1、7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积,第一章 7 简单几何体的面积和体积,学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积. 2.掌握求几何体体积的基本技巧.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 柱、锥、台体的体积公式,Sh,(S上S下 )h,Sh,知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,思考辨析 判断正误 1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) 2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ),题型探究,例1 如图是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图，求正三棱柱ABCA
2、1B1C1的体积.,类型一 多面体的体积,解答,解 由主视图可知，在正三棱柱中，,反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解. (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.,跟踪训练1 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为,解析,答案,解析 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 截去三棱锥A1AB1D1. 设正方体
3、的棱长为a，,类型二 旋转体的体积,例2 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.,解析,答案,解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，,(2)体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为 A.54 cm3 B.54 cm3 C.58 cm3 D.58 cm3,解析 由底面面积之比为19知，体积之比为127. 截得的小圆锥与圆台体积比为126， 小圆锥的体积为2 cm3， 故原来圆锥的体积为54 cm3，故选A.,答案,解析,反思与
4、感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答. (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解. (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.,跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为_.,21,答案,解析,解析 设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1DAB于点D，则A1D3，A1AB60， 又BA1A90， BA
5、1D60，,21. 圆台的体积为21.,类型三 几何体体积的求法,命题角度1 等体积法 例3 如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积.,解答,解,又三棱锥FA1D1E的高为CDa，,反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理. (2)利用等体积法可求点到面的距离.,跟踪训练3 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1ABD中，求A到平面A1BD的距离d.,解答,解 在三棱锥A1ABD中，AA1是三棱锥A1ABD的高，,命题角度2 割补法 例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知面AB
6、CD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积.,解答,解 如图，连接EB，EC，AC. 四棱锥EABCD的体积VEABCD 42316. 因为AB2EF，EFAB， 所以SEAB2SBEF.所以该多面体的体积VVEABCDVFEBC16420.,反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择.,跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积
7、.,解答,解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.,达标检测,1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，解得r4.,1,2,3,4,5,2,3,3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是 A.186 B.62 C.24 D.18,4,5,1,答案,解析,4.某几何体的三视图如图所示，其体积为_.,解析 由三视图可知该几何体是半个圆锥，,答案
8、,解析,2,3,4,5,1,5.如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降_cm.,2,3,4,5,1,0.6,答案,解析,2,3,4,5,1,解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积. 设水面下降的高度为x cm，则得x0.6 cm.,1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥ABCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VABCD，h .这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换 顶点法求解，即VABCDVBACDVCABDVDABC，求解的原则是V易求，且BCD的面积易求. 3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.,规律与方法,
