1、2019 年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一、选择题：本大题共 12 个小题每小题 3 分，共 36 分，每个小题只有一个选项最符合题目要求.1（3 分）5 的倒数是（ ）A B C5 D52（3 分）下面由正三角形和正方形拼成的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A BC D3（3 分）近几年绵阳交通快速发展现根据规划又将建设成绵复线高速，新建复线全长约127 公里，总投资约 331 亿元，若将“331 亿”用科学记数法表示应为（ ）A33.1x10 9 B3.3110 11 C3.3110 10 D0.33110 114（3 分）下列几何体中，主视图相同的是（ ）A B C
2、 D5（3 分）一副直角三角板如图放置，其中CDFE90，A45，E60，点 F 在 CB 的延长线上若 DECF，则BDF 等于（ ）A35 B30 C25 D156（3 分）若抛物线 yx 26x +m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是（ ）Am9 Bm9 Cm9 Dm 97（3 分）如图钓鱼竿 AC 长 6m，露在水面上的鱼线 BC 长 3 m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 AC 逆时针转动 15到 AC的位置，此时露在水面上的鱼线 BC长度是（ ）A3m B m C m D4m8（3 分）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做 6 个，甲做 30 个所用的时间与乙做 4
3、5 个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数如果设甲每小时做 x 个，那么可列方程为（ ）A B C D 9（3 分）用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）A cm B3 cm C4 cm D4cm10（3 分）如图，正方形 ABCDAB4，点 E 为 BC 边上点，连接 AE 延长至点 F 连接BF，若 tanFAB tan EBF ，则 AF 的长度是（ ）A B C D11（3 分）如图，ABCD 中，AB3，AD5，ACAB，E、F 为线段 BD 上两动点（不与端点重合）且 EF BD 连接 AE，CF ，当点 EF
4、运动时，对 AE+CF 的描述正确的是（ ）A等于定值 5 B有最大值C有最小值 D有最小值12（3 分）如图，由小矩形组成的系列图形中第一个有 1 个矩形，第 2 个图形包含 3 个矩形，第三个包含 6 个矩形，按此规律则第 99 个图形包含（ ）个矩形A4950 B4960 C5061 D5120二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，将答案填写在答题卡相应的横线上.13（3 分）因式分解：a 3bab 14（3 分）如图在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 是等腰直角三角形，OBA90，A（6， 0），点 B 位于第一象限，则点 B 关于原点的对称点 B的坐标是
5、15（3 分）使代数式 + 有意义，则 x 的取值范围是 16（3 分）在一个不透明的袋子里装有 5 个完全相同的乒乓球，把它们标号分别记为1，2，3，4，5，从中随机摸出两个小球，标号均为单数的概率为 17（3 分）如图，半径为 13 的等圆O 1 和O 2 相交与 A，B 两点，延长 O1O2 与 O1 交于点 D，连接 BD 并延长与 O2 交于点 C，若 AB24，则 CD 18（3 分）如图，ABC 中，A90，ABDACB，AD AC，sinABD 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 86 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤19（16 分）（1）计算：（2）先化简，再求值：
6、 ，其中 x220（11 分）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：体重频数分布表组边 体重（千克） 人数A 45x50 12B 50x55 mC 55x60 80D 60x65 40E 65x70 16（1）填空：m （直接写出结果）；在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于 度；（2）如果该校九年级有 1000 名学生，请估算九年级体重低于 60 千克的学生大约有多少人？21（11 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 吨产品甲需要 2 吨原材料 A；生产1 吨产
7、品乙需要 3 吨原材料 A根据市场调研，产品甲、乙所获利润 y（万元）与其产量 x（吨）之间分别满足函数关系：产品甲：yax 2+bx 且 x2 时，y2.6；x3 时，y3.6产品乙：y0.3x（1）求产品甲所获利润 y（万元）与其产量 x（吨）之间满足的函数关系；（2）若现原材料 A 共有 20 吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产，才能使得最终两种产品的所获利润最大22（11 分）如图在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y2x2 的图象与函数y （k 0）的图象有交点为 A（m，2），与 y 轴交于点 B（1）求反比例函数的解析式；（2）若函数 y 在第一象限的图象上有
8、一点 P，且POB 的面积为 6，求点 P 坐标23（11 分）如图，BC 为O 的直径，A，D 是O 上两点，弧 AC弧 AD，AB 与 CD交于点 M，延长 BD 至点 E，且与 CA 的廷长线交于点 E（1）求证：BEBC；（2）若 tanBCA ，AC3，求 DM 的长度24（12 分）已知抛物线 yax 24x +3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0），B 两点，与 y轴交于点 C（1）求抛物线解析式；（2）若点 P 为抛物线上点，当 PBPC 时，求点 P 坐标；（3）若点 M 为线段 BC 上点（不含端点），且MAB 与ABC 相似，求点 M 坐标25（14 分）如图，在平面直
9、角坐标系 xOy 中，PEF 是边长为 5 的正三角形，P、E 在x 轴上，点 F 位于 x 轴上方，其中 P（a，0）（5 a5）四边形 OABC 是边长为 5的正方形，A、C 均在坐标轴上，且 B（5，5），M 为 AB 边上点，且 AM OE，N 为点 M 关于直线 OB 对称的点（1）求证：OPAE ；（2）如图 1，当PEF 沿 x 轴运动使得 N、F 、E 三点在同一条直线上时，求此时MNE 与正方形 OABC 重叠部分的面积；（3）当PEF 从最左边沿 x 轴向右运动，到达（2）所在位置时停止，在这一过程中用y 表示四边形 MNFE 面积，求 y 与 a 的函数关系式2019 年
10、四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题每小题 3 分，共 36 分，每个小题只有一个选项最符合题目要求.1（3 分）5 的倒数是（ ）A B C5 D5【分析】根据倒数的定义进行解答即可【解答】解：（5）（ ）1，5 的倒数是 故选：B【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是 1 的两数互为倒数是解答此题的关键2（3 分）下面由正三角形和正方形拼成的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称的概念即可作答【解答】解：A、B、D 都是中心对称也是轴对称图形，C、是轴对称，但不是中心对称故选：C【点
11、评】此题由复合图形组成，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合3（3 分）近几年绵阳交通快速发展现根据规划又将建设成绵复线高速，新建复线全长约127 公里，总投资约 331 亿元，若将“331 亿”用科学记数法表示应为（ ）A33.1x10 9 B3.3110 11 C3.3110 10 D0.33110 11【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数
12、点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将“331 亿”用科学记数法表示应为 3.311010，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（3 分）下列几何体中，主视图相同的是（ ）A B C D【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形【解答】解：圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，故选：B【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三
13、视图中5（3 分）一副直角三角板如图放置，其中CDFE90，A45，E60，点 F 在 CB 的延长线上若 DECF，则BDF 等于（ ）A35 B30 C25 D15【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出BDE45，进而得出答案【解答】解：由题意可得：EDF30，ABC45，DECB，BDEABC45，BDF453015故选：D【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出BDE 的度数是解题关键6（3 分）若抛物线 yx 26x +m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是（ ）Am9 Bm9 Cm9 Dm 9【分析】利用根的判别式0 列不等式求解即可【解答】解：抛
14、物线 yx 26x +m 与 x 轴没有交点，b 24ac0，（6） 241m0，解得 m9，m 的取值范围是 m9故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键7（3 分）如图钓鱼竿 AC 长 6m，露在水面上的鱼线 BC 长 3 m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 AC 逆时针转动 15到 AC的位置，此时露在水面上的鱼线 BC长度是（ ）A3m B m C m D4m【分析】因为三角形 ABC 和三角形 ABC均为直角三角形，且 BC、BC都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出CAB，进而得出C AB 的度数，然后可以求出鱼线 BC长
15、度【解答】解：sinCAB ，CAB45CAC15，CAB 60sin60 ，解得：BC3 故选：B【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题8（3 分）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做 6 个，甲做 30 个所用的时间与乙做 45 个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数如果设甲每小时做 x 个，那么可列方程为（ ）A B C D 【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程【解答】解：设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等，得，故选：A【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，
16、找到合适的等量关系是解决问题的关键9（3 分）用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）A cm B3 cm C4 cm D4cm【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以 2即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高【解答】解：L 4（cm）；圆锥的底面半径为 422（cm），这个圆锥形筒的高为 4 （cm ）故选：C【点评】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长 ；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形10（3 分）如图，正方形 AB
17、CDAB4，点 E 为 BC 边上点，连接 AE 延长至点 F 连接BF，若 tanFAB tan EBF ，则 AF 的长度是（ ）A B C D【分析】由三角函数得出 BE ，由勾股定理求出 AE ，证出BEF FBA，得出 ，设 EFx，则 BF3x，AF9x，由AFAE+EF 得出方程，解方程得出 EF 的长，即可得出 AF 的长【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABC90，tanFAB tanEBF ，AB4，BE ，FABEBF ，AE ，又FF，BEF FBA， ，设 EFx，则 BF3x，AF9x，AFAE+EF，9x +x，解得：x ，AFAE+EF + ；故选：D【点
18、评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键11（3 分）如图，ABCD 中，AB3，AD5，ACAB，E、F 为线段 BD 上两动点（不与端点重合）且 EF BD 连接 AE，CF ，当点 EF 运动时，对 AE+CF 的描述正确的是（ ）A等于定值 5 B有最大值C有最小值 D有最小值【分析】由平行四边形的性质得出 OBOD，OA OC，得出OBEFOD，BEOF，OEDF，由勾股定理求出 AC 4，OB ，当 BEO 时，AE+CF 的值最小，E 为 OB 的中点，由直角三角形的性质得出 AE OB，同理：
19、CF OD，即可得出结果【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，OBOD ，OA OC，EF BD，OBEFOD，BEOF ，OEDF，AB3，AD 5，ACAB，AC 4，OA2，OB ，当 BEOE 时，AE+CF 的值最小，E 为 OB 的中点，AE OB，同理：CF OD，AE+CFOB ，即 AE+CF 的最小值为 ；故选：D【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键12（3 分）如图，由小矩形组成的系列图形中第一个有 1 个矩形，第 2 个图形包含 3 个矩形，第三个包含 6 个矩形，按此规律则第 99
20、个图形包含（ ）个矩形A4950 B4960 C5061 D5120【分析】由于图 1 矩形有 1 个，图 2 矩形有 2+13 个，图 3 矩形有 3+2+16 个，由此即可得到第 99 个图形中矩形的个数【解答】解：由分析可知第 99 个包含 99+98+97+3+2+14950 个，故选：A【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，将答案填写在答题卡相应的横线上.13（3 分）因式分解：a 3bab ab（a+1）（a1） 【分析】此多项
21、式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 3 项，可采用平方差公式继续分解【解答】解：a 3babab（a 21）ab（a+1）（a1）故答案为：ab（a+1）（a1）【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解14（3 分）如图在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 是等腰直角三角形，OBA90，A（6， 0），点 B 位于第一象限，则点 B 关于原点的对称点 B的坐标是 （3，3） 【分析】如图，过点 B 作 BCAC 于点 C，根据等腰直角三角形的性质求得点 B
22、的坐标，然后结合“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点 O的对称点是 P（x ，y ） ”求得答案【解答】解：如图，过点 B 作 BCAC 于点 C，OAB 是等腰直角三角形，OBA90，OCAC3，BCOC3B（3，3）点 B 关于原点的对称点 B的坐标是（3，3）故答案是：（3，3）【点评】考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征根据等腰直角三角形的性质求得点 B 的坐标是解题的关键15（3 分）使代数式 + 有意义，则 x 的取值范围是 x 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案【解答】解：使代数式 + 有意义，则 ，解得： x 故答案为
23、： x 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确解不等式是解题关键16（3 分）在一个不透明的袋子里装有 5 个完全相同的乒乓球，把它们标号分别记为1，2，3，4，5，从中随机摸出两个小球，标号均为单数的概率为 【分析】画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有 20 中等可能结果，其中标号均为单数的有 6 种结果，所以标号均为单数的概率为 ，故答案为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率注意此题是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比17（3 分）如图，半径为 13 的等圆O 1 和O 2 相交与 A，B 两
24、点，延长 O1O2 与 O1 交于点 D，连接 BD 并延长与 O2 交于点 C，若 AB24，则 CD 【分析】连接 O1A，把 O1O2 向两方延长，交O 1 于 M、 N，由相交两圆的性质得：AEBE AB12，ABO 1O2，由勾股定理求出 O1EO 2E5，得出DE1358，O 1DO 2M3，由勾股定理求出 BD 4 ，再由相交弦定理即可得出 CD 的长【解答】解：连接 O1A，把 O1O2 向两方延长，交O 1 于 M、N ，如图所示：半径为 13 的等圆O 1 和O 2 相交与 A，B 两点，AEBE AB12，ABO 1O2，O 1EO 2E 5，DE1358，O 1DO 2
25、M13253，BD 4 ，DM 3+1316，DN13310，由相交弦定理得：BDCD DMDN，CD ；故答案为：【点评】本题考查了相交两圆的性质、勾股定理、相交弦定理等知识；熟练掌握相交两圆的性质，由相交弦定理求出 CD 是解题的关键18（3 分）如图，ABC 中，A90，ABDACB，AD AC，sinABD 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出 AB，进而利用三角函数解答即可【解答】解：A90，ABDACB，ABDACB， ，AD AC，AB ，BD ，sinABD ，故答案为： 【点评】此题考查解直角三角形问题，关键是根据相似三角形的判定和性质得出 AB三、解答题：本大题共 7 个
26、小题，共 86 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤19（16 分）（1）计算：（2）先化简，再求值： ，其中 x2【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1）1+4 2 + 11+2 2 + 1 ；（2） ，当 x2 时，原式 1【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法20（11 分）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计
27、图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：体重频数分布表组边 体重（千克） 人数A 45x50 12B 50x55 mC 55x60 80D 60x65 40E 65x70 16（1）填空：m 52 （直接写出结果）；在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于 144 度；（2）如果该校九年级有 1000 名学生，请估算九年级体重低于 60 千克的学生大约有多少人？【分析】（1）根据 D 组的人数及百分比进行计算即可得到 m 的值；根据 C 组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；（2）根据体重低于 60 千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于 60 千克的学
28、生数量【解答】解：（1）调查的人数为：4020% 200（人），m20012804016 52；C 组所在扇形的圆心角的度数为 360144；故答案为：52，144；（2）九年级体重低于 60 千克的学生大约有 1000720（人）【点评】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及频数分布表的运用，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系各部分扇形圆心角的度数部分占总体的百分比36021（11 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 吨产品甲需要 2 吨原材料 A；生产1 吨产品乙需要 3 吨原材料 A根据市场调研，产品甲、乙所获利润 y（万元）与其产量 x（吨）之间分别满足
29、函数关系：产品甲：yax 2+bx 且 x2 时，y2.6；x3 时，y3.6产品乙：y0.3x（1）求产品甲所获利润 y（万元）与其产量 x（吨）之间满足的函数关系；（2）若现原材料 A 共有 20 吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产，才能使得最终两种产品的所获利润最大【分析】（1）代入已知的两对变量值，用待定系数法求出 a、b 便可；（2）设产品甲生产了 x 吨，需要原料 A2x 吨，则可分配给新产品乙的原材料 A 有（222x）吨，则生产乙 吨，再求出总利润关于 x 的二次函数，运用二次函数的最值求法解答【解答】解：（1）根据题意得，解得， ，产品甲所获利润 y（万元）与
30、其产量 x（吨）之间满足的函数关系：y x（x 0）；（2）设产品甲生产了 x 吨，需要原料 A2x 吨，则可分配给新产品乙的原材料 A 有（222x）吨，则生产乙 吨，设甲、乙两种产品总的利润为 w，则w ，整理得，w ，即当且仅当生产甲 吨时，利润达到最大13 吨，20137 吨，答：20 吨材料 A 应分配给甲 13 吨，分配给乙 7 吨时，最终所获利润最大【点评】本题是二元一次方程组的应用与二次函数的应用的综合题，主要考查了列二元一次方程组解应用题，列二次函数解应用题，关键是根据题目中的数量关系列出方程组和函数解析式22（11 分）如图在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y2x2
31、的图象与函数y （k 0）的图象有交点为 A（m，2），与 y 轴交于点 B（1）求反比例函数的解析式；（2）若函数 y 在第一象限的图象上有一点 P，且POB 的面积为 6，求点 P 坐标【分析】（1）通过一次函数求出 m，即求出 A 的坐标；然后通过把 A 坐标代入反比例函数，求反比例函数解析式；（2）先确定POB 的面积以 OB 为底，CP 为高；OB 的长是固定的，只需要 CP 的长度；点 P 在反比例函数图象上，将它代入反比例函数，从而求出 P（x， ）即CPx； 从而列出 SPOB 6，即 x6，并求出 y 值，从而确定 P 的坐标；【解答】解：（1）由已知得点 A（m ，2）在函
32、数 y2x 2 图象上，故 2m22，解得 m2，即 A（2，2）并且点 A（2，2）也在函数 y 的图象上，2 解得 k4，所以反比例函数 y（2）过点 P 作 CPy 轴；POB 的面积以 OB 为底，CP 为高；在函数 y2x2 中，当 x0 时，y2即 OB2，设函数 y （x0）图象上点 P（x， ）S POB 6解得：x6，则 y此时点 p（6， ）【点评】这题主要考查：反比例函数、一次函数、三角形的面积公式等；当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强23（11 分）如图，BC 为O 的直径，A，D 是O 上两点，弧 AC弧 AD，AB 与 CD交于点 M，
33、延长 BD 至点 E，且与 CA 的廷长线交于点 E（1）求证：BEBC；（2）若 tanBCA ，AC3，求 DM 的长度【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质解答即可；（2）根据三角函数和相似三角形的判定和性质解答即可【解答】证明：（1）BC 为 O 的直径，A，D 是O 上两点，BACE，BDCD ，设ABE ，可得： AEB90 ， ，ABCABE，ACB90，AEB 90，AEB ACB，BCE 是等腰三角形，BEBC；（2） ，ABE ABCACD ，可得：AMCACB，tanAMC tanACB ，tanAMC ，解得：AM ，由（1）得 BEBC，且 BACE
34、 于点 A，EAAC3，ECEA+AC6，在 RtCDE 中，tanCEDtanBCA ，tanCED ，设 DEx，则 CD x，由 EC2DE 2+CD2，可得： ，解得：x ，DE ，CD ，ACMDCE，EDCMAC90，RtACMRtDCE， ，即 ，解得：CM ，DM CDCM 【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质解答24（12 分）已知抛物线 yax 24x +3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0），B 两点，与 y轴交于点 C（1）求抛物线解析式；（2）若点 P 为抛物线上点，当 PBPC 时，求点 P 坐标；
35、（3）若点 M 为线段 BC 上点（不含端点），且MAB 与ABC 相似，求点 M 坐标【分析】（1）将点 A 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PBPC 时，则点 P 在线段 BC 的垂直平分线上，即可求解；（3）M 为线段 BC 上点（不含端点），且MAB 与ABC 相似，利用 ，则MB ，即可求解【解答】解：（1）将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：0a4+3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx 24x +3，令 x0，则 y3，令 y0，则 x1 或 3，故点 C（0，3）、点 B（3， 0）；（2）PBPC 时，则点 P 在线段 BC 的垂直平分线上，线段 BC 的中点坐标为
36、（ ， ），则 BC 中垂线的 k 值为 1，过点（ ， ），则其表达式为：yx ，联立并求解得： x ，则点 P 坐标为（ ， ）或（ ， ）；（3）M 为线段 BC 上点（不含端点），且MAB 与ABC 相似，则MAB ACB，即： ，则 MB ，过点 M 分别作 x、y 轴的垂线交于点 H、G，OBOC3，CBO 45，则 MH MG MB ，OHOBBH ，即点 M（ ， ）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、线段的垂直平分线等知识，难度不大25（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，PEF 是边长为 5 的正三角形，P、E 在x 轴上，点 F 位
37、于 x 轴上方，其中 P（a，0）（5 a5）四边形 OABC 是边长为 5的正方形，A、C 均在坐标轴上，且 B（5，5），M 为 AB 边上点，且 AM OE，N 为点 M 关于直线 OB 对称的点（1）求证：OPAE ；（2）如图 1，当PEF 沿 x 轴运动使得 N、F 、E 三点在同一条直线上时，求此时MNE 与正方形 OABC 重叠部分的面积；（3）当PEF 从最左边沿 x 轴向右运动，到达（2）所在位置时停止，在这一过程中用y 表示四边形 MNFE 面积，求 y 与 a 的函数关系式【分析】（1）根据等边三角形和正方形的性质可得：PEOA5，得 OPAE；（2）如图 1，分别表示
38、 DM 和 BN 的长，根据三角形的面积公式可得：MNE 与正方形 OABC 重叠部分的面积DMN 的面积；（3）如图 2，作辅助线，构建高线，将四边形 FNME 的面积分成两个三角形的面积进行计算，可得结论【解答】（1）证明：PEF 是边长为 5 的正三角形，PE5，四边形 OABC 是边长为 5 的正方形，OA5，OAPE，OP+ APAP +AE，OPAE；（2）如图 1，RtADE 中，DEA60，ADE30，AEOP a，AD a，AM OE ，BMBN5 ，DM AMAD a，RtDBN 中， BD5 a，BNBDtan30 ， ，a ，MNE 与正方形 OABC 重叠部分的面积S
39、 DMN DMBN +25 ；（3）如图 2，延长线段 EF 与直线 BC 交于点 Q1，过点 N 作 NQQ 1E 于点 Q，延长NM 与 x 轴交于点 H1，作 EHNH 1 于点 H，连接 EN，则 NQ 是EFN 中 EF 边上的高，EH 是MNE 中 MN 边上的高，OEPEOP5（a） 5+a，同理得：OD OE （5+a），CD5OD5 （5+ a）55 a，CQ 1 a，Q1（ a+ ，5），N（ ，5），所以 Q1N （a+ ） + ，在 Rt Q1NQ 中，QQ 1N60，QNQ 1Nsin60（ ） a+ ，S EFN ；在 RtMAH 1 中，MH 1A45，AH 1AM ，OH 1OA +AH15+ ，EH 1OH 1 OE （a+5） ，在 Rt EHH1 中，HH 1E45，EHEH 1sin45 ，易得 MN BM ，S EMN MNEH ，故由得： yS ENF +SEMN + ；即 y （5a ）【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，三角形面积，应用直角三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，利用参数表示线段的长是本题的关键
