1、第一章 计数原理,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一),学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 分类加法计数原理,第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车.,思考1,该志愿者从上海到天津的方案可分几类？,答案,答案 两类，即乘飞机、坐火车.,思考2,这几类方案中各有几种方法？,答案,答案 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法.,思考3,该志愿者从上海到天津共有多少种不
2、同的方法？,答案,答案 共有7613(种)不同的方法.,(1)完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法. (2)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N 种不同的方法.,梳理,mn,m1m2mn,思考1,知识点二 分步乘法计数原理,该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？,答案,答案 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津.,若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每
3、天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车.,思考2,完成每一个步骤各有几种方法？,答案,答案 第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法.,思考3,该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？,答案,答案 共有7642(种)不同的方法.,梳理,(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法. (2)完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N种不同的方法.,mn,m1m2mn,题型探究,类型一 分类加法计数原理,A.6个 B.8个 C.12个 D
4、.16个,答案,解析,解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn. 当m4时，n1,2,3； 当m3时，n1,2； 当m2时，n1，即所求的椭圆共有3216(个).,(1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事. (2)利用分类加法计数原理解题的一般思路,反思与感悟,解析 当x1时，y1,2,3,4，共构成4个有序自然数对； 当x2时，y1,2,3，共构成3个有序自然数对； 当x3时，y1,2，共构成2个有序自然数对； 当x4时，y1，共构成1个有序自然数对. 根据分类加法计数原理，共有N432110(个)有序自然数对.,跟踪训练1
5、 若x，yN*，且xy5，则有序自然数对(x，y)共有_个.,答案,解析,10,解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方式，所以m110； 第二步，有10种拨号方式，所以m210； 第三步，有10种拨号方式，所以m310； 第四步，有10种拨号方式，所以m410. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N1010101010 000(个)四位数的号码.,例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复),类型二 分步乘法计数原理,解答,解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方
6、式，即m110； 第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m29； 第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m38； 第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m47. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N109875 040(个)四位数的号码.,引申探究 若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？,解答,(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 分步：将完成这件事的过程分成若干步； 计数：求出每一步中的方法数； 结论：将每一步中的方法数相
7、乘得最终结果.,反思与感悟,解析 由题意知a不能为0，故a的值有5种选法； b的值也有5种选法； c的值有4种选法. 由分步乘法计数原理，得抛物线的条数为554100.,跟踪训练2 从2，1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数yax2bxc的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为_.,答案,解析,100,例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？,类型三 两个原理的综合应用,解答,解 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法； 从油画中选，有2种不同的选法； 从水彩画中选，有7种不同的选法. 根据分类加
8、法计数原理，共有52714(种)不同的选法.,(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？,解答,解 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，共有52770(种)不同的选法.,(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？,解答,解 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5735(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2714(种)不同的选法. 所以共有10351459(种)不同的选法.,(
9、1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法. (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. (3)混合问题一般是先分类再分步.,反思与感悟,跟踪训练3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？,解答,解 由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语. 方法一 分两类. 第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说
10、日语的有213(种)选法，此时共有6318(种)选法； 第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有122(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18220(种)选法.,方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语. 第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有122(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有166(种)选法， 故甲入选的不同选法共有268(种).,第二类：甲不入选，可分两步. 第一步，从只会英
11、语的6人中选1人有6种选法； 第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法. 由分步乘法计数原理，有6212(种)不同的选法. 综上，共有81220(种)不同的选法.,当堂训练,1.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有 A.3种 B.6种 C.7种 D.9种,2,3,4,5,1,解析 分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种， 故购买方法有3317(种).,答案,解析,2,3,4,5,1,2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为 A.7 B.12 C.64 D.81,解析 要完成配套，
12、分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法； 第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法. 故共有4312(种)不同的配法.,答案,解析,3.把5本书全部借给3名学生，有_种不同的借法.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 依题意，知每本书应借给三个人中的一个， 即每本书都有3种不同的借法， 由分步乘法计数原理，得共有N3333335243(种)不同的借法.,243,4.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有_种.(用数字作答),答案,2,3,4,5,1,解析,解析 分为两类：两名
13、老队员、一名新队员时，有3种选法； 两名新队员、一名老队员时，有236(种)选法，即共有9种不同选法.,9,5.某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地. (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？,解答,解 分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法； 第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法； 第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法. 由分类加法计数原理可得，共有N810624(种)不同的选法.,2,3,4,5,1,(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？,解答
14、,解 分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法， 第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法. 第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法. 由分步乘法计数原理可得，共有N8106480(种)不同的选法.,2,3,4,5,1,(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？,解答,解 分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有810种不同的选法； 第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有106种不同的选法； 第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有86种不同的选法. 因此，共有N81010686188(种)不同的选法.,2,3,4,5,1,规律与方法,1.使用两个原理解题的本质,2.利用两个计数原理解决实际问题的常用方法,本课结束,
