1、高考数学仿真押题试卷（十五）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区
2、域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的 1设 ， 为虚数单位若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对应的点的坐标为aRi 32ai()A B C D8,574(,)547(,)574(,)5【解析】解： 复数 是纯虚数，则 201a2a，复数 在复面上对应的点的坐标为
3、 32ai74(,)5【答案】 D2已知集合 ，若 ，则实数 的取值BAm范围为 ()A B ， C D ，4,4)(2,)2)【解析】解：解一元二次不等式 得： 或 ，即 ， ， ，1x4(A1(4)解一元二次不等式 得 ，即 ，2mx(,2)Bm又 ，BA所以 或 ，210m4解得 ，4【答案】 B3美国总统伽菲尔德利用图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法” 现已知 ， ，若从该直角梯3a4b形中随机取一点，则该点也在 的内切圆内部的概率为 CDE()A B C D49 249【解析】解：由图可知： ，直角
4、三角形 的内切圆半径为 ，CDE，设“该点也在 的内切圆内部”为事件 ，A由几何概型中的面积型可得：（A） ，P【答案】 C4已知 为锐角，则 的值为 sin()()A B C D3721321437213214【解析】解： ， 是锐角， ，cos3又 ， ，则1cos3223是锐角， ，02， ，且 ，则，【答案】 D5执行如图所示的程序框图，若输入 ， ， ，则输出的 ， 的值满足 0xy1nxy()A B C D109yx169xy19yx2xy【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得， ，0xy1n执行循环体， ， ，2x1y不满足条件 ，执行循环体， ， ， ，269xy2n不满足条
5、件 ，执行循环体， ， ，3，不满足条件 ，执行循环体， ， ， ，269xy4n51x4y不满足条件 ，执行循环体， ， ， ，6不满足条件 ，执行循环体， ， ， ，269xy8n89y此时，满足条件 ，退出循环，输出 的值为 2， 的值为 ，x可得此时 ， 的值满足 xy169xy【答案】 B6已知命题 ：数列 的通项公式为 ， ， 为实数， ，且 ，pna bc*)nN2017ka， 恒为等差数列；命题 ：数列 的通项公式为 时，数列2018ka2019()kqn为递增数列若 为真，则实数 的取值范围为 nbqa()A B ， C D ，(,)0)0,(0【解析】解：若 ， ， 恒为等
6、差数列，2017ka2018k2019(ka，即 ，整理得 ，即 即 ，20a:0pa若数列 的通项公式为 时，则 ，nb 0a即 ，:0qa若 为真，则 ， 至少有一个为真命题，ppq即 ， ，)【答案】 B7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()A2 B C D522231【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥 ，PABC几何体的表面积为： 【答案】 C8已知抛物线 的准线与圆 相切，则抛物线的方程为 ()A B24xy 28xyC D 或42x【解析】解：圆 ，抛物线 的准线为 ，2py抛物线 的准线与圆 相切，解得 12p4p抛物线方程为： 2
7、8xy【答案】 B9已知 为 外接圆的圆心， ， ，则 OAC|3AB|5C(AOB)A2 B4 C8 D16【解析】解：如图，取 中点 ， 中点 ，并连接 ， ，则：ACDEOE， ；ODACEB， ；2598【答案】 C10公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方如图，以 为O圆心的大圆直径为 1，以 为直径的半圆面积等于 与 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙ABAOB形（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是 ()A B C D131212【解析】解：阴影部
8、分面积等于 ，所以根据几何概型得 【答案】 B11 中， 是 边上的高， ， ，则 ACDA4A5cosB(DAC)A B C D14122334【解析】解： 中， 是 边上的高， ，4在等腰直角三角形 中，设 ，ADh可得 ，h在直角三角形 中，BC，即有 ，则 ，可得 ，即 ，则 14BDAC【答案】 12函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围是 a()A B ， C D(,1)4e(12e3(0,)2e3,2e【解析】解： ，时不成立，1x时，化为： 可得： 时， ，函数 单调递增；1x()0gx()gx时， 时，函数 单调递减；3时， ，函数 单调递增x()0gx()gx画出图象（
9、3） g32e可得：当且仅当 时，函数 与函数 由且仅有一个交点302eaya()ygx即函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围是 a3(0,)2e【答案】 C第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 58【解析】解： 红灯持续时间为 40 秒，至少需要等待 15 秒才出现绿灯，一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 25408【答案】 5814在 中，已知 ，当
10、 时， 的面积为 ABC6ABC16【解析】解： ， ，【答案】 1615设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 nanS63:96:S73【解析】解：因为等比数列 的前 项和为 ，则 ， ， 成等比，nnn2n2nS(0)nS所以 ，又 ，即 ，63S361S所以 ，整理得 9673S【答案】16已知点 ，抛物线 的焦点为 ，连接 ，与抛物线 相交于点 ，延长(0,1)AFACM，与抛物线 的准线相交于点 ，若 ，则实数 的值为 FCNa2【解析】解：依题意得焦点 的坐标为： ， ，F(2a0)设 在抛物线的准线上的射影为 ，连接 ，MKM由抛物线的定义知 ，因为 ，|所以 ，又 ， ，所以
11、，解得 42a2a【答案】 2三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17已知数列 的前 项和为 ，满足： ， ，数列 为等比数列，满足nanS1anb， ， 134b21b*N（）求数列 ， 的通项公式；na（）若数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小1nnWnbnTnW1T【解析】解：（） ， ，a可得 ，1na即数列 为首项和公差均为 1 的等差数列，可得 ；na数列 为等比数列，满足 ， ， b134b21b*nN设公比为 ，可得 ，可得 ，q21q即有 时， ，可得 ；24b14b不成立，舍去，1q则
12、 ；()2nb（） ，；，则 ，1nT即有 1nWT18如图，在多面体 中， 平面 ，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角ABCDEABCDABC形， ， 2（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值AEB【解析】证明：（）取 的中点 ，连结 ， ，BCOAD， ， ，D平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，DOBCABC平面 ，ABC平面 ， ，E/EO又 ， 四边形 是平行四边形， ，2D/EDAO是等边三角形， ，ABABC又 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，OBCB平面 ， 平面 ，C平面 ， 平面 平面 EDBED解：（）由（）得 平面 ， ，AOBCAOD又 ， ， 分别
13、以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，Oxyz则 ， ， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ，(0A3)(1B)(D2)(0E32)设平面 的一个法向量为 ， ， ，Emxyz， ， ， ， ， ，(1B30)(132)则 ，取 ，得 ，x设平面 的一个法向量为 ， ， ，BED(ny)z，0， ， ， ， ，(12)132则 ，取 ，得 ，0， ，x(n1)设二面角 的平面角为 ，由题意 为钝角，AEBD则 二面角 的余弦值为 AEB1519已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 的12ABCFC右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，
14、当直线 垂直于 轴时，四边形 的面积为FlCPQlxAPBQ6（）求椭圆 的方程；（）若直线 的斜率为 ，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求证： 为定值l(0)kPxM|FPQ【解析】解：（）由： ，令 可得 ，则 ，21xyabxc2bya2|bPQa则 ，可得 23b， ， ，12ceac22abc4椭圆 的方程为 C2143xy证明：（）由题意可知 ，直线 的方程为 ，(,0)Fl(1)ykx由 ，2143()xyk设 ， ， ， ，1Pxy2(Qx)y， ，设 的中点为 ，则 ， ，PQN24(3k2)k则 的过程为 ，M令 ，可得 ， ，0y2(43k0)，为定值|14MFPQ20
15、某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 100 件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克） ，质量值落在 ， 的产品为合格品，否则为不合格品如(1752表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图产品质量 毫克/ 频数，(1657 3，(1758 9， 9 19，(20 35，51 22，( 7，23 5（）由以上统计数据完成下面 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为产品的包装2合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线 乙流水线 总计合格品不合格品总计附表： 2()PKk0.15 0.10 0.05 0.025
16、0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式： （）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标 服从正态分布 ，z(20N，求质量指标 落在 上的概率；21.)z参考公式： ， （）若以频率作为概率，从甲流水线任取 2 件产品，求至少有一件产品是合格品的概率【解析】解：（）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为所以， 列联表是：2甲流水线 乙流水线 总计合格品 92 96 188不合格品 8 4 12总计 100 100 200所以 ，所以在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下不
17、能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关（）乙流水线的产品生产质量指标 服从正态分布 ， ，z(20N21.)所以 ， ，所以，即： ，所以质量指标落在 ， 的概率是 0.8185187.24.)（）若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率 ，0.8P设“任取两件产品，至少有一件合格品“为事件 ，A则 为”任取两件产品，两件均为不合格品“，且 ，A所以 （A） ，P所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为 0.993621已知函数 （）当 时，证明：函数 只有一个零点；0a()fx（）若函数 的极大值等于 0，求实数 的取值范围()fxa【解析】解：（）由题知： f
18、x令 ，所以，当 时， ，即 在 上单调递减0a ()gx0,)又因为 （1） （1） ，所以，当 时， ；当 时， fg01f()0x1xf()0x所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 （1） ()fx0, (,)f所以 只有一个零点f（）由（）知：当 时， 的极大值等于 0，符合题意0a()fx当 时，因为当 时， ；当 时， ；01a,g()(,)xag()0x且 （1） ， g故存在 ，满足 ，1(,)axe又 ， ； ， ；,f0x(1,)f()0x所以，此时 是 的唯一极大值点，且 （1） ，符合题意1()f f当 时，因为 ， ； ， ，且 （1） ，a0,x()0gx(
19、,)(0gxg0所以 ，即 在 上单调递减无极值点，不合题意()0gx()f,当 时，因为当 时， ；当 时， ；且 （1） ，1a0,xag()0x(,)xa()0gxg0令 ，则 ；所以 （a） （1） ，W所以 ，即 21ae()0ag又因为 ，故存在 ，0(,)axe满足 ，此时 是 的唯一极小值点， 是 的唯一极大值点， （1） 因此不合题意1x()f 0x()f 0()fxf0综上可得： a请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22直角坐标系 中，曲线
20、 的参数方程为 其中 为参数） ；以 为极点，以 轴的xOy1COx非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，曲线 l（）求曲线 的普通方程和极坐标方程；1（）已知直线 与曲线 和曲线 分别交于 和 两点（均异于点 ，求线段 的长l1C2MN)OMN【解析】解：（）因为曲线 的参数方程为 为参数 ，1 )所以 的普通方程为 ，C1在极坐标系中，将 代入得 ，cosinxy化简得， 的极坐标方程为： 1C（）因为直线 的极坐标方程为 ，l且直线 与曲线 和和曲线 分别交于 ， ，可设 ， ， ， ，l12CMN1(3)42(N3)4将 ， 代入得 ，1(M3)4将 ， 代入曲线 得 2(N3)4所以 选修 4-5：不等式选讲23已知函数 ， aR（）若 ，解不等式 ；1a()0fx（）对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围xR3fa【解析】解：（） 时，函数 ，1a当 时， ，1x不等式 可化为 ，()0f30x解得 ，所以 ；3x1当 时， ，12不等式 可化为 ，()0fx10x解得 ，所以 ；1当 时， ，2x不等式 可化为 ，()0fx30x解得 ，所以 ；31综上，不等式 的解集为 或 ；()fx|1x3x（）因为 ，所以 ，对任意 ， 恒成立，xR()3f所以 ，|2|a所以 ，解得 ，351a所以实数 的取值范围是 ， a51
