高考数学命题热点名师解密专题:不等式的性质的解题技巧理

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1、专题 32 不等式的性质的解题技巧一 【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用二 【知识要点】 1不等式的定义用不等号“,”将两个数学表达式连接起来,所得的式子叫做不等式2实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0a b;ab0ab;abb b b,bc a c;(3)可加性:ab a+cb+c;ab,cd a+cb+d;(4)可乘性:ab,c0 acbc;a b,c b0,cd0acbd;(5)倒数法则:a b,ab0 ;1(6)乘方性质:a b0 (n2,nN *);(7)开方性质:a b0 (n2,nN *);na(8)有关分数的性

2、质:若 ab0,m 0,则真分数的性质: (bm0);bab ma m假分数的性质: ;aba mb m0)aba mb m4基本不等式(1)a2b 22ab;变式: ab;当且仅当 ab 时等号成立;a2 b22(2)如果 a0,b0,则 ;变式:ab ,当且仅当 ab 时,等号成立,其中 叫a b2 ab (a b2 )2 a b2做正数 a,b 的算术平均数, 叫做正数 a,b 的几何平均数ab5(1)若 a0,b0,且 abP(定值),则由 ab 可知,当 ab 时,ab 有最大值 ;(a b2 )2 P24 P24(2)若 a0,b0 且 abS(定值),则由 ab2 2 可知,当

3、ab 时,ab 有最小值 2 .ab S S三典例分析 (一)由已知条件判断不等式例 1已知条件甲: ,条件乙: 且 ,则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要 不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件,属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意:首先弄清条件 和结论 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.练习 1已知 ,有下列命题:若

4、 ,则 ;若 ,则 ;若 ,则 ; 若 ,则 ;其中真命题的个数为( )A 1 B2 C3 D4【答案】C【解析】取 ,则 ,但 ,故错;因 ,所以 ,因此 ;即正确;因 ,所以 ,故正确;因 ,由 ,得 ,所以 ,故正确.练习 2有下列四个命题:已知-1 a b0 ,则 0.3a a2 ab;若正实数 a、 b 满足 a+b=1,则 ab 有最大值 ;若正实数 a、 b 满足 a+b=1,则 有最大值 ;x, y(0,+) , x3+y3 x2y+xy2其中真命题的个数是( )A 1 B2 C3 D4【答案】D【解析】 已知 1ab0,则 0.3a1,1a 2ab0,即有 0.3aa 2ab

5、 正确;若正实数 a、 b 满足 a+b 1,则 ab( ) 2 ,有最大值 正确;若正实数 a、 b 满足 a+b 1,则 ,有最大值 正确; 练习 3设 ,给出下列三个结论: ; ; 其中所有的正确结论的序号是 ( )A B C D【答案】B【解析】逐一分析所给的不等式:由于 ,故 ,结合 可得 ,说法正确;由于 ,故 幂函数 在区间 上单调递减,结合 可得 ,说法正确;由于 ,故 ,对数函数 单调递减,故 ,说法错误.综上可得:所有的正确结论的序号是.本题选择 B 选项.练习 4已知函数 在区间 内有唯一零点,则 的取值范围为( )A B C D【答案】A【解析】由题意 在区间 内有唯一

6、实数解令 ,解得 ,函数 在区间1,e上单调递增, 则 ,则 的取值范围为 .故选 A.(三)作差法比较大小例 3已知 , , ,则 与 的大小关系为A B C D【答案】D【解析】因为 ,所以 ,故选 D.练习 1设 , , , ,则 的 大小关系是( )A BC D【答案】D【解析】因为 , 所以 可得因为 ,所以 递减,所以 可得 ,故选 D.练习 2设 且 ,则 与 的大小关系为( )A B C与 值有关,大小不定 D以上都不正确【答案】A【解析】, 当 时, , ;当 时, ;当 时, , ,综上可得 ,故选 A.练习 3若 则下列式子:( 1) , (2) ,(3 ) , (4 )

7、 .其中恒成立的个数是A 1 个 B2 个 C 3 个 D4 个【答案】A【解析】(1 ) = ,当 a=1,b=-2.时不等式不成立;(2) = 当 a=1,b=-1 时,不等式不成立;(3) 恒成立.选项正确 .(4) ,故不正确.故答案为:A.(四)作商法比较大小15设 1,则( )A aaa bb a Ba ab aa b Ca ba ab a Da bb aa a【答案】C【解析】 1,0ab1. a ab 1.a ba a. , ,0 1,a0, 1.a ab a.a ba ab a.故答案为:C【点睛】 (1)本题主要考查比较法和指数函数的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和

8、分析推理能力.(2)比差的一般步骤是:作差变形(配方、因式分解、通分等)与零比下结论;比商的一般步骤是:作商变形(配方、因式分解、通分等)与 1 比下结论.如果两个数都是正数,一般用比商,其它一般用比差.练习 1若 a0,b0,则 p 与 qa bba的大小关系是 ( ) A pq Bpq Cpq Dpq【答案】A【解析】 ,若 则 , ;若 则 , 若 则 ,pq,故选:A练习 2设 lna, l3b, ln5c,则 ,abc三个数从大到小的排列顺序为( )A bc B a C D b【答案】B【解析】由题意得 , ba又 , ac bac选 B(五)利用不等式性质证明不等式例 5已知函数

9、的定义域为 ,若 在 上为增函数,则称 为“一阶比增函数”.(1)若 是“一阶比增函数” ,求实数 a 的取值范围。(2)若 是“一阶比增函数” ,求证:对任意 , ,总有 ;(3)若 是“一阶 比增函数” ,且 有零点,求证:关于 x 的不等式 有解.【答案】 (1) ;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】 (1)由题意得 在 是增函数.由一次函数性质知:当 时, 在( )上是增函数,(2) 是“一阶比增函数” ,即 在 上是增函数,又 ,有, , ,(3)设 ,其中 ,因为 是“一阶比增函数” ,所以当 时, .取,满足 ,记 ,由(II)知 ,同理 ,所以一定存在 ,使得 ,所以

10、 一定有解.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用以及新定义问题,属于难题. 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求, “照章办事” ,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.练习 1已知数列 满足 = 且 = (1)证明:1 ;(2)设数列 的前 n 项和为 ,证明 【答案】 (1)见解析; (2)见解析.【解析】 (1)由题意得, ,即 , ,由 可得 ,

11、由 ,得 ,故 .(2)由题意得 ,所以 ,由 和 得, ,所以 ,因此 ,由得 ,所以练习 2选修 4-5:不等式选讲已知 ,ab为任意实数.(1)求证: ;(2)求函数 的最小值.【答案】 (1)见解析(2)1【解析】 (1) 4ab,因为 0,所以 .(2) .即 max1f.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因;对于需求最值的情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:|a|b|ab|a| b|,通过适当的添、拆项来放缩求解(六)利用不等式求范围例 6已知函数 f( x)= x2-ax, h( x)=-3 x+2,其中 a1设不等式 f (1)+ f(-1)2| x

12、|的解集为A()求集合 A;()若对任意 x1 A,存在 x2 A,满足 2f( x1)= h( x2) ,求 a 的取值范围【答案】 () A=-1,1 () (1 , 【解析】 () f(1 )+ f(-1)2| x|可化为| x|1,解得-1 x1, A=-1,1练习 1已知 ,且 4f(1)1,1f(2)5, 求 f(3)的取值范围.【答案】【解析】由题意得解得所以 ,因为 ,所以 ;因为 ,所以 。两式相加得 ,故 的取值范围是 .练习 2设不等式 的解集为 .()求集合 ;()若 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.【答案】() ;() .【解析】 ()令 ,由 得 ,解 得 .

13、 ()由不等式 ,的 ,令 ,要使 ,则 ,整理得 , , 解得 .实数 的 取值范围 点睛:(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数练习 3已知函数 的定义域为 D,其中 a为常数;(1)若 RD,且 fx是奇函数,求 a的值;学_科网(2)若 a, 1,0,函数 fx的最小值是 g,求 的最大值;(3)若 0,在 ,上存在 n个点 i ,满足 10x, na,使得 ,求实数 a的取值范围;【答案】(1) 0 (2) (3) 4a【解析】

14、 (1)因为函数为奇函数,根据奇函数定义可得可得 对任意 xR恒成立,变形可得 0ax对任意 xR恒成立,可求 0a;(2)将函数 的解析式讨论去掉绝对值号,。两段函数的对称轴都为 2ax,因为 。讨论 2a与-1 的大小,可得两段二次函数在区间 1,0上的单调性,求得最小值。得最小值 ,求两段的取值范围,取较大的为最大值。 (3)由(2)可知 fx在 02a, 上单调递增,在 2a, 上单调递减,所以 ,由绝对值不等式可得,所以,整理得28a,解得 4a为所求.试题解析:解:(1) fx是奇函数, 对任意 xR恒成立, ,即 0ax对任意 xR恒成立, 0a;(2), 1a, , , 10x,(3)0a,且 fx在 02a, 上单调递增,在 2a, 上单调递减,而要使满足条件的点存在,必须且只需 ,即28a,解得 4a为所求.【点睛】1、函数为奇函数,求解析式中字母的值:方法一,奇函数定义 ;方法二,定义域中特殊的自变量 0,x , ;方法三,如定义域中含有 0,则 0f。2、解析式含绝对值的函数,求最值时,应讨论去掉绝对值号,转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值,当对称轴不确定时,应讨论 2ba与定义域端点的大小,判断函数的单调性求最值。

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