1、第二章 2.1 曲线与方程,2.1.1 曲线与方程,学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 曲线与方程的概念,设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？ (1)P|PAPB(A，B是两个定点)；,线段AB的垂直平分线；,答案,(2)P|PO3 cm(O为定点).,以O为圆心，3 cm为半径的圆.,答案,到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程
2、是什么？为什么？,解答,yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.,思考2,梳理,一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： (1) 都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 上的点， 那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 .,方程的曲线,曲线上点的坐标,曲线,曲线的方程,知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读,思考1
3、,曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是曲线C的方程？试举例说明.,不能.还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2y24”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2y24.,答案,方程 0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平 分线？方程xy0呢？,解答,方程 0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程 0的解.例如，点A(2，2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程xy0能够表示第一、三象限的角平分线.,思考2,
4、梳理,(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.,一一对应,题型探究,类型一 曲线与方程的概念理解与应用,命题角度1 曲线与方程的判定 例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正
5、确的，下列命题中正确的是 A.方程f(x，y)0的曲线是C B.方程f(x，y)0的曲线不一定是C C.f(x，y)0是曲线C的方程 D.以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上,答案,解析,不论方程f(x，y)0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误. 举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错.,解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否
6、都满足，并作出相应的回答即可. 判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.,反思与感悟,跟踪训练1 设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是 A.坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0 C.坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0,答案,解析,“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都
7、不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错，B显然错.,命题角度2 曲线与方程的概念应用 例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.,证明,如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点. 因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|， 所以|x0|y0|k，即(x0，y0)是方程xyk的解. 设点M1的坐标(x1，y1)是方程xyk的解， 则x1y1k，即|x1|y1|k. 而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方
8、程.,解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.,反思与感悟,跟踪训练2 写出方程(xy1) 0表示的曲线.,解答,即xy10(x1)或x1， 方程表示直线x1和射线xy10(x1).,类型二 曲线与方程关系的应用,例3 已知方程x2(y1)210. (1)判断点P(1，2)，Q( ，3)是否在此方程表示的曲线上；,解答,12(21)210，( )2(31)2610， P(1，2)在方程x2(
9、y1)210表示的曲线上，Q( ，3)不在此曲线上.,解答,判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.,反思与感悟,跟踪训练3 若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围.,解答,曲线y2xy2xk0过点(a，a)， a2a22ak0.,当堂训练,2,3,4,5,1,1.曲线f(x，y)0关于直线xy30对称的曲线方程为 A.f(x3，y)0 B.f(y3，x)0 C.f(y3，x3)0 D.f(y3，x3)0,由对称轴xy30得xy3，yx3可知D正确.,答案,解析,2,3,4,5,1,2.方程xy2x2y2x所表示的曲
10、线 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线xy0对称,同时以x代替x，以y代替y，方程不变，所以方程xy2x2y2x所表示的曲线关于原点对称.,答案,解析,2,3,4,5,1,3.方程4x2y26x3y0表示的图形为_.,原方程可化为(2xy)(2xy3)0，即2xy0或2xy30，原方程表示直线2xy0和直线2xy30.,答案,解析,两条相交直线,2,3,4,5,1,4.若曲线ax2by24过点A(0，2)， 则a_，b_.,答案,解析,4,1,2,3,4,5,1,5.方程(x24)2(y24)20表示的图形是_.,方程(x24)2(y24)20表示的图形是4个点.,答案,解析,4个点,规律与方法,1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. 2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.,
