1、专题 04 函数的零点与方程的根的解题方法本专题特别注意：一命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。二 【学习目标】1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数2利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)，我们把使_的实数 x 叫做函数 yf( x)的零点(2)方程 f(x)0 有实数根 函数 yf( x
2、)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x) 有_(3)函数零点的判定如果函数 yf(x)在区间a，b 上的图象是_的一条曲线，并且有 _，那么，函数 yf(x) 在区间_内有零点，即存在 c(a，b) ，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根2二次函数 yf (x)ax 2bxc(a0)零点的分布根的分布(m0 b2a0)m0 b2amf（m）0)x10m0f（n）0 )m0f（n）0)只有一根在(m，n )之间 0m0) ，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为 ， ， ，则下列说法中正确的是( )A函数 f(x)在区间 内一定有零点 B函数 f(x)在区间
3、或 内有零点，或零点是C函数 f(x)在 内无零点 D函数 f(x)在区间 或 内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数 f(x)在区间 内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外 之内，C. 函数 f(x)在 内无零点，这个是不确定的；D. 函数 f(x)在区间 或 内有零点，这个也是不确定的。在零点应在 或中或 f（ ） 0.这个是有可能的。故答案为 B。点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分”区间，零点应存在于更小的区间， 而不是更大的区间。这样就可以断定 ACD 是错误的。故可
4、以得到结论。练习 1.【河北定州 2019 模拟】设函数 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】当直线 令 ， ,函数 在 上为减函数，在 上为增函数，当 时， 取得极小值为 ，时， ，当 时， ，若存在唯一的整数 ，使得 ，即 ，只需解得： ，选 D.练习 2.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x 22x3，求当 x0 时，不等式 f（x）0 整数解的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当 x0 时，不等式 f（x）0 整数解的个数与 0x时 f的个数相同，由奇函数可知 0f，由
5、 得 ，所以整数解为 1,2，3，所以满足题意要求的整数点有 4 个（二）二分法；例 2下面关于二分法的叙述中，正确的是 ( )A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循，无法在计算机上完成D只能用二分法求函数的零点【答案】B【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项 A 错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项 C 错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故 D 错误故选 B.练习 1.已知函数 ，设 ，且 ()Fx的零点均在区间(,)ab内，其中 a,bZ， ，则 (
6、)0Fx的最小整数解为（ ）A 1 B 0 C 5 D 4【答案】D考点：函数图象平移与零点.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于 ，所以函数Fx的图像是有函数 fx的图像向左平移 4个单位所得.由于 Fx零点都在某个区间上，所以函数f的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算 的值， ，且0x函数递增，有唯一零点在区间 1,0，左移 个单位就是 5,4.（三）分段函数的零点；例 3.已知函数 ，若关于 x的方程 有 8 个不等的实数根 ，则 a的取值范围是A 10,4 B ,3 C 1,2 D （2, 94）【答案】D【解析】函数 ，的图象如图：关 于 x的方程
7、有 8 个不等的实数根， fx必须有两个不相等的实数根，由函数 f图象可知 12fx（ ） （ ， ） ，令 tfx（ ） ，方程 化为：， 3a，开口向下，对称轴为： 32t，可知： a的最大值为：， 的最小值为 2， 94（ ， ，故选 D.练习 1函数 的零点个数为（ ）A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】由 得零点个数为 2,选 B.（四）零点范围问题；例 4 【哈六中 2019 模拟】设函数 ，若方程 恰好有三个根，且 ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意 ,则 ，画出函数的大致图象：由图得,当 时,方程 f(x)=a 恰好有三个根,由 得 ,由 得 ，
8、由图知,点 与点 关于直线 对称，点 与点 关于直线 对称， ,则 ，即 的取值范围是 , )，练习 1.已知函数 ，且存在不同的实数 123,x，使得，则 123xA的取值范围是（ ）A 0,3 B , C 2 D【答案】A【解析】函数 ，画出 xf的图象如图所示，作出直线 ty，当 21t时，直线与 xf图象有三个交点，横坐标由小到大，设为 1， 2， 3，令 ，即，则有 121tx，令 tx2，得到 ，即有，令 ， ,t， 0t， t越大其值越大； ， t越大其值越大，则有 ，故选 A（五）零点个数问题；例 5 【湖北 2019 模拟】定义在 R 上的奇函数 fx满足 ， ，0,1x时
9、，则函数 的零点个数是（ ）A2 B4 C6 D8【答案】C【解析】由可知,f(x )是周期为 2 的奇函数,又 x0,1时, ，可得函数 f(x)在 R 上的图象如图，由图可知,函数 y=f(x)log3|x|的零点个数为 6 个，本题选择 C 选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点
10、的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点练习 1.关于 x的方程 有三个不同实数解，则实数 a的取值范围是（ ）A 2, B 3, C(0, 3 ) D ,3【答案】B【解析】,即为 2ax，设 ,导数 ，当 1x时, 在(1,+)递增；当 0或 x时, 在(,0),(0,1)递减。可得 f在 处取得极小值 3，作出 yx的图象，由题意可得当 p3 时，直线 a与 f有 3 个交点。即 有原方程有三个不同实数解,则 a的范围是 3,.练习 2已知函数 ，用 min,表示 ,n中最小值，则函数 hx的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】由题意 ，作出 hx的图象如图所示，由
11、图象，得函数的零点有三个： 1,e3；故选C.（六）零点与参数；6 【2019 南昌模拟】曲线 与直线 有两个交点时，实数 k的取值范围是A B C D【答案】A【解析】 可化为 x2+（y1） 2=4， y1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆 y1 的部分直线 y=k（x2）+4 过定点 p（2 ，4） ，由图知，当直线经过 A（ 2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个且 kAP= 34，由直线与圆相切得 d=2，解得 k= 51，则实数 k 的取值范围为 53,124，故选 B点睛：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，
12、可解得 k 的取值范围练习 1已知 fx，又 0, ，若满足 的 有四个，则 f的取值范围为( )A 0, B 1a C 0fx D 1xa【答案】A点睛：本题考查复合函数，换元设内外层函数，找到内外层的对应关系；练习 2若方程 有大于 2 的根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】问题等价于方程 在 有解，而函数 在 上递增，值域为，所以 k 的取值范围是 ，故选 C.练习 3方程 在区间 1,5上有根，则实数 a的取值范围为（ ）A 2,5 B , C 23, D 23,5【答案】C【解析】由于方程 有解，设它的两个解分别为 x1，x 2，则 x1x2=20，m=1.
13、5,f(1.5)=0.250,满足条件 f(m)f(x1)0.05，不合精确度要求。n=2,m=1.25,f(1.25)=0.43750.05，不合精确度要求。n=3,m=1.375,f(1.375)=0.1090.05，不合精确度要求。n=4,m=1.375,f(1.4375)=0.0660.满足条件 f(m)f(x1)0.05 ，符合精确度要求。n=5,m=1.4375,f(1.40625)=0.0660， ， 32k，k 的取值范围是 32k且 k1.可取的最大整数值为 0.故选 B.点睛：解一元二次方程时，首先要求二次项的系数不能为 0，其次根据判别式和 0 的关系可得方程根的个数，当
14、 0A时，方程有两个相等实根；当 A，时方程无解；当 A时，方程有两个不等实根.（九）抽象函数零点问题；例 9 【2019 河南名校模拟】已知函数 ，当 (0,1x时， 2()fx，若在区间(1,内， 有两个不同的零点，则实数 t的取值范围是（ ）A 0) B 1(0,)2 C ,0) D 1(,2【答案】D【解析】由题意可知函数 fx在 1,上的解析式为 由可得 ，所以要使方程由两个不同的零点，即 fx得图象与直线 1ytx有两个不同的交点，作出它们的图象，可知斜率 1(0,2t，故选 D.考点：根的存在性与根个数的判断. 【方法点睛】本题主要考查了函数的零点及方程根个数的判断，考查了数形结
15、合的数学思想，属于中档题.本题解答时，首先根据 fx在 (0,1上的解析式，求出 fx在 1,上的解析式，从而作出分段函数 fx的图象，把函数的零点问题转化为两个基本初等函数的交点个数问题，结合参数 t的几何意义求得其范围.练习 1.已知函数 fx满足：定义域为 R； x，都有 ；当 1,x时，则方程 在区间 3,5内解的个数是（ ）A5 B6 C7 D8【答案】A 【解析】画出函数图象如下图所示，由图可知，共有 5个解.考点：函数的图象与性质.（十）复合函数零点问题；例 10. 【广西 2019 模拟】设定义域为 的函数 若关于 的方程有 7 个不同的实数解，则 （ ）A6 B4 或 6 C
16、6 或 2 D2【答案】D【解析】试题分析：由图可知方程 有两个不等实根，其中一根为 4，另一根在；由 ，又当 时，另 一根为 1，满足题意；当时，另一根为 9，不满足题意；所以选 D .考点：函数与方程【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域( 最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.练习 1.函数 的定义域为实数集 ， ，对于任意 都有 ，若在区间 内函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D练习 2.已知函数 ，方程 ， ，
17、则方程的根的个数是（ ）A2 B3C4 D5【答案】D【解析】因为 ，所以 或 ，作函数 的图象如图，结合图象可知， 有两个不同的根， ， 有三个不同的根，且 个根都不相同，故方程的根的个数是 ，故选 D考点：分段函数图象与性质【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质，由于 ，所以 或 ，作函数 的图象，根据图象可知 有两个不同的根， ， 有三个不同的根，合起来就一共有 个不同的实根对于函数根的问题，往往转化为函数图象和值域来求解，有时候也转化为两个函数交点来求解（十一）函数零点与导数；例 11.已知 yfx为 R 上的连续可导函数，当 x0 时 ，则函数 的零点个数为（ ）A1 B2 C
18、0 D0 或 2【答案】C【解析】试题分析：当 x0 时， ， ，要求关于 x 的方程的根的个数可转化成 的根的个数，令 当 0时，即 0Fx（ ） ，F（x）在（0，+）上单调递增；当 x0 时，即 （ ） ， （ ） 在（-，0）上单调递减而 yf（ ） 为 R 上的连续可导的函数 无实数根，故选 C考点：1.导数的运算；2.根的存在性及根的个数判断练习 1若函数 ()fx为定义在 R上的连续奇函数且 对 0x恒成立，则方程的实根个数为（ ）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】 x时，对 两边乘以 2x得 ，即 单调递增，由于函数为奇函数，所以 3xf为偶函数，图象关于 y轴对称，所以
19、当 0x时，函数 3xf是单调递减，且 0x时，函数值为 0，由此可知 30xf，故 没有实数根.练习 2.定义在 R上的可导函数 fx，且 f图像连续，当 x时， ，则函数的零点的个数为（ ）A.1 B. 0 C. 2 D. 或 2【答案】B【解析】由于函数 ，可得 0x，因而 gx的零点跟 gx的非零零点是完全一样的，所以转化为函数 的零点，由于当 0x时， ， （1）当 0x时，所以在区间 (,)上，函数 g单调递增函数，当0x时， 1fx，所以在 (0,)上，函数 恒成立，因此在 (0,)上，函数g没有零点；（2）当 时， ，所以函数在区间(0,)上，函数 xg单调递减函数， 恒成立，
20、因此在 (0,)上，函数 xg没有零点，（十二）零点有关的创新试题例 12. 【2019 天门模拟】定义：如果 函数 在 上存在 ， 满足， ，则称函数 是 上的“双中值函数”，已知函数是 上的“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是A B C D【答案】C【解析】由题得： 是 上的“ 双中值函数”，等价于在 上有两个不同的实数解，令 则 解之得故选 C点睛：首先要读懂新定义“双中值函数”，根据新定义可得问题等价于 在 上有两个不同的实数解是解题关键 练习 1.已知 fx是定义在 R上的奇函数，满足 , 且当 0,1x时，,则函数 在区间 6,上的零点个数是A4 B5 C6 D7【答案】B【解
21、析】由 ，令 1x，则 0f， ， f的图像关于点 ,对称，又 fx是定义在 R上的奇函数， ， 是周期为 2 的函数. 当 0,1x时， 为增函数，画出 f及 3yx在 0,6上的图像如图所示，经计算，结合图像易知，函数 fx的图像与直线 13yx在 0,6上有 3 个不同的交点，由函数的奇偶性可知，函数 在区间 6,上的零点个数是 5.练习 2已知 ； ；设函数 ，且函数 ()Fx的零点均在区间 ,ab（ ， a， bZ）内，则 ba的最小值为（ ）A8 B9 C10 D11【答案】C【解析】 ，当 (1,0)x时，函数 ()fx在区间 (1,0)上单调递增，故函数 ()f有唯一零点 (,
22、)；， ，当(1,2)x时， ，函数 ()gx在区间 (1,2)上单调递减，故函数 ()gx有唯一零点； (3)fx的零点在 (4,3)内， 4的零点在 56内，且函数 ()Fx的零点均在区间 ,ab（ ， a， bZ）内，因此 的零点均在区间 4,6 内， 的最小值为 10.故选 C考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、数列求和；3、函数零点存在性定理【思路点睛】利用导数分别求出函数 ()fx、 g的零点所在的区间，然后要求的零点所在区间，即求 (3)fx的零点和 (4)gx的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果本题考查函数零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力属于中档题练习 3.已知当 ,xR表示不超过 x的最大整数，称 yx为取整函数，例如 ，若 f，且偶函数 ，则方程 的所有解之和为（ ）A1 B-2 C 53 D 53【答案】D
