2019年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）含解析

资源描述

1、2019 年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1 （3 分）集合 Mx |x1，N x|x2x 0 ，则（）AMN x|x1 BMN x|x0 CM N DNM2 （3 分）已知 aR， +iR，则 a（）A4 B3 C2 D13 （3 分）设a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，则 “q0”是“对任意的正整数n，a 2n1 +a2n0”的（）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件4 （3 分）一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ &nb

2、sp;）A32 B34 C36 D385 （3 分）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（bmodm），例如835（bmod6）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）第 2 页（共 22 页）A2019 B2023 C2031 D20476 （3 分）已知函数的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数 yf （x）的图象向左平移个单位得到函数 yg（x）的图象，则在下列区间中使 yg（x）是减函数的是（）A B C D7 （3 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点为 F1、F 2，以 O 为圆心，以|OF 1|为半

3、径的圆与双曲线的两条渐近线在 y 轴左侧交于 A、B 两点，且ABF 2 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A2 B C D8 （3 分）函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，对任意两个正数 x1，x 2（x 1x 2）都有，记，则a，b，c 之间的大小关系为（）Aabc Bbca Ccba Dac b二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）第 3 页（共 22 页）9 （3 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx +2y 的取值范围是 10 （3 分）在（2x）（1+2x） 5 的展开式中，x 2 的系数为

4、 11 （3 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），圆 C 的极坐标方程为2cos ，若直线 l 与该圆 C 相交所得弦长为，则 m 的值为 12 （3 分）函数 f（x ）a x 12（a0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mxny 10 上，其中 m 0，n0，则 + 的最小值为 13 （3 分）如图，已知| | | | |，AB2，ABC135， 2，则 14 （3 分）已知函数 f（x ），F（x）f（x）ax 有 4 个零点，则 a 的

5、取值范围是三、解答题（共 6 小题，满分 0 分）15某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题规定正确回答问题者进入下一个阶段竞赛，否则即遭淘汰已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为、、，且各阶段通过与否相互独立（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列与均值16已知函数（）求函数 f（x ）的最小正周期和单调递减区间；（）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若，b+c7，ABC 的面积为，求边 a 的长17如图，已知菱形 ABCD 与直角梯形 ABEF

6、所在的平面互相垂直，其中BE AF，ABAF ，AB BE AF2，CBA ，P 为 DF 的中点（1）求证：PE平面 ABCD；第 4 页（共 22 页）（2）求二面角 DEFA 的余弦值；（3）设 G 为线段 AD 上一点，，若直线 FG 与平面 ABEF 所成角的正弦值为，求 AG 的长18已知单调递增的等比数列a n满足：a 2+a3+a428，且 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项（）求数列a n的通项公式；（）若 bna n an，S nb 1+b2+b3+bn，对任意正整数 n，S n+（n+ m）a n+10恒成立，试求 m 的取值范围19在平面直角坐标系 xOy 中，

7、已知 R（x 0，y 0）是椭圆 C： + 1（ab0）上一点，从原点 O 向圆 R：（x x 0） 2+（yy 0） 28 作两条切线，分别交 P、Q 两点（1）若 R 点在第一象限，且直线 OPOQ，求圆 R 的方程；（2）若直线 OP、OQ 的斜率存在，并记为 k1、k 2，求 k1k2；（3）试问 OP2+OQ2 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由20设函数 f（x ）x 22x+alnx（aR）（1）当 a2 时，求函数 f（ x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数 f（x ）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2）求实数 a 的范围；证明：第 5 页（

9、乘除运算化简，再由虚部为 0 求解【解答】解： +i R，4a0，得 a4故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （3 分）设a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，则 “q0”是“对任意的正整数n，a 2n1 +a2n0”的（）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】由等比数列的通项公式及充分必要条件得：当 q0 时，a na 1qn1 0，即对任意的正整数 n，a 2n1 +a2n0，当对任意的正整数 n，a 2n1 +a2n0，则a1q2n2 （1+q）0，即 q1 且 q0，即“q0”是“对

10、任意的正整数n，a 2n1 +a2n0”的充分不必要条件，得解【解答】解：因为a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，当 q0 时，a na 1qn1 0，即对任意的正整数 n，a 2n1 +a2n0，第 6 页（共 22 页）当对任意的正整数 n，a 2n1 +a2n0，则 a1q2n2 （1+q）0，即 q1 且 q0，即“q0”是“对任意的正整数 n，a 2n1 +a2n0”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及充分必要条件，属中档题4 （3 分）一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A32 B34 C36 D38【分析】由三视

11、图可知：原几何体是一个四棱锥，侧棱 PD3，且 PD底面 ABCD，底面是一个矩形，且 AD3， DC4其外接球的球心 O 是在过底面 ABCD 对角线的交点 M 且与底面垂直的直线上和 PD 的中垂面的交点据此可求出外接球的半径，进而求出答案【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，侧棱 PD3，且 PD底面ABCD，底面是一个矩形，且 AD3，DC4连接对角线 AC、BD 相交于点 M，则 DM 2.5设此四棱锥的外接球的球心为 O，则 OM底面 ABCD连接 OP、OD，则 OPOD ，取 PD 的中点 N，则 ONPD，DN 1.5于是此四棱锥的外接球的半径 r ，该棱锥的外接球

12、的表面积4r 24 8.534故选：B第 7 页（共 22 页）【点评】由三视图正确恢复原几何体和求出外接球的半径是解决问题的关键5 （3 分）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（bmodm），例如835（bmod6）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A2019 B2023 C2031 D2047【分析】直接利用程序框图和整除问题求出结果【解答】解：根据正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（bmodm），则：执行循环时，n2017，i2，n2017+22019，由于 20193（mod6），所以 20191（mod5）

13、，执行下一次循环，第 8 页（共 22 页）当 n2031 时，20311（mod 5）输出 n2031故选：C【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用6 （3 分）已知函数的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数 yf （x）的图象向左平移个单位得到函数 yg（x）的图象，则在下列区间中使 yg（x）是减函数的是（）A B C D【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得，根据函数 yAsin （x +）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：函数 2sin（x ）的图象与 x 轴的两个相邻交

14、点的距离等于， 4，若将函数 yf（ x）的图象向左平移个单位得到函数yg（x）2sin（4x+ ）2sin（4x + ）的图象，则在区间（，0）上，4x+ （，），yg（ x）没有单调性，故排除 A；在区间（，）上，4x+ （，），yg（x）单调递减，故满足条件；在区间（0，）上，4x+ （，），yg（x）没有单调递性，故排除 C；在区间（，）上，4x+ （，），yg（x）没有单调递性，故排除D，故选：B【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题7 （3 分）已知双曲线 1（a

15、0，b0）的左、右焦点为 F1、F 2，以 O 为圆心，第 9 页（共 22 页）以|OF 1|为半径的圆与双曲线的两条渐近线在 y 轴左侧交于 A、B 两点，且ABF 2 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A2 B C D【分析】求得双曲线的渐近线方程和 A，B 的坐标，由F 2AB 为等边三角形，可得 ab的关系|，再由离心率公式，可得所求值【解答】解：以|F 1O|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在 y 轴左侧交于 A，B 两点，且F 2AB 是等边三角形与双曲线的两条渐近线 y x 相交于 A、B 两点，可设 A（ c，），B（c ，），由F 2AB 为等边三角

16、形，则，c 2a 23a 2，解得 e 故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和直角三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题8 （3 分）函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，对任意两个正数 x1，x 2（x 1x 2）都有，记，则a，b，c 之间的大小关系为（）Aabc Bbca Ccba Dac b【分析】构造函数 g（x），则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论【解答】解：构造函数 g（x），则函数单调递减，0.2 21log 35，，abc，故选：A【点评】本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数

17、是关键二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）第 10 页（共 22 页）9 （3 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx +2y 的取值范围是 4 ，+）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：x，y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数 zx+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，由解得 C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4，+）故答案为：4，+）【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键10 （3 分）在（2x）（1+2x） 5 的展开式中，x 2 的系数为 &nbs

18、p;70 【分析】直接利用二项展开式的通项公式，求得（2x）（1+2x） 5 的展开式中，x 2 的系数【解答】解：在（2x）（1+2x） 5 的展开式中，x 2 的系数为 2 22 270，故答案为：70【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11 （3 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），圆 C 的极坐标方程为第 11 页（共 22 页）2cos，若直线 l 与该圆 C 相交所得弦长为，则 m 的值为 m 或 m 【分析】先把直线 l 和曲线化成直角坐标方程，然后在圆中用勾股定理可得【解答】解：由消去 t 得

19、 4x3y+3m0，由 2cos 得 22 cos 得（x1） 2+y2 1，依题意得 12（） 2+（） 2，解得 m 或 m 故答案为：m 或 m【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题12 （3 分）函数 f（x ）a x 12（a0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mxny 10 上，其中 m 0，n0，则 + 的最小值为【分析】利用题意首先确定 m，n 的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果【解答】解：由指数函数的性质可得 A（1，1），点在直线上，则：m+n1 0，m+ n1则：，当且仅当时等号成立综上可得

20、：的最小值为故答案为：【点评】本题考查了指数函数恒过定点问题，均值不等式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题13 （3 分）如图，已知| | | | |，AB2，ABC135， 2，则 2 【分析】由平面向量数量积的性质及其运算得：因为| |2，所以| |2，即 222 4，又| | |， 2，所以| | | |2，即第 12 页（共 22 页）ABO60，又ABC 135，所以OBCOCB75，即BOC30，即 | | |cos302 ，得解【解答】解：因为| |2，所以| | 2，即 2 22 4，又| | | |， 2，所以| | | |2，

21、即ABO60，又ABC135，所以OBCOCB75，即BOC30，即 | | |cos302 ，故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题14 （3 分）已知函数 f（x ），F（x）f（x）ax 有 4 个零点，则 a 的取值范围是（0，）【分析】做出 f（x ）的函数图象，根据直线 yax 与 yf（x）有 4 个交点得出 a 的范围【解答】解：当 ex 2e 时，f（x）f （2ex），f（x）的图象关于直线 xe 对称，做出 f（x）的函数图象如图所示：第 13 页（共 22 页）F（x ）f（x）ax 有 4 个零点，yax 与 y

22、f（x ）的图象有 4 个交点，当直线 yk 1x 经过点（e，1）时，k 1 ，设直线 ykx 与 ylnx 相切，切点为（x 0，y 0），则，解得 x0e ，y 01，k 2 0a 故答案为：（0，）【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数对称性，切线斜率等知识，属于中档题三、解答题（共 6 小题，满分 0 分）15某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题规定正确回答问题者进入下一个阶段竞赛，否则即遭淘汰已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为、、，且各阶段通过与否相互独立（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）该选手在竞赛中回

23、答问题的个数为，求的分布列与均值第 14 页（共 22 页）【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式求出该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）由题意知的可能取值，计算所求的概率，写出分布列，求出数学期望值【解答】解：（1）记“该选手通过初赛”为事件 A，“该选手通过复赛”为事件 B，“该选手通过决赛”为事件 C，则 P（A），P （B），P（C ）；（2 分）那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率为PP（A ） P（A）P（）；（4 分）（2）由题意知可能取值为 1，2，3；（5 分）计算 P（1）1 ，（6 分）P（2），（7 分）P（3） + ；（9 分）所以的分布列

24、为： 1 2 3P（10 分）数学期望为 E1 +2 +3 2 （12 分）【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题16已知函数（）求函数 f（x ）的最小正周期和单调递减区间；（）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若，b+c7，ABC 的面积为，求边 a 的长【分析】（）运用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简函数 f（x），再由正弦函数的周期公式和单调减区间，解不等式可得减区间；（）由 A 的范围，结合正弦函数值，可得 A，再由三角形的面积公式和余弦定理可得第 15 页（共 22 页）所求值【解答】解

25、：（）函数，可得，所以 f（x）的最小正周期；令 2k+ 2x 2k+ ，解得 k+ xk+ ，所以 f（x）的单调递减区间是（kZ ）；（），，，又可得A 即，b+c7，ABC 的面积为，即 bcsinA bc2 ，bc8，（b+c） 23bc 25 ，a5【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题17如图，已知菱形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF，ABAF ，AB BE AF2，CBA ，P 为 DF 的中点（1）求证：PE平面 ABCD；（2）

26、求二面角 DEFA 的余弦值；（3）设 G 为线段 AD 上一点，，若直线 FG 与平面 ABEF 所成角的正弦值为，求 AG 的长【分析】（）取 AD 的中点 Q，连接 PQ，BQ ，证明 PEBQ ，即可证明 PE平面第 16 页（共 22 页）ABCD（）取 AB 中点 O，连接 CO，分别以 OB，OM，OC 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 DEF 的法向量，平面 AEF 的法向量，利用向量的数量积求解二面角 DEF A 的余弦值（）求出，平面 ABEF 的法向量，设直线 FG 与平面 ABEF所成角为，利用数量积列出方程求解即可【解答】（本小题满分

27、13 分）解：（）取 AD 的中点 Q，连接 PQ，BQ ，则 PQAFBE，且，所以四边形 BEPQ 为平行四边形，（2 分）所以 PEBQ ，又 BQ平面 ABCD，PE平面 ABCD，则 PE平面 ABCD（3 分）（）取 AB 中点 O，连接 CO，则 COAB，因为平面 ABCD平面 ABEF，交线为AB，则 CO平面 ABEF（4 分）作 OM AF，分别以 OB，OM，OC 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则（5 分）于是，设平面 DEF 的法向量，则令 x1，则（6 分）平面 AEF 的法向量（7 分）第 17 页（共 22 页）所以（8 分）又因

28、为二面角 DEFA 为锐角，所以其余弦值为（9 分）（），则，，而平面 ABEF 的法向量为，设直线 FG 与平面 ABEF 所成角为，于是（11 分）于是，（13 分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面市场价的求法，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力18已知单调递增的等比数列a n满足：a 2+a3+a428，且 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项（）求数列a n的通项公式；（）若 bna n an，S nb 1+b2+b3+bn，对任意正整数 n，S n+（n+ m）a n+10恒成立，试求 m 的取值范围【分析】

29、（1）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，根据 2（a 3+2）a 2+a4，可求得a3进而求得 a2+a420两式联立方程即可求得 a1 和 q 的值，最后根据等比数列的通项公式求得 an（2）把（1）中的 an 代入 bn，再利用错位相减法求得 Sn，再由 Sn+（n+m）a n+10 恒成立进而求得 m 的范围第 18 页（共 22 页）【解答】解：（1）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q依题意，有 2（a 3+2）a 2+a4，代入 a2+a3+a428，得 a38a 2+a420解之得，或又a n单调递增，q2，a 12，a n2 n，（2）b n2 nlog 2n

30、n2 n，S n12+22 2+323+n2n2S n12 2+223+（n1）2 n+n2n+1得，S n2+2 2+23+2nn2 n+1 n2 n+12 n+12n2 n+1由 Sn+（n+m ）a n+10，即 2n+12n2 n+1+n2n+1+m2n+10 对任意正整数 n 恒成立，m2 n+122 n+1对任意正整数 n，m 1 恒成立 11，m1即 m 的取值范围是（， 1 【点评】本题主要考查等比数列的性质本题考查了学生综合运算的能力19在平面直角坐标系 xOy 中，已知 R（x 0，y 0）是椭圆 C： + 1（ab0）上一第 19 页（共 22 页）点，从原点 O 向圆

31、R：（xx 0） 2+（yy 0） 28 作两条切线，分别交 P、Q 两点（1）若 R 点在第一象限，且直线 OPOQ，求圆 R 的方程；（2）若直线 OP、OQ 的斜率存在，并记为 k1、k 2，求 k1k2；（3）试问 OP2+OQ2 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【分析】（1）求得圆的半径 r，由两直线垂直和相切的性质，可得|OR|4，解方程可得圆心 R 的坐标，进而得到圆的方程；（2）设出直线 OP：yk 1x 和 OQ：y k 2x，由直线和圆相切的条件：dr ，化简整理，运用韦达定理，由 R 在椭圆上，即可得到 k1k2 的值；（3）讨论当直线 OP，OQ 不落在

32、坐标轴上时，设 P（ x1，y 1），Q（x 2，y 2），运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值 36；当直线 OP，OQ落在坐标轴上时，显然有 OP2+OQ236【解答】解：（1）由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r2 ，因为直线 OP，OQ 互相垂直，且和圆 R 相切，所以|OR| r4，即 x02+y0216又点 R 在椭圆 C 上，所以 + 1联立，解得 x0y 02 ，所以，所求圆 R 的方程为（x2 ） 2+（y2 ） 28；（2）因为直线 OP：yk 1x 和 OQ：y k 2x 都与圆 R 相切，所以 2 ， 2 ，两边平方可得 k1，k 2 为（x

33、 028）k 22x 0y0k+（y 028）0 的两根，可得 k1k2 ，第 20 页（共 22 页）因为点 R（x 0， y0）在椭圆 C 上，所以 + 1，即 y0212 x02，所以 k1k2 ；（3）当直线 OP，OQ 不落在坐标轴上时，设 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），由（2）知 2k1k2+10，所以 +10，故 y12y22 x12x22，因为 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）在椭圆 C 上，所以 + 1， + 1，即 y1212 x12，y 2212 x22，所以（12 x12）（12 x22） x12x22，整理得 x12+x2224，所以

34、 y12+y22（ 12 x12） +（12 x22）12，所以 OP2+OQ2x 12+y12+x22+y22（x 12+x22）+（y 12+y22）36当直线 OP， OQ 落在坐标轴上时，显然有 OP2+OQ2 36综上可得，OP 2+OQ2 为定值 36【点评】本题考查椭圆方程的运用，以及直线和圆的位置关系：相切，考查点到直线的距离公式和直线方程的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题20设函数 f（x ）x 22x+alnx（aR）（1）当 a2 时，求函数 f（ x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数 f（x ）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2）求实数

35、a 的范围；证明：第 21 页（共 22 页）【分析】（1）当 a2 时，f （x ）2x2+ ，可得 f（1）1，f（1）2，即可得点（ 1，f （1））处的切线方程（2），（x0），，，（）令 h（t）t +2（1t）ln（1t），（），利用导数即可证明【解答】解：（1）当 a2 时，函数 f（x ）x 22x+2lnx（x0），f（x）2x2+ ，可得 f（1）1，f（1）2在点（1，f（1））处的切线方程为： y（1）2（x1），即 2xy30（2），（x0），函数 f（x）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） 2x 22x+a 0 有两个不等正实根，，实数 a 的范围：（0，） a 2x1x22x 2（1x 2）， 1x 1x 2，，（）令 h（t）t+2（1t）ln（1t），（），第 22 页（共 22 页）h ，h（t）在（）递增，【点评】不本题考查了导数的几何意义、导数与单调性、最值，属于中档题

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