1、第2章 数 列,章末复习提升,一、本章知识网络,二、知识要点归纳,三、题型探究,栏目索引,四、思想方法总结,一、本章知识网络,返回,二、知识要点归纳,1.数列的概念及表示方法 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数. (2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法. (3)分类：按项数有限还是无限分为 和 ；按项与项之间的大小关系可分为 、 、 和 .,答案,有穷数列,无穷数列,递增数列,递减数列,摆动数列,常数列,2.求数列的通项 (1)数列前n项和Sn与通项an的关系：,(2)当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利
2、用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(n2).,答案,SnSn1，n2,(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项. (5)归纳、猜想、证明法.,3.等差、等比数列的性质,2,4.求数列的前n项和的基本方法 (1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式； (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列； (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和； (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (5)倒序相加：例如等差数列前n项和公式
3、的推导； (6)并项求和法：适用于正负相间的数列.,返回,三、题型探究,题型一 数列的实际应用 例1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.,请你根据提供的信息说明，求： (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由.,解析答案,反思与感悟,解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记
4、为数列an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.,解析答案,反思与感悟,c2a2b21.22631.2. 所以第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数是31.2万. (2)c6a6b621020c1a1b130， 所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了. (3)an1(n1)0.20.2n0.8， bn30(n1)(4)4n34(1n6)， cnanbn(0.2n0.8)(4n34) 0.8n23.6n27.2(1n6). 对称轴为n 9 4
5、 ，所以当n2时，cn最大. 所以第2年的规模最大.,反思与感悟,解决与数列有关的应用题应注意以下几点： (1)题目中用到的数列是等差数列还是等比数列. (2)题目中要求的是数列的项还是和. (3)所用的数列的首项是哪个. (4)得出的结论是否符合实际.,反思与感悟,跟踪训练1 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2014年年底分红后的资金为1 000万元. (1)求该企业2018年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.,解析答案,解 设an为(2014n)年年底分红后的资金，其中nN*，
6、 则a121 0005001 500， a221 5005002 500， ， an2an1500(n2). 所以an5002(an1500)(n2)， 即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列. 所以an5001 0002n1， 所以an1 0002n1500.,解析答案,(1)a41 0002415008 500， 所以该企业2018年年底分红后的资金为8 500万元. (2)由an32 500，即2n132，得n6， 所以该企业从2021年开始年底分红后的资金超过32 500万元.,解析答案,题型二 数列的交汇问题,(1)求数列an的通项公式；,解析答案,a121
7、.,解析答案,反思与感悟,nN*，n2 002，故当n2 002时，bn最大.,反思与感悟,反思与感悟,数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处.它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点.,跟踪训练2 已知二次函数f(x)x2axa(xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立.设数列an的前n项和Snf(n). (1)求f(x)的表达式；,解析答案,解 f(x)0的解集有且只有一个元素， a24a0，a0或a4. 当a4时，函数f(x)x
8、24x4在(0,2)上递减，故存在0x1x2，使f(x1)f(x2)成立； 而当a0时，f(x)x2在(0，)上递增，不合题意. 故a4，f(x)x24x4.,(2)求数列an的表达式.,解 由(1)知，Snn24n4. 当n2时，anSnSn1 (n24n4)(n1)24(n1)42n5， 当n1时，a1S11不适合上式，,解析答案,返回,1.转化与化归思想求数列通项 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种方法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.,四、思想方法总结,例3 已知数列an满足an12an32n，a
9、12，求数列an的通项公式.,解 an12an32n两边除以2n1，得,解析答案,跟踪训练3 已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式.,解析答案,解 设an1x5n12(anx5n) 将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n， 等式两边消去2an，得35nx5n12x5n， 两边除以5n，得35x2x，则x1， 代入式得an15n12(an5n) 由a1516510及式得， an5n0，则 an15n1 an5n 2. an5n是以1为首项，2为公比的等比数列， an5n12n12n1， an2n15n(nN*).,2.方程思想解数列问题 在等
10、差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，d(q)，Sn，其中首项a1和公差d(公比q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，d(q)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.,例4 等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11且b2S264，b 是公比为64的等比数列，求an，bn的通项公式.,解析答案,an,解 设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.,由q(6d)64知q为正有理数，又由q2 知d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8， 故an2n1，bn8n1.,an1,an,6 d,跟踪训练4 等差数列an的前n项和为Sn，a11 2 ，S393 2 .求数列an的通项an与前n项和Sn.,解析答案,解 设数列an的公差为d，由题意得,1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题. 2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.,返回,课堂小结,
