1、第一章 数列,章末复习课,1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 知识网络,知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式,知识点三 本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想,1.在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了 法和 法； 2.在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了 法和 法. 3.等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意 个求其余 个，用到了方程思想. 4.在研究等差数列和等比数列单调性
2、，等差数列前n项和最值问题时，都用到了 思想. 5.等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了 .,累加,累乘,倒序相加,位相减,错,三,两,函数,类比,题型探究,类型一 方程思想求解数列问题,例1 设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和.已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列. (1)求数列an的通项；,解答,故数列an的通项为an2n1.,(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.,解答,由于bnln a3n1，n1,2， 由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2. 又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，
3、,反思与感悟,在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.,跟踪训练1 记等差数列 的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a3 1成等比数列，求Sn.,解答,类型二 转化与化归思想求解数列问题,例2 在数列an中，Sn14an2，a11. (1) 设cn ，求证数列cn是等差数列；,证明,由Sn14an2， 则当n2，nN时，有Sn4an12. 得an14an4an1. 方法一 对an14
4、an4an1两边同除以2n1，得,即cn1cn12cn， 数列cn是等差数列.,由Sn14an2，得a1a24a12，则a23a125，,方法二 an12an2an4an12(an2an1)， 令bnan12an， 则bn是以a22a14a12a12a13为首项，2为公比的等比数列， bn32n1，,(2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式.,解答,设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2， 2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1， 故Sn2SnSn,(31)213(20212n2)(3n1)2n1,13(3n4)2n1 2(3n4)2n1. 数列an的通项公式为an(3
5、n1)2n2，前n项和公式为Sn2(3n4)2n1，nN.,反思与感悟,由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.,跟踪训练2 设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN). (1)求a2，a3的值；,a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN)， 当n1时，a1212； 当n2时，a12a2(a1a2)4，a24； 当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.,解答,(2)求证：数列Sn2是等比数列.,证明,a12a23a3
6、nan(n1)Sn2n(nN*)， 当n2时，a12a23a3(n1)an1 (n2)Sn12(n1). 得nan(n1)Sn(n2)Sn12 n(SnSn1)Sn2Sn12 nanSn2Sn12. Sn2Sn120，即Sn2Sn12， Sn22(Sn12). S1240，Sn120，, 2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.,类型三 函数思想求解数列问题,命题角度1 借助函数性质解数列问题 例3 已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项. (1)求数列an的通项公式；,解答,由题意得(a1d)(a113d)(a14d
7、)2， 整理得2a1dd2.d0，d2. a11.an2n1 (nN).,(2)设bn (nN)，Snb1b2bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn 总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由.,解答,数列Sn是递增的.,又tZ，适合条件的t的最大值为8.,反思与感悟,数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或1,2,3，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响.,跟踪训练3 已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN)，且S3a3，S5a5，S4a4
8、成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,解答,设等比数列an的公比为q， 因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列， 所以S5a5S3a3S4a4S5a5，,(2)设TnSn (nN)，求数列Tn最大项的值与最小项的值.,解答,命题角度2 以函数为载体给出数列 例4 已知函数f(x)2|x|，无穷数列an满足an1f(an)，nN. (1)若a10，求a2，a3，a4；,解答,由an1f(an)an12|an|， a10a22，a30，a42.,(2)若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.,解答,a12|2|a1|(2a1)2a12|2a1|， 分情况讨论：,反思与感悟,以
9、函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题.,跟踪训练4 已知函数f(x) ，数列an满足 a11，an1 ，nN. (1)求数列an的通项公式；,解答,(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.,解答,Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1 a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1),当堂训练,设等差数列an的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得9(2a1d)， 4a16d4(2a1d ). 由得d2a1，代入有 36a1， 解得a10或a136. 将a10舍去.因此a136，d72， 故数列an的通项公式an36(n1)72
10、72n3636(2n1).,1.设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前n项和(nN)，且 9S2，S44S2，则数列an的通项公式是_.,答案,解析,1,2,3,an36(2n1),1,2,3,2.若数列an的前n项和Sn n2 n(n1,2,3，)，则此数列的通项公 式为_；数列nan中数值最小的项是第_项.,答案,解析,an3n16,3,所以n3时，nan的值最小.,1,2,3,3.设等差数列an的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn，已知a11，b13，a3b317，T3S312，求an、bn的通项公式.,解答,设数列an的公差为d，数列bn的公比为q. 由a3b317得12d3q217， 由T3S312得q2qd4. 由、及q0解得q2，d2. 故所求的通项公式为an2n1，bn32n1.,规律与方法,1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题. 2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.,本课结束,
