1、第4课时 直线与平面垂直的性质,第1章 1.2.3 直线与平面的位置关系,学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理. 2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题. 3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线与平面垂直的性质定理,思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？,答案 平行.,梳理,平行,思考辨析 判断正误 1.若l，则过l有无数个平面与垂直.( ) 2.两垂直平面的二面角的平面角大小为90.( ),题型探究,例1 如图所示，在正方体ABC
2、DA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.,类型一 线面垂直的性质定理及应用,证明,证明 因为ADD1A1为正方形， 所以AD1A1D. 又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1. 因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.,引申探究 若本例的条件不变，求证：M是AB的中点.,证明,证明 连结ON，在A1DC中， A1OOD，A1NNC，ONAM. 又MNOA， 四边形AMNO为平行四边形，ONAM.,反思与感悟 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点. (2)利用
3、三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.,跟踪训练1 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.,证明,证明 连结AB1，B1C，BD，B1D1， DD1平面ABCD，AC平面ABCD， DD1AC. 又ACBD，BDDD1D， AC平面BDD1B1. 又BD1平面BDD1B1，ACBD1. 同理可证BD1B1C，B1CACC， BD1平面AB1C.EFAC，EFA1D， 又A1DB1
4、C，EFB1C. EF平面AB1C，EFBD1.,类型二 线面垂直的综合应用,命题角度1 线面垂直中的探索性问题 例2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.(1)求证：AEDA1；,证明,证明 连结AD1，BC1， 由正方体的性质可知， DA1AD1，DA1AB， 又ABAD1A， DA1平面ABC1D1. 又AE平面ABC1D1， DA1AE.,(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG.,解答,解 所求G点即为A1点，证明如下： 由(1)可知AEDA1，取CD的中点H，连结AH，EH， 由DFAH，DFEH，AHEHH， 可证DF平面
5、AHE， AE平面AHE，DFAE.又DFA1DD， AE平面DFA1，即AE平面DFG.,反思与感悟 探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”.,跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，BC2，CC15，M是棱CC1上一点，是否存在这样的点M，使得BM平面A1B1M？若存在，求出C1M的长；若不存在，请说明理由.,解答,解 假设存在点M使得BM平面A1B1M，并设C1Mx， 则有RtB1C1MRtBMB1.x4或x1. 当C1M1或4时，使得
6、BM平面A1B1M.,证明,命题角度2 线线、线面垂直的相互转化 例3 如图所示，已知矩形ABCD，SA平面ABCD，AESB于点E，EFSC于点F.(1)求证：SCAF；,证明 SA平面ABCD，BC平面ABCD， SABC. 四边形ABCD是矩形，ABBC. 又ABSAA，BC平面SAB， 又AE平面SAB，BCAE. 又SBAE，SBBCB，AE平面SBC， 又SC平面SBC，AESC. 又EFSC，EFAEE， SC平面AEF. 又AF平面AEF，SCAF.,证明,(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD.,证明 SA平面ABCD，CD平面ABCD， SACD. 又四边形ABCD
7、为矩形，CDAD. 又SAADA，CD平面SAD. 又AG平面SAD，CDAG. 由(1)可知，SC平面AEF， AG平面AEF，AGSC， 又SCCDC，AG平面SCD， 又SD平面SCD，AGSD.,反思与感悟 (1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可. (2)证明的转化途径是线线垂直线面垂直线线垂直.,跟踪训练3 如图所示，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA平面ABC；,证明,证明 在平面ABC内任取一点D，作DFAC于点F，作DGAB于点G. 平面PAC平面ABC， 且交线为AC， DF
8、平面PAC. PA平面PAC，DFPA. 同理可证DGPA. DGDFD，PA平面ABC.,(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形.,证明,证明 连结BE并延长交PC于点H. E是PBC的垂心，PCBH. 又AE平面PBC，PCAE. BHAEE，BH，AE平面ABE， PC平面ABE， PCAB. 由(1)知PA平面ABC，PAAB. PAPCP，AB平面PAC. ABAC，即ABC是直角三角形.,达标检测,答案,1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是_.,1,2,3,4,平行,答案,解析,2.
9、线段a和b在正方体ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使ab成立的条件是_.(填序号) a和b垂直于正方体的同一个面； a和b在正方体两个相对的面内，且共面； a和b平行于同一条棱； a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.,解析 由直线与平面垂直的性质知，能使ab成立； 由正方体的性质知，能使ab成立； 由公理4知，能使ab成立； 中条件不能保证ab，a与b有可能相交或异面.,1,2,3,4,答案,3.如图所示，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB，则直线a与直线l的位置关系是_.,平行,1,2,3,4,解析 EA，平面平面l， 即l，lEA.同理
10、lEB. 又EAEBE，l平面EAB. EB，a平面，EBa. 又aAB，EBABB， a平面EAB，al.,解析,证明,4.如图所示，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于点E，AFPC于点F.求证：EFPC.,1,2,3,4,证明 PA平面ABC， BC平面ABC，BCPA. 又BCAB，ABPAA， BC平面PAB. 又AE平面PAB，AEBC. 又AEPB，AE平面PBC， AEPC. 又AFPC，PC平面AEF， 又EF平面AEF，EFPC.,1,2,3,4,1.空间线面垂直与线线垂直经常相互转化.判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化. 2.垂直关系与平行关系也可以相互转化. (1)线面平行的性质定理a，bab； (2)a，abb；(需要利用线面垂直的定义证明) (3)a，bab；(需要证明) (4)a，ab，bb.(需要证明),规律与方法,
