1、高考数学仿真押题试卷（五）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域
2、 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的 1已知复数 满足 是虚数单位） ，则复数 的模 z z|()A B C D5210210454【解答】解： ，故 ，【答案】 B2已知集合 ， ，则 (AB)A ， B C D(1(1,2)(1,)0,2【解答】解： 集合 ，
3、【答案】 C3在等差数列 中，前 项和 满足 ，则 的值是 nanS92356a()A5 B7 C9 D3【解答】解： 等差数列 中，前 项和 ，满足 ，nn25S，5a【答案】 A4军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛 10 场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩数学老师将甲、乙两名同学的 10 场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4 个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是 29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是 18则这 4 个结论中，正确结论的个数为 ()A1 B2 C3 D4【解答】解：由茎叶图得：在（
4、1）中，甲的成绩集中于茎叶图的左下方，乙的成绩集合于茎叶图的右上方，甲的平均成绩比乙的平均成绩高，故（1）正确；在（2）中，甲的成绩的极差是： ，故（2）正确；3789在（3）中，乙的成绩的众数是 21，故（3）正确；在（4）中，乙的成绩的中位数是： ，故（4）错误【答案】 C5从 6 名大学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人知识竞赛代表队，则不同的选法共有 ()A15 种 B180 种 C360 种 D90 种【解答】解：先现从 6 名大学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，再从剩下的 4 人选 2 人，故有种，264180C【答案】 B6实数 ， 满足约
5、束条件 ，则 的最大值是 xy 2zxy()A B C4 D556【解答】解：由实数 ， 满足约束条件 ，作出可行域：xy联立 ，解得 ，(2,0)B化 为 ，由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最小， 有最大值为：2zxyxz2yxzAyz4【答案】 C7如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为 ()A B C D884646【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为 1 的 4 段 的圆弧，柱体的高为 3，所以几何体的表面积为： 【答案】 C8勒洛三角形是由德国机械工程专家，机
6、构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为 ()A B C D23()32()32()23()【解答】解：如图，设 ，以 为圆心的扇形的面积为 ，C26的面积为 ，ABC勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形的面积，即为 ，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为 ，【答案】 B9已知双曲线 的左焦点为 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，且F M交双曲线 右支于点 若 ，则双曲线 的渐近线方程为 CN2FMC()A
7、 B C D30xy30xy20xy20xy【解答】解：设双曲线的右焦点为 ，若 ，可得 为 的中点，2FNMFN又 为 的中点，可得 ，O /O由 为切点，可得 ，90且 ，由双曲线的定义可得 ，|2FNba由勾股定理可得 ，化简可得 ，2ba则双曲线的渐近线方程为 2yx【答案】 C10三棱锥 中，棱 是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径， ，ABCDA平面 平面 ，则该三棱锥的体积为 ()A B1 C2 D312【解答】解：如图， ， 是球 得直径，ADO，且 ，平面 平面 ， ，ABDC【答案】 11已知椭圆 ，直线 ， 分别平行于 轴和 轴， 交椭圆于 ， 两点， 交椭1l2x
8、y1lAB2l圆于 ， 两点， ， 交于点 ，若 ，则该椭圆的离心率为 CD1l2M ()A B C D123232【解答】解：由 ，不妨设 ， ， ， ，|6M|2|1M|3D可得 ， (4,1)A(,)B代入椭圆方程可得： ， 261ab241ab联立解得 ， 205则该椭圆的离心率 【答案】 D12已知函数 ，给出三个命题： 的最小值为 ， 是轴对称图形，()fx4()fx其中真命题的个数是 ()4|fx ()A0 B1 C2 D3【解答】解：若 的最小值为 等价为 恒成立，且能取等号，()fx4即 恒成立，设 ，则 ，当 时， ，即 0 能取到，故正确，32x 是 和 共同的对称轴，s
9、in()yx是 的对称轴，即 是轴对称图形，故正确，32x()f()f ，只要证明 ，即可，设 ，|sin|t(0)t当 时不等式恒成立，1t当 时，即证明 ，0tsint设 ， ，即 在 上是减函数，()ht01t则 ，即 成立，sint综上 ，成立，故正确，故三个命题都是真命题，【答案】 D第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 xy012yx2zxy12【解答】解：作出实数 ， 满足约束条件 对应的平面区域，xy012yx由 ，得 ，2zxy平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，A直线 的截距
10、最大，此时 最大z由 ，得 ， ，3(2A1)此时 的最大值为 ，z故答案为： 1214 的展开式中 的系数为 9，则 1 2xa【解答】解： 的通项公式 ，若第一括号是 1，则第二个括号必须是 ，相乘，2x若第一括号是 ，则第二个括号必须是 相乘，x则 项系数为 ，2x即 ，得 ，得 或 （舍 ，1a35)故答案为：115已知点 为抛物线 的焦点，直线 过点 且与抛物线 交于 ， 两点，点 在第一象限，F2:4CyxlFCABA，若 ， 分别表示 ， 的面积） ，则直线 的斜率的取值范围为 (2,0)MMBFSAMBl,6【解答】解： ，(1,0)F设直线 的方程为： ， ， ， ， ， l
11、tyx1(A)y1(0x1)y2(Bx)y联立 ，化为： ，214tyx解得： ， ，32MAFBS123y，取 ， 0t，解得： ， 1kt故答案为： ， 2616已知正三棱锥的体积为 ，则其表面积的最小值为 363【解答】解：设正三棱锥的底面边长为 ，高为 ，如图，过顶点 作底面 的垂线，垂足为 ，过ahSABCO作 垂直 于 ，连接 ，ODABSD， aSh底面 ， 底面 ，CABC， ，ABO又 ， ，D平面 ，S又 平面 ，即 为侧面 的斜高，ABSAB三棱锥体积 ，得 ，21ah又 为底面中心， ，O，三棱锥的表面积 ，将 代入得：21ah，令 ，得 ，令 ， ，上式可化为0S31
12、ht(0)，解得 ，或 （舍 ，230t3t1t)，得 ，当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递减，在31h2h02h0S2h0S(,2)上 单调递增，故当 时，表面积最小，(2,)S此时 ，故填： 63三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17设函数 （）当 ， 时，求函数 的值域；0x2()fx（） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 （A） ， ， ，求ABCBCabcf32ab13c的面积【解答】解：（）， ， ， ，0x276，函数 的值域为 ， ；()fx12（） （A） ，f， ， ，即 ，0A3A由正弦定
13、理， ，23ab，2sinB，则034， ，2b18世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达 6 亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级 200 名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：每周累计户外暴露时间（单位：小时），07)，14)，21)，28)不少于 28 小时近视人数 21 39 37 2 1不近视人数 3 37 52 5 3（）在每周累计户外暴露时间不少于 28 小时的 4 名学生中，随机抽取 2 名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（）若每周累计户外暴露时间少于 14 个小时被认证为“不
14、足够的户外暴露时间” ，根据以上数据完成如下列联表，并根据（）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？近视 不近视足够的户外暴露时间不足够的户外暴露时间附： 20()PKk0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828【解答】解：（）设“随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视”为事件 ，则 （A）P1324C故随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视的概率为 12（）根据以上数据得到列联表：近视 不近视足够的户外暴露时间 40 60不足够的户外暴露时间 60 40所以 的观测值 ，2K故能在犯错误的概率不超过 0
15、.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系19如图，在三棱锥 中， 与 都为等边三角形，且侧面 与底面 互相垂直，DABCBDCBCDA为 的中点，点 在线段 上，且 ， 为棱 上一点OBCFO13FOEA（）试确定点 的位置使得 平面 ；E/（）在（）的条件下，求二面角 的余弦值B【解答】解：（）在 中，延长 交 于点 ，BDCFCDM， 是等边三角形， 为 的重心，13OFDBCFBDC，平面 ， 平面 ，且面 面 ，/EAEFAMAM， ，FM13B即点 为线段 上靠近点 的三等分点（）等边 中， ， 平面 ，CDODBC面 面 ，交线为 ，ABB平面 ，O如图，以 为原点建立
16、空间直角坐标系 ，xyz点 在平面 上， 二面角 与二面角 为相同二面角ABEFDFBEDFBA设 ，则 ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，2(3)()(0)， ， ， ，(013)设平面 的法向量 ， ， ，AFB(mxy)z则 ，取 ，得 ，1x(,3)m又 平面 ， ，0， ，OABD(3OA)则 ，又二面角 为钝二面角，FBE所以二面角 的余弦值为 D1320已知椭圆 的左、右两个顶点分别为 、 ，点 为椭圆 上异于 、 的一个动点，ABP1CAB设直线 、 的斜率分别为 、 ，若动点 与 、 的连线斜率分别为 、 ，且PAB1k2Q3k4，记动点 的轨迹为曲线Q2C（）当 时，求
17、曲线 的方程；42C（）已知点 ，直线 与 分别与曲线 交于 、 两点，设 的面积为 ， 的1(,)MABM2EFAMF1SBME面积为 ，若 ， ，求 的取值范围2S312S【解答】解：（）设 ， ， ，则 ，0(Px)y0()x2014xy因为 ， ，则 ，(2,0)A(,)B设 ，则 ，,Qxy所以 ，整理得 ， 214xy(2)x所以，当 时，曲线 的方程为 ， ，2C24xy(2)x（）设 ， ， ， ，由题意知，1(Ex)y(Fx)y直线 的方程为： ，直线 的方程为 AM62BM2xy由（）知，曲线 的方程为 ， 2C214xy(2)x联立 ，消去 ，得 ，得 ，x169y联立
18、，消去 ，得 ，得 ，2所以设 ，则 在 ， 上递增()g13又 （1） ， （3） ，g57所以 的取值范围为 ，2S21已知 为自然对数的底数） ， ()xfe（）当 时，求函数 的极小值；1a（）当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，求实数 的取值范围0tt a【解答】解：（）当 时， ，1a，令 ，解得： ，()0hx 0x， ， 的变化如下：x()h (,0)0 (0,)()x0h递减 极小值 递增；（）设 ，令 ， ， ，1()tx1x，设 ， ，由 得， ， ， ，1x2210xxe， 在 单调递增，()t,)即 在 单调递增， （1） ，()Fx1,Fea当 ，即 时， 时
19、， （1） ， 在 单调递增，0eae(,)x()Fx0()Fx1,)又 （1） ，故当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，1当 ，即 时，0eae（1） ， ，又 ，F故 ， ，当 时， ， 单调递减，又 （1） ，0(,)xlna0()Fx0(1,)x()0Fx()xF0故当 ， 时， ，0在 ， 内，关于 的方程 有一个实数解 ，10)xx 1x又 ， 时， ， 单调递增，()0F()x且 （a） ，F令 ， ，故 在 单调递增，又 （1） ，()kx1,)k0故 在 单调递增，故 （a） （1） ，故 （a） ，, F0又 ，由零点存在定理可知， ， ， ，0axe10(x)1()
20、x故在 ， 内，关于 的方程 有一个实数解 ，0()x 1x此时方程有两个解综上， 1ae请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数） ，直线 的方程为 ，以xOyC lykx坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 的极坐标方程；C（）曲线 与直线 交于 ， 两点，若 ，求 的值lABk【解答】解：（） ， 所以曲线 的极坐标方程为 C（）设直线 的极坐标方程为 ， ， ，其中 为直线 的倾斜角，l 1(R10)1l代入曲线 得 ，设 ， 所对应的极径分别为 ， AB12， ，120满足 或 的倾斜角为 或 ，1065l65则 或 3选修 4-5：不等式选讲23已知函数 ， aR（）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；2()fxa（）设实数 为（）中 的最大值，若实数 ， ， 满足 ，求 的最mxyz小值【解答】解：（）因为 ，所以 ，解得： 24|a4a故实数 的取值范围为 ， ；（）由（1）知， ，即 ，4m根据柯西不等式等号在 即 ， ， 时取得87x21y4z所以 的最小值为 6
