3 a成等比数列， 2nn bac， * nN （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）求数列 n c的前 n 项和 n S 17“海河英才”行动计划政策实施 1 年半以来，截止 2019 年 11 月 30 日，累计引进各类人才落户 235 万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才 112 人，记着李军计划
6、从人才库中随机抽取一部分进行调查 （1）李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人，技能型人才 3 人，资格型人才 1 人，周二和周五随即进行 采访，每天 4 人（4 人任意顺序） ，周五采访学历型人才不超过 2 人的概率； （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才 500 元/人，技能型人才 400 元/人，资 格型人才 600 元/人， 则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等 于 500 元/人？ 18如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，正方形 ABCD 边长为 2，E 是 PA 的中点 （1）求证：/PC平面 BDE； （2）求证：
7、直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 10 ，求 PA 的长度； （3）若2PA，线段 PC 上是否存在一点 F，使AF 平面 BDE，若存在求 PE 的长度，若不存在请 说明理由 19已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为( ,0)F c，左右顶点分别为 A，B，上顶点为 C， 120BFC （1）求椭圆离心率； （2）点 F 到直线 BC 的距离为 21 7 ，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，直线 AP 与直线2x 交于点 D，说明 P 运 动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并证明 20已知函数
8、 2 ( )ln ,f xxxkx0k （1）函数( )f x在点(1,(1)f处的切线的斜率为 2，求 K 的值； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）若函数( )f x有两个不同极值点为 1 x、 2 x，证明： 12 1 2 4 f xf xk 数学参考答案数学参考答案 一一、选择题：本大题共选择题：本大题共 9 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，满分分，满分 45 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B A B B D C A D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分 10 5 4
9、 111 125 136 14 2 3 、 2 3 158 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 75 分分解答应写出文字说明，演算解答应写出文字说明，演算步骤步骤或推理过程或推理过程 16 （1）由己知，1 (1) n and ， 2 215 aa a 解为2d 或 0（舍） ，21 n an， * nN， 111 2,bac 1 2, n n bq 444 16bac， 解2,q 2n n b （2）2(21) n nnn cban， 2 12 2 1 232(21) n nn Scccn 2 2221 3(21)n 12 22 n n ， * nN 17 （
10、1）事件 A“周五采访学历型人才人数不超过 2 人”的概率， 41322 44444 4 8 53 ( ) 70 CC CC C P A C （2）各类人才的补贴数额为随机变量，取值分别为 400、500600、x 分布列为： 400 500 600 x P 25.5% 53.6% 19.1% 1.8% ( )400 0.255500 0.536600 0.191 0.018484.60.018Exx， 484.6 0.018500x，解为 7700 (855.56) 9 x 18 （1）如图以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz (0,2,0)A，(0,2,2)B，(0,0,2)C，(
11、0,0,0)D，( ,2,0)P a，(0)a ， ,2,0 2 a E ，(, 2,2)PCa ， 设平面 BDE 法向量为 1111 ,nx y z (0,2,2)DB ，,2,0 2 a DE ， 11 11 220 20 2 yz a xy ，令 1 1y ， 1 4 ,1, 1n a 1 4220PC n ，PC 平面 BDE，/PC平面 BDE （2）设平面 PCD 法向量为 2222 ,nxy z(0,0,2)DC ，( ,2,0)DPa， 2 22 20 20 z axy ，令 2 2,x 2 (2,0)na，,0, 2 2 a BE ， 夹角， 2 2 2 sincos, |
12、 BE n BE n BE n 2 2 10 10 44 4 a a a 解2a 或 4 （3）2,a (2,2,0),P,PFPC(22 ,22 ,2 ),F 1 ( 2,1, 1)n ， (22 , 2 ,2 ),AF 222 , 21 解 1 , 3 2 3 3 PF 19 （1）由已知 1 cos60 2 c a ， （2）( ,0),B a(0, )Cb，直线 3 :(), 2 BC lyxa 3()21 77 P BC ac d 解为2,a 1c ，椭圆方程为 22 1 43 xy （3）以 BD 为直径的图与直线 PF 相切， 证明直线:(2)(0) AP lyk xk， 22
13、(2) 3412 yk x xy 交点为 A，, pp P xy， 得 2222 431616120,kxk xk 2 2 1612 2, 43 P k x k 2 2 68 43 P k x k ， 2 12 2, 43 PP k yk x k (1,0)F， 点(2,4 )Dk，BD 中点圆心(2,2 )Ek 当 1 2 k 时，点 3 1, 2 P 直线:1 PF lx ，圆心(2, 1)，半径 1，与直线相切， 当 1 2 k 时， 2 4 11 4 P PF P yk k xk ， 2 4 :(1) 1 4 PF k lyx k ， 点 E 到直线 PF 的距离 2 2 2 1 4
14、221 4 |2 | 1 4 1 4 E PF k k k dk k k 为半径，得证 20 （1）( )21(0), k fxxx x (1)12,fk 1k ， （2）令( )210 k fxx x ， 即 2 20xxk，1 8k 当 1 8 k 时，0 ，( )0fx，( )f x在(0,)单调递增； 当 1 0 8 k时，0 ， 12 0 2 k x x ， 12 1 0 2 xx， 1, x 2 0x 1 11 8 , 4 k x 2 11 8 , 4 k x 12 xx， ( )f x在 11 8 0, 4 k ， 11 8 , 4 k 单调递增， 在 11 811 8 , 44
15、 kk 单调递减 （3）由（2）可知， 1 0 8 k， 21 f xf x， 22 1 121212 2 ln x f xf xxxxxk x 1 1212 2 1ln x xxxxk x 1 lnln(1)ln(1) 441 kk ， 令(0,1)t ，则 2 111 2 444 kt ， 只需证明 2 ln(1)ln(1) 44 tt ktt， 2 ( )ln(1)ln(1) 44 tt g tktt（只需证明( )0g t 即可） ， 2 11112 ( ) 2411241 ttk g tk ttt ， 2 11 (1 8 )8tkk ，( )0 2 t g t，( )g t在(0,1)单调递增 ( )(0)0g tg，得证 （注：学生有其它解法时，请参照以上标准按步骤给分）.
