1、2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点,学习目标 1.理解函数零点的概念. 2.会求一次函数、二次函数的零点. 3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 考查下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x22x30与函数yx22x3； (2)方程x22x10与函数yx22x1； (3)方程x22x30与函数yx22x3. 请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.,答案,预习导引 1.函数的零点 (1)定义：一般地，如果函数yf(x
2、)在实数处的值 ，即 ，则叫做这个函数的 . (2)性质 当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值 . 两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值_.,保持同号,等于零,f()0,零点,变号,2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系,要点一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点： (1)f(x)x22x3； 解 f(x)x22x3(x3)(x1)， 方程x22x30的两根分别是3和1. 故函数的零点是3,1.,(2)f(x)x41. 解 f(x)x41(x21)(x1)(x1)， 方程x410的实数根是1和1. 函数的零点为1.,规律方法 函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)0
3、的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.,跟踪演练1 求函数y(ax1)(x2)的零点. 解 (1)当a0时，令y0得x2；,要点二 函数零点个数的判断 例2 若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围. 解 若a0，则f(x)x1为一次函数，易知函数仅有一个零点； 若a0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2x10仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)，,规律方法 判断或求形如函数yax2bxc的零点时，首先对a分a0和a0两种情况讨论，然后对a0的情
4、况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.,跟踪演练2 判断下列函数的零点个数： (1)f(x)x27x12； 解 由f(x)0即x27x120， 得4941210， 方程x27x120有两个不等的实数根. 函数f(x)有两个零点.,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象知两图象只有一个交点， 故函数有一个零点.,即x310(x0)， x1，即方程只有一个根. 函数有一个零点.,要点三 函数零点性质的应用 例3 已知关于x的二次方程ax22(a1)xa10有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围. 解 令f(x)ax22(a1)xa1，依题
5、意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2. f(x)的大致图象如图所示：,解得0a5， a的取值范围为(0,5). 规律方法 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.,跟踪演练3 已知关于x的二次方程x22mx2m10.若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围. 解 由已知抛物线f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，画出示意图，得,1,2,3,4,5,1.函数yx24的图象与x轴的交
6、点坐标及其函数的零点分别是( ) A.(0，2)；2 B.(2,0)；2 C.(0，2)；2 D.(2,0)；2 解析 令x240，得x2，故交点坐标为(2,0)，所以函数的零点为2.,B,1,2,3,4,5,2.若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 解析 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f(0)f(4)0.,B,1,2,3,4,5,3.如果二次函数yx2mxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A.(2,6)
7、B.2,6 C.(，2)(6，) D.2,6 解析 由题意，得m24(m3)0，即m24m120， m6或m2.,C,A.0 B.1 C.2 D.无数个,C,1,2,3,4,5,5,1,2,3,4,5.若函数f(x)x2axb的零点是2和4，则a_，b_. 解析 2，4是函数f(x)的零点， f(2)0，f(4)0，,2,8,课堂小结 1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y1或yx21就没有零点. 2.判断函数的零点，可利用的结论： 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.,
