1、高考数学仿真押题试卷（九）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域
2、 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的 1已知 ， ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 abRiai2bi2()(abi)A B C D54i54i3434【解析】解： 与 互为共轭复数，则 、 ，i2b1，故选： D2已知全集 ， ， ，则集合 UR|0Ax
3、|1Bx()(UAB)A B C D|0x|1|0x|01x【解析】解： 或 ，0x，故选： D3等差数列 中， ， ，则数列 的公差为 na150a47na()A1 B2 C3 D4【解析】解：设数列 的公差为 ，则由 ， ，可得 ， ，解得nd15047120ad137ad，2d故选： B4如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 ()A B C D13234353【解析】解：圆柱的底面直径为 2，高为 2，圆锥的底面直径为 2，高为 1，该几何体的体积 ，故选： C5若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 xy 3zxy()A3 B4 C2 D
4、1【解析】解：由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 为 ，3zxy3xz由图可知，当直线 过 时，(0,1)A直线在 轴上的截距最小， 有最小值为 1yz故选： D6某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为 ()A16 B18 C24 D32【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共 7 个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列 ，3A当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列 ，3当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列 ，当最右边三辆时，有车之间的一
5、个排列 ，3A总上可知共有不同的排列法 种结果，342故选： C7部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是 ()A B C D7169163512【解析】解：由图可知：黑色部分由 9 个小三角形组成，该图案由 16 个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件 ，由几何概型中的面积型可得：A（A） ，P
6、故选： B8在 中， ， ，则 C2ADB2CEA()A B C D 【解析】解： ，故选： A9已知双曲线 ， 为坐标原点，过 的右顶点且垂直于 轴的直线交 的渐近OCxC线于 ， ，过 的右焦点且垂直于 轴的直线交 的渐近线于 ， ，若 与 的面积之比ABCxMNOABMN为 ，则双曲线 的渐近线方程为 1: ()A B C D2yx2yx23yx8yx【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则 ，219ac，2b，a的渐近线方程为 ，C2yx故选： B10设 ，则 展开式中的常数项为 0sinaxd8()ax()A560 B1120 C2240 D4480【解析】解：设 ，则 展开
7、式中的通项公式为 ，令 ，求得 ，可得展开式中的常数项为 ，820r4r 481620CA故选： B11在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵已知在堑堵 中， ， ， ，则 与平面 所成角的大小90ABC12A2BC1A1B为 ()A B C D30456090【解析】解：在堑堵 中， ， ， ，9AB12A2BC以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，BAxCy1z则 ， ， ， ，0， ，(0C2)1(2)， ， ，平面 的法向量 ，1， ，1A 1BA(0n)设 与平面 所成角的大小为 ，1BA则 ，与平面 所成角的大小为
8、1CA1B45故选： 12已知函数 ，若方程 有四个不相等的实根，则实数 的取值范围是 ()1fxkk()A B C D1(,)31(,2)314(,)251(,)2【解析】解：方程 有四个不相等的实根，()fxk等价于函数 的图象与直线 有四个交点，f 1yx易得：当直线 与函数 相切时， ，1ykx12k当直线 与函数 相切时，利用导数的几何意义可得： ，1k即由图知函数 的图象与直线 有四个交点时，()fx1ykx实数 的取值范围是 ，k12k故选： D第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 的展开式中含 项的系数为 5 103()x2x【
9、解析】解： 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，103()x 1023r2r故展开式中含 项的系数为 ，221059CA故答案为：514在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等比数列，且 ，则ABCBabcabc3tan4B的值是 53【解析】解： ， ， 成等比数列， ，abc2bac， 3tan4B3sin5则 故答案为： 315已知 ， ，且 ，则 的最小值为 0xy12xyxy743【解析】解： ，2xy，当且仅当时，即 时取等号，26yx3yx故 的最小值为 ，74故答案为： 16如图，已知过椭圆 的左顶点 作直线 1 交 轴于点 ，交椭圆于点 ，(,0)Aa
10、yPQ若 是等腰三角形，且 ，则椭圆的离心率为 AOP2PQA 25【解析】解： 是等腰三角形， ， ， AOP(Aa0)(P)a设 ， ， ， ， ， 0(Qx)y2Q0x0y，解得 0231xay代入椭圆方程得 ，化为 215ba故答案为 25三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17已知函数 （1）求函数 的单调增区间；()yfx（2） 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 （A） ， ，求 的取值ABCABCabcf01abc范围【解析】解：（1）函数 ，由 ，可得 ，可得函数的单调递增区间是 ， ，(6k)3
11、kZ（2） 中，已知 （A） ， ， ABCf 3A，由正弦定理可得 ， 1a， ， ， ， 2(0,)3B(6B5) 2所以 的范围是 ， bc1218椭圆 的左右焦点分别为 ， 、 ， ，点 ， 在椭圆1(3F0)2(3F0)(3A1)2上C（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆交于 、 两点，以 为直径的圆过坐标原点 ，求证：坐标原点 到直:lykxmEFEOO线 距离为定值l【解析】解：（1）由椭圆定义可知， ，所以 ，因为 ，所以 ，2a3c1b椭圆 的方程为： ；C24xy（2）证明：由 可得 ，21ykxm ，即 ，2241k设 ， ， ， ，(Ex)y2(Fx)y又 ， ，所
12、以坐标原点 到直线 距离为定值 Ol2519某校学业水平考试中，某两个班共 100 名学生，物理成绩的优秀率为 ，数学成绩的频率分布直方20%图如图所示，数学成绩大于 90 分的为优秀（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位） ；（2）如果数学、物理都优秀的有 12 人，补全下列 列联表，并根据列联表，判断是否有 以上的29.%把握认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀 物理非优秀 总计数学优秀 12数学非优秀总计（3）在物理优秀的 20 人中，随机抽取 2 人，记数学物理都优秀的人数为 ，求 的概率分布列及数学期X望附： ，其中 0k2.072 2.706 3
13、.841 5.024 6.635 7.879 10.8282()PK0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是： ，80952由频率分布直方图得：， 的频率为： ，608)， 的频率为： 9估计数学成绩的中位数是： （2）列联表是：物理优秀 物理非优秀 总计数学优秀 12 12 24数学非优秀 8 68 76总计 20 80 100，所以有 以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关9.%（3） 的可能取值为 0，1，2，X，概率分布列为：X0 1 2P14954895395数学期望 20如图在四边形 中， ，
14、， ， ， ， 是 上的ABCD/B90AD23B4C6ADE点， ， 为 的中点将 沿 折起到 的位置，使得 ，如图13AEPEE1E1（1）求证：平面 平面 ；11（2）点 在线段 上，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求二面角 的余MCDAM1PD681MAPD弦值【解析】证明：（1） 中， ， ， ，所以 ，BPC23PC4BPC同理 中， ， ， ，1AP12314A所以 ，因为 平面 ， 平面 ， ，11BEP1BE所以 平面 ，又 平面 ，PCACA所以平面 平面 11解：（2）以点 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，PExy，1， ， ，
15、0， ， ，4， ， ，2，(0A3)(2C)(23D0)(E0)设 ， ， ，则 ， ， ，2Ma1AM1a，1， ， ，4， ，(0P3)(23P0)设平面 的法向量为 ， ， ，1ADmxyz由 ，得 令 ，得 ， ， ，10mPA2x(m31)直线 与平面 所成角的正弦值为 ，1M1D68，解得 或 （舍 ， ，1， ，2a8)1(23AM)设平面 的法向量为 ， ， ，1APD(nxy)z由 ，取 ，得 ， ， ，1x(n31)设二面角 的平面角为 ，1MAP则 ，所以当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，二面角 的余弦值为 1A1PD681MAPD31021某财团欲投资一新型产品的
16、批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格 （单位：万元）是每日产y量 （单位：吨）的函数： x（1）求当日产量为 3 吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数） ；（2）记每日生产平均成本 为 ，求证： ；yxm16（3）若财团每日注入资金可按数列 （单位：亿元）递减，连续注入 60 天，求证：这 60 天的24na总投入资金大于 亿元1n【解析】解：（1）因为 ， ，231xyl()所以 ，当 时， ；3x证明：（2）要证 ，只需证设 ，则所以 在 上单调递减，所以 （1）()hx1,)()hx0所以 ，6y即 ；1m证明（3）因为 ，又由（2）知，当 时， ，1x2
17、lnx所以 ，所以 ，所以 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22曲线 （其中 为参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极t x坐标系，曲线 关于 对称1C（1）求曲线 的普通方程，曲线 直角坐标方程；1C2（2）将 向左平移 2 个单位长度，按照 变换得到 ，点 为 上任意一点，求点 到曲线2 32xy3CP3P距离的最大值1C【解析】解：（1）由 消去 得 ，由 得 ，得21xtyt0xy2cosa，依题意 的圆心 在 上，所以 ，解得 ，2C2(,0)a02a2a故曲线
18、的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 即 1 20xy2C（2） 向左平移 2 各单位长度后得 ，再按照 变换得到 ，2C24xy123xy设 点坐标为 ， 点到 的距离为 ，PP1C当 时，点 到 的距离最大，最大值为 231C2选修 4-5：不等式选讲23已知 （1）解关于 的不等式 ；x()4fx（2）对于任意正数 、 ，求使得不等式 恒成立的 的取值集合 mn xM【解析】解：（1）函数 ，当 时，不等式 化为 ，解得 ；0x()4fx1x当 时，不等式 化为 ，解得 ，所以 ；1f 3x当 时，不等式 化为 ，解得 ；x()4x 5x综上，不等式 的解集为 或 ；f|1x3（2）对于任意正数 、 ， ，mn当且仅当 时“ ”成立，1所以不等式 恒成立，等价于 ，由（1）知，该不等式的解集为 ，5|13x所以 的取值集合是 ， xM
