1、2019 年四川省绵阳市江油市中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求）1（3 分）下列各数中，最小的实数是（ ）A B1 C0 D2（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa+ aa 2 B（2a） 36a 3 Ca 3a32a 3 Da 3aa 23（3 分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）A B C D4（3 分）为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6已知他们平均每人捐 5 本，则这组数据的众数、中位数和方
2、差分别是（ ）A5，5， B5，5，10 C6，5.5， D5，5，5（3 分）在联欢会上，甲、乙、丙 3 人分别站在不在同一直线上的三点 A、B、C 上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是ABC 的（ ）A三条高的交点 B重心C内心 D外心6（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（3，6）、B（9，3），以原点O 为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小，则点 B 的对应点 B的坐标是（ ）A（3，1） B（1，2）C（9，1）或（9，1） D（3， 1）或（3，1）7（3 分）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在
3、一起平放在桌面上已知铁片的圆心为 O，三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点 A 落在直尺的 14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为 B，下列说法错误的是（ ）A圆形铁片的半径是 4cm B四边形 AOBC 为正方形C弧 AB 的长度为 4cm D扇形 OAB 的面积是 4cm28（3 分）要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是 4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）A288 B144 C216 D1209（3 分）已知方程组 的解 x，y 满足 x+2y0，则 m 的取值范围是（ ）Am B m 1 Cm1 Dm 110（3 分）如图，某
4、海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30方向，保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为（ ）A40 海里 B60 海里 C20 海里 D40 海里11（3 分）如图示，若ABC 内一点 P 满足PAC PBAPCB ，则点 P 为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（ALCrelle 17801855 ）于 1816 年首次发现，但他的发现并
5、未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，EDF90，若点 Q 为DEF 的布洛卡点， DQ1，则 EQ+FQ（ ）A5 B4 C D12（3 分）已知抛物线 yax 2+bx+c（ba0）与 x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：该抛物线的对称轴在 y 轴左侧；关于 x 的方程 ax2+bx+c+20 无实数根；ab +c0； 的最小值为 3其中，正确结论的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，
6、共 18 分.）13（3 分）使函数 y +（2x1） 0 有意义的 x 的取值范围是 14（3 分）某病毒的直径是 0.000 068 毫米，这个数据用科学记数法表示为 毫米15（3 分）若实数 m、n 满足 |m2|+ 0，且 m，n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长是 16（3 分）一个布袋内只装有一个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是 17（3 分）设 S11+ + ，S 21+ + ，S 31+ + ，S n1+ +，设 S + + ，则 S （用含 n 的代数式表示，其中 n为正
7、整数）18（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AD5，AB8，点 E 为 DC 上一个动点，把ADE沿 AE 折叠，若点 D 的对应点 D，连接 DB，以下结论中：DB 的最小值为 3；当 DE 时，ABD 是等腰三角形；当 DE2 是， ABD 是直角三角形；ABD不可能是等腰直角三角形；其中正确的有 （填上你认为正确结论的序号）三、解答题：（本大题共 7 个小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（16 分）（1）2sin30 （ ） 0| 1|+（ ） 1（2）先化简，再求值： ，其中 x 220（11 分）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取
8、该年级部分男生进行了一次测试（满分 50 分，成绩均记为整数分），并按测试成绩 m（单位：分）分成四类：A 类（45m50 ），B 类（40m 45）， C 类（35m 40），D 类（m35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中 A 类所对的圆心角的度数；（2）若该校九年级男生有 500 名，D 类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？21（11 分）如图，反比例函数 y （x0）过点 A（ 3，4），直线 AC 与 x 轴交于点C（6，0），过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图
9、象于点 B（1）求 k 的值与 B 点的坐标；（2）在平面内有点 D，使得以 A，B，C，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 D 点的坐标22（11 分）对于实数 m、 n，我们定义一种运算“”为：m nmn+m+n（1）化简：（a+b）（ab）（2）解关于 x 的方程：x （1x ）323（11 分）我市公交总公司为节约资源同时惠及民生，拟对一些乘客数量较少的路线投放“微型”公交车该公司计划购买 10 台“微型”公交车，现有 A、B 两种型号，已知购买一台 A 型车比购买一台 B 型车多 20 万元，购买 2 台 A 型车比购买 3 台 B 型车少 60万元（1）问购买
10、一台 A 型车和一台 B 型车分别需要多少万元？（2）经了解，每台 A 型车每年节省 2.4 万元，每台 B 型车每年节省 2 万元，若购买这批公交车每年至少节省 22.4 万，则购买这批公交车至少需要多少万元？24（12 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为 BC 的中点，延长 OD 交弧 BC 于点 E，点F 为 OD 的延长线上，CF 切 于 C（1）求证：FB（2）若 DE1，ABC30求 cosDAB 的值25（14 分）如图，直线 y x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B抛物线y x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C（1）求抛物线的解
11、析式；（2）点 P 是第一象限抛物线上的点，连接 OP 交直线 AB 于点 Q设点 P 的横坐标为m，PQ 与 OQ 的比值为 y，求 y 与 m 的函数关系式，并求出 PQ 与 OQ 的比值的最大值；（3）点 D 是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD、CD ，设 ODC 外接圆的圆心为 M，当 sinODC 的值最大时，求点 M 的坐标2019 年四川省绵阳市江油市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求）1（3 分）下列各数中，最小的实数是（ ）A B1 C0 D【分析】对于正数、负数、
12、0 的比较应该很简单，关键在于对两个负数的比较，所以比较 与1 的大小成了本题的关键【解答】解： 与 0 一定大于负数，所以考查 与1 的大小| | ， |1|1，则 1 1以上各数中，最小的数是1故选：B【点评】本题考查的是有理数的大小比较，关键是正确的对两个负数利用绝对值进行比较2（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa+ aa 2 B（2a） 36a 3 Ca 3a32a 3 Da 3aa 2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）原式2a，故 A 错误；（B）原式8a 3，故 B 错误；（C）原式a 6，故 C 错误；故选：D【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练
13、运用整式的运算法则，本题属于基础题型3（3 分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）A B C D【分析】找到从左面看所得到的图形即可【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图4（3 分）为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6已知他们平均每人捐 5 本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（ ）A5，5， B5，5，10 C6，5.5， D5，5，【分析】根据平均数，可得 x 的值，根据众数的定义、中位数的定义、方差
14、的定义，可得答案【解答】解：由 5，7，x，3，4，6已知他们平均每人捐 5 本，得x5众数是 5，中位数是 5，方差 ，故选：D【点评】本题考查了方差，利用方差的公式计算是解题关键5（3 分）在联欢会上，甲、乙、丙 3 人分别站在不在同一直线上的三点 A、B、C 上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是ABC 的（ ）A三条高的交点 B重心C内心 D外心【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上【解答】解：三角形的三条垂直平分线的交点到中间
15、的凳子的距离相等，凳子应放在ABC 的三条垂直平分线的交点最适当故选：D【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键6（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（3，6）、B（9，3），以原点O 为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小，则点 B 的对应点 B的坐标是（ ）A（3，1） B（1，2）C（9，1）或（9，1） D（3， 1）或（3，1）【分析】利用以原点为位似中心，相似比为 k，位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k，把 B 点的横纵坐标分别乘以 或 即可得到点 B的坐标
16、【解答】解：以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把 ABO 缩小，点 B（9，3）的对应点 B的坐标是（3，1）或（3，1）故选：D【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k7（3 分）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上已知铁片的圆心为 O，三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点 A 落在直尺的 14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为 B，下列说法错误的是（ ）A圆形铁片的半径是 4cm B四边形 AOBC 为正方形C弧 AB 的长度为 4cm D
17、扇形 OAB 的面积是 4cm2【分析】由 BC，AC 分别是O 的切线，B，A 为切点，得到 OACA，OBBC，又C90，OAOB，推出四边形 AOBC 是正方形，得到 OAAC 4，故 A，B 正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断【解答】解：由题意得：BC ，AC 分别是O 的切线，B，A 为切点，OACA，OBBC，又C90，OAOB，四边形 AOBC 是正方形，OAAC4，故 A，B 正确； 的长度为： 2，故 C 错误；S 扇形 OAB 4，故 D 正确故选：C【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键8（
18、3 分）要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是 4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）A288 B144 C216 D120【分析】根据底面圆的半径与母线长的比设出二者，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算即可【解答】解：底面圆的半径与母线长的比是 4：5，设底面圆的半径为 4x，则母线长是 5x，设圆心角为 n，则 24x ，解得：n288，故选：A【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长9（3 分）已知方程组 的解 x，y 满足 x+2y0，则 m 的取值范围是（ ）Am B m 1 Cm1 Dm
19、1【分析】把两个方程相减后 得出 x+2y 的值，再代入不等式解答即可【解答】解：两个方程相减得：2x+4y1m ，整理可得：x+2y ，把 x+2y 代入 x+2y 0 中，可得： 0，解得：m1，故选：C【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键10（3 分）如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30方向，保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为（ ）A4
20、0 海里 B60 海里 C20 海里 D40 海里【分析】首先证明 PBBC，推出C30，可得 PC 2PA，求出 PA 即可解决问题；【解答】解：在 RtPAB 中，APB30，PB2AB，由题意 BC2AB，PBBC，CCPB，ABP C+CPB60 ，C30，PC2PA，PAABtan60 ，PC220 40 （海里），故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是证明 PBBC，推出C3011（3 分）如图示，若ABC 内一点 P 满足PAC PBAPCB ，则点 P 为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A
21、LCrelle 17801855 ）于 1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，EDF90，若点 Q 为DEF 的布洛卡点， DQ1，则 EQ+FQ（ ）A5 B4 C D【分析】由DQFFQE，推出 ，由此求出 EQ、FQ 即可解决问题【解答】解：如图，在等腰直角三角形DEF 中，EDF90，DEDF，123，1+QEF3+DFQ 45，QEFDFQ，23，DQF FQE， ，DQ1，FQ ，EQ2，EQ+ FQ2+ ，故选
22、：D【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型12（3 分）已知抛物线 yax 2+bx+c（ba0）与 x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：该抛物线的对称轴在 y 轴左侧；关于 x 的方程 ax2+bx+c+20 无实数根；ab +c0； 的最小值为 3其中，正确结论的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】从抛物线与 x 轴最多一个交点及 ba0，可以推断抛物线最小值最小为 0，对称轴在 y 轴左侧，并得到 b24ac0，从而得到为正确；由 x1 及 x2时 y 都大于或等于零可以得到
23、正确【解答】解：ba0 0，所以 正确；抛物线与 x 轴最多有一个交点，b 24ac0，关于 x 的方程 ax2+bx+c+20 中，b 24a（c +2）b 24ac8a0，所以 正确；a0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点，x 取任何值时，y 0当 x1 时，ab+c 0；所以 正确；当 x2 时，4a2b+c 0a+b+c3b3aa+b+c3（ba）3所以 正确故选：D【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确 a 的符号决定了抛物线开口方向；a、b 的符号决定对称轴的位置；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b24ac 的符号二、填空题：（本大题共 6 个小
24、题，每小题 3 分，共 18 分.）13（3 分）使函数 y +（2x1） 0 有意义的 x 的取值范围是 x3 且 【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案【解答】解：由题意，得，解得 x3 且 故答案为：x3 且 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键14（3 分）某病毒的直径是 0.000 068 毫米，这个数据用科学记数法表示为 6.810 5 毫米【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的
25、0 的个数所决定【解答】解：0.000 0686.810 5 故答案为：6.810 5 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定15（3 分）若实数 m、n 满足 |m2|+ 0，且 m，n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长是 10 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求 m、n 的值，再根据 m、n 分别作为等腰三角形的腰，分类求解【解答】解：|m2|+ 0，m20，n40，解得 m2，n4，当 m2 作腰时，三边为 2， 2，4，不符合三边关系定理；当 n4 作腰时，
26、三边为 2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+410故答案为：10【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质关键是根据非负数的性质求m、n 的值，再根据 m 或 n 作为腰，分类求解16（3 分）一个布袋内只装有一个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有 4 种情况，两次摸出的球都是黄球的概率是 ，故答案为
27、： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比17（3 分）设 S11+ + ，S 21+ + ，S 31+ + ，S n1+ +，设 S + + ，则 S （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）【分析】根据已知等式得出一般性规律，表示出 Sn，代入 表示出 ，代入 S 中计算即可得到结果【解答】解：根据题意得：S 11+ + 1+1+ ，S 21+ + 1+ + ，S 31+ + 1+ + ，Sn1+ + ， 1+ 1+ ，则S
28、+ + 1+1 +1+ +1+ n+1 故答案为： 【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键18（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AD5，AB8，点 E 为 DC 上一个动点，把ADE沿 AE 折叠，若点 D 的对应点 D，连接 DB，以下结论中：DB 的最小值为 3；当 DE 时，ABD 是等腰三角形；当 DE2 是， ABD 是直角三角形；ABD不可能是等腰直角三角形；其中正确的有 （填上你认为正确结论的序号）【分析】解：当 D落在线段 AB 上时，D B 的值最小，此时 DBABAD3，得出正确；过 D作 MNAB 交 AB 于点 N，交 CD 于点 M，设 ANx，
29、则 EMx 2.5，证出EDM DAN，因此EMDDNA，得出对应边成比例 ，求出 x4，得出 ANBN，因此 ADDB，得出正确；当 DE2 时，假设ABD是直角三角形，则 E、D 、B 在一条直线上，作 EFAB于点 F，由勾股定理求出 D B、EB，得出不正确；当 ADDB 时，由勾股定理的逆定理得出ABD不是直角三角形，当ABD是直角三角形时，由勾股定理求出 DB，得出 ADDB，因此ABD不可能是等腰直角三角形，得出正确【解答】解：当 D落在线段 AB 上时，D B 的值最小，如图 1 所示：此时 DBAB AD85 3，正确；过 D作 MNAB 交 AB 于点 N，交 CD 于点
30、M，如图 2 所示：设 ANx，则 EMx2.5，ADNDAD，EDM180AD E AD N 18090ADN90AD N，EDM 90DAD，DAN90DAD ，EDM DAN，MNAB，EMDAND，EMDDNA， ，即 ，解得：x4，ANBN，ADDB，即ABD是等腰三角形，正确；当 DE2 时，假设ABD是直角三角形，则 E、D、B 在一条直线上，作 EFAB 于点 F，如图 3 所示：DB ，EB ，2+ ，不正确；当 ADDB 时，5 2+528 2，ABD不是直角三角形，当ABD是直角三角形时，D B ，ADDB，ABD不可能是等腰直角三角形，正确；故答案为：【点评】本题考查了
31、矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键三、解答题：（本大题共 7 个小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（16 分）（1）2sin30 （ ） 0| 1|+（ ） 1（2）先化简，再求值： ，其中 x 2【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案（2）根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：（1）原式2 1+ 1+2 +1；（2）原式 ，当 x 2 时，原式2 1；【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练实数的运算法
32、则以及分式的运算法则，本题属于基础题型20（11 分）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分 50 分，成绩均记为整数分），并按测试成绩 m（单位：分）分成四类：A 类（45m50 ），B 类（40m 45）， C 类（35m 40），D 类（m35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中 A 类所对的圆心角的度数；（2）若该校九年级男生有 500 名，D 类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？【分析】（1）用 A 类别人数除以其所占百分比可
33、得样本容量，再用 360乘以 A 类别百分比可得其所对圆心角度数；（2）用总人数乘以样本中达标人数所占百分比可得【解答】解：（1）本次抽取的样本容量为 1020%50，扇形统计图中 A 类所对的圆心角的度数为 36020% 72；（2）估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有 500（1 ）470 名【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21（11 分）如图，反比例函数 y （x0）过点 A（ 3，4），直线 AC 与 x 轴交于点C（6，0），过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图象于点 B（1）求 k 的值与 B 点
34、的坐标；（2）在平面内有点 D，使得以 A，B，C，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 D 点的坐标【分析】（1）将 A 点的坐标代入反比例函数 y 求得 k 的值，然后将 x6 代入反比例函数解析式求得相应的 y 的值，即得点 B 的坐标；（2）使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意 D的坐标即可【解答】解：（1）把点 A（3，4）代入 y （x0），得kxy 3412，故该反比例函数解析式为：y 点 C（6，0），BCx 轴，把 x6 代入反比例函数 y ，得y 2则 B（6，2）综上所述，k 的值是 12，B 点的坐标是（6，2）
35、（2） 如图，当四边形 ABCD 为平行四边形时，AD BC 且 ADBCA（3，4）、B（6，2）、C （6，0），点 D 的横坐标为 3，y Ay Dy By C 即 4y D20，故 yD2所以 D（3，2）如图，当四边形 ACBD为平行四边形时，AD CB 且 ADCBA（3，4）、B（6，2）、C （6，0），点 D 的横坐标为 3，y D yAy By C 即 yD420，故 yD 6所以 D（3，6）如图，当四边形 ACDB 为平行四边形时，AC BD且 ACBDA（3，4）、B（6，2）、C （6，0），x D x Bx Cx A 即 xD 663，故 xD 9yD y By
36、C yA 即 yD 2 04，故 yD 2所以 D（9，2）综上所述，符合条件的点 D 的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（2）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想22（11 分）对于实数 m、 n，我们定义一种运算“”为：m nmn+m+n（1）化简：（a+b）（ab）（2）解关于 x 的方程：x （1x ）3【分析】（1）根据公式列式计算可得；（2）根据新定义计算左边可得关于 x 的一元二次方程，解之可得【解答】解：（1）mn mn+m+n，（a+b）（ab）（a+
37、b）（ab）+ a+b+aba 2b 2+2a；（2）x（1x ）3，2x 2+4x+13，x 11+ ，x 21 【点评】本题主要考查解一元二次方程和整式的运算，解题的关键是掌握新定义及解一元二次方程的能力23（11 分）我市公交总公司为节约资源同时惠及民生，拟对一些乘客数量较少的路线投放“微型”公交车该公司计划购买 10 台“微型”公交车，现有 A、B 两种型号，已知购买一台 A 型车比购买一台 B 型车多 20 万元，购买 2 台 A 型车比购买 3 台 B 型车少 60万元（1）问购买一台 A 型车和一台 B 型车分别需要多少万元？（2）经了解，每台 A 型车每年节省 2.4 万元，每
38、台 B 型车每年节省 2 万元，若购买这批公交车每年至少节省 22.4 万，则购买这批公交车至少需要多少万元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到 y 与 x 的函数关系式，然后求出 x 的取值范围，即可解答本题【解答】解：（1）设购买一台 A 型车和一台 B 型车分别需要 a 万元、b 万元，得 ，答：购买一台 A 型车和一台 B 型车分别需要 120 万元、100 万元；（2）设 A 型车购买 x 台，则 B 型车购买（10x ）台，需要 y 元，y120x+100（ 10x ）20x+1000，2.4x+2（10x ）22.4，x6，当 x
39、6 时，y 取得最小值，此时 y1120，答：购买这批公交车至少需要 1120 万元【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答24（12 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为 BC 的中点，延长 OD 交弧 BC 于点 E，点F 为 OD 的延长线上，CF 切 于 C（1）求证：FB（2）若 DE1，ABC30求 cosDAB 的值【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到OCBB，根据垂径定理得到OFBC，根据切线的性质得到 OCCF ，根据余角的性质得到FBCO，于是得到
40、结论；（2）设O 的半径为 r，解直角三角形求得 OD OB r，进而解得 r2，过 D 作DHAB 于 H，根据三角形函数求得 DH ，OH ，根据勾股定理得到AD ，于是得到结论【解答】解：（1）连接 OC，D 是 BC 的中点，OCOB，ODBC，BCO+COD90FC 是O 的切线，OCCF，F+COF90，FBCO，OCOB，OCBB，BF ；（2）设O 的半径为 r，ODBC，且ABC30，OD OB r，DE1，且 OEOD+DE，r1+r ，解得 r2，过 D 作 DHAB 于 H，在 Rt ODH 中DOH60 ，OD 1，DH ，OH ，在 Rt DAH 中，AHAO+OH
41、 ，AD ，cosDAB 【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键25（14 分）如图，直线 y x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B抛物线y x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是第一象限抛物线上的点，连接 OP 交直线 AB 于点 Q设点 P 的横坐标为m，PQ 与 OQ 的比值为 y，求 y 与 m 的函数关系式，并求出 PQ 与 OQ 的比值的最大值；（3）点 D 是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD、CD ，设 ODC 外接圆的圆心为 M，当 s
42、inODC 的值最大时，求点 M 的坐标【分析】（1）根据直线解析式求得点 A、B 的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 E，据此知PEQ OBQ ，根据对应边成比例得 y PE，由 P（m， m2+ m+3）、E（m ， m+3）得 PE m2+ m，结合 y PE 可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；（3）设 CO 的垂直平分线与 CO 交于点 N，知点 M 在 CO 的垂直平分线上，连接OM、CM 、DM，根据ODC CMO OMN、MCMOMD 知sinODCsinOMN ，当 MD 取最小值时，sinODC 最大，据此
43、进一步求解可得【解答】解：（1）在 y x+3 种，令 y0 得 x4，令 x0 得 y3，点 A（4，0）、B（0，3），把 A（4，0）、B（0，3）代入 y x2+bx+c，得：，解得： ，抛物线解析式为 y x2+ x+3；（2）如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 E，则PEQOBQ， ， y、OB3，y PE，P（m， m2+ m+3）、E（m ， m+3），则 PE（ m2+ m+3）（ m+3） m2+ m，y （ m2+ m） m2+ m （m 2） 2+ ，0m4，当 m2 时，y 最大值 ，PQ 与 OQ 的比值的最大值为 ；（3）由抛物线 y x2+ x
44、+3 易求 C（2，0），对称轴为直线 x1，ODC 的外心为点 M，点 M 在 CO 的垂直平分线上，设 CO 的垂直平分线与 CO 交于点 N，连接 OM、CM、DM，则ODC CMOOMN、MCMOMD，sinODC sin OMN ，又 MO MD，当 MD 取最小值时， sinODC 最大，此时 M 与直线 x1 相切，MD2，MN ，点 M（1， ），根据对称性，另一点（1， ）也符合题意；综上所述，点 M 的坐标为（ 1， ）或（1， ）【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点
