1、专题 32 不等式的性质的解题技巧一 【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用二 【知识要点】 1不等式的定义用不等号“，”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式2实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0a b；ab0ab；abb b b，bc a c；(3)可加性：ab a+cb+c；ab，cd a+cb+d；(4)可乘性：ab，c0 acbc；a b，c b0，cd0acbd；(5)倒数法则：a b，ab0 ；1(6)乘方性质：a b0 (n2，nN *)；(7)开方性质：a b0 (n2，nN *)；na(8)有关分数的性
2、质：若 ab0，m 0，则真分数的性质： (bm0)；bab ma m假分数的性质： ；aba mb m0)aba mb m4基本不等式(1)a2b 22ab；变式： ab；当且仅当 ab 时等号成立；a2 b22(2)如果 a0，b0，则 ；变式：ab ，当且仅当 ab 时，等号成立，其中 叫a b2 ab (a b2 )2 a b2做正数 a，b 的算术平均数， 叫做正数 a，b 的几何平均数ab5(1)若 a0，b0，且 abP(定值)，则由 ab 可知，当 ab 时，ab 有最大值 ；(a b2 )2 P24 P24(2)若 a0，b0 且 abS(定值)，则由 ab2 2 可知，当
3、ab 时，ab 有最小值 2 .ab S S三典例分析 （一）由已知条件判断不等式例 1已知条件甲： ，条件乙： 且 ，则甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要 不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.练习 1已知 ，有下列命题：若
4、 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ； 若 ，则 ；其中真命题的个数为（ ）A 1 B2 C3 D4【答案】C【解析】取 ,则 ，但 ,故错；因 ,所以 ,因此 ；即正确；因 ,所以 ，故正确；因 ，由 ，得 ,所以 ,故正确.练习 2有下列四个命题：已知-1 a b0 ，则 0.3a a2 ab；若正实数 a、 b 满足 a+b=1，则 ab 有最大值 ；若正实数 a、 b 满足 a+b=1，则 有最大值 ；x， y（0，+） ， x3+y3 x2y+xy2其中真命题的个数是（ ）A 1 B2 C3 D4【答案】D【解析】 已知 1ab0，则 0.3a1，1a 2ab0，即有 0.3aa 2ab
5、 正确；若正实数 a、 b 满足 a+b 1，则 ab（ ） 2 ，有最大值 正确；若正实数 a、 b 满足 a+b 1，则 ，有最大值 正确； 练习 3设 ，给出下列三个结论： ； ； 其中所有的正确结论的序号是 ( )A B C D【答案】B【解析】逐一分析所给的不等式：由于 ，故 ，结合 可得 ，说法正确；由于 ，故 幂函数 在区间 上单调递减，结合 可得 ，说法正确；由于 ，故 ，对数函数 单调递减，故 ，说法错误.综上可得：所有的正确结论的序号是.本题选择 B 选项.练习 4已知函数 在区间 内有唯一零点，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意 在区间 内有唯一
6、实数解令 ，解得 ，函数 在区间1，e上单调递增， 则 ，则 的取值范围为 .故选 A.（三）作差法比较大小例 3已知 ， ， ，则 与 的大小关系为A B C D【答案】D【解析】因为 ,所以 ,故选 D.练习 1设 ， ， ， ，则 的 大小关系是（ ）A BC D【答案】D【解析】因为 ， 所以 可得因为 ，所以 递减，所以 可得 ，故选 D.练习 2设 且 ，则 与 的大小关系为( )A B C与 值有关,大小不定 D以上都不正确【答案】A【解析】， 当 时, ， ；当 时, ；当 时, ， ，综上可得 ，故选 A.练习 3若 则下列式子：（ 1） ， （2） ，（3 ） ， （4 ）
7、 .其中恒成立的个数是A 1 个 B2 个 C 3 个 D4 个【答案】A【解析】(1 ) = ,当 a=1,b=-2.时不等式不成立；(2) = 当 a=1,b=-1 时，不等式不成立；(3) 恒成立.选项正确 .(4) ,故不正确.故答案为：A.（四）作商法比较大小15设 1，则( )A aaa bb a Ba ab aa b Ca ba ab a Da bb aa a【答案】C【解析】 1，0ab1. a ab 1.a ba a. ， ,0 1，a0， 1.a ab a.a ba ab a.故答案为：C【点睛】 （1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
8、分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差变形（配方、因式分解、通分等）与零比下结论；比商的一般步骤是：作商变形（配方、因式分解、通分等）与 1 比下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.练习 1若 a0，b0，则 p 与 qa bba的大小关系是 ( ) A pq Bpq Cpq Dpq【答案】A【解析】 ,若 则 ， ；若 则 ， 若 则 ，pq，故选：A练习 2设 lna， l3b， ln5c，则 ,abc三个数从大到小的排列顺序为（ ）A bc B a C D b【答案】B【解析】由题意得 ， ba又 ， ac bac选 B（五）利用不等式性质证明不等式例 5已知函数
9、的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称 为“一阶比增函数”.（1）若 是“一阶比增函数” ，求实数 a 的取值范围。（2）若 是“一阶比增函数” ，求证：对任意 ， ，总有 ；（3）若 是“一阶 比增函数” ，且 有零点，求证：关于 x 的不等式 有解.【答案】 （1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】 （1）由题意得 在 是增函数.由一次函数性质知：当 时， 在（ ）上是增函数，（2） 是“一阶比增函数” ，即 在 上是增函数，又 ，有， ， ，（3）设 ，其中 ，因为 是“一阶比增函数” ，所以当 时， .取，满足 ，记 ，由（II）知 ，同理 ，所以一定存在 ，使得 ，所以
10、 一定有解.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.练习 1已知数列 满足 = 且 = （1）证明：1 ；（2）设数列 的前 n 项和为 ，证明 【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】 （1）由题意得， ，即 ， ，由 可得 ，
11、由 ，得 ，故 .（2）由题意得 ，所以 ，由 和 得， ，所以 ，因此 ，由得 ，所以练习 2选修 4-5：不等式选讲已知 ,ab为任意实数.（1）求证： ；（2）求函数 的最小值.【答案】 （1）见解析（2）1【解析】 （1） 4ab，因为 0，所以 .（2） .即 max1f.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a| b|，通过适当的添、拆项来放缩求解（六）利用不等式求范围例 6已知函数 f（ x）= x2-ax， h（ x）=-3 x+2，其中 a1设不等式 f （1）+ f（-1）2| x
12、|的解集为A（）求集合 A；（）若对任意 x1 A，存在 x2 A，满足 2f（ x1）= h（ x2） ，求 a 的取值范围【答案】 （） A=-1，1 （） （1 ， 【解析】 （） f（1 ）+ f（-1）2| x|可化为| x|1，解得-1 x1， A=-1，1练习 1已知 ,且 4f(1)1,1f(2)5, 求 f(3)的取值范围.【答案】【解析】由题意得解得所以 ,因为 ，所以 ；因为 ，所以 。两式相加得 ，故 的取值范围是 .练习 2设不等式 的解集为 .（）求集合 ；（）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】() ；() .【解析】 （）令 ，由 得 ，解 得 .
13、 （）由不等式 ，的 ，令 ，要使 ，则 ，整理得 ， ， 解得 .实数 的 取值范围 点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数练习 3已知函数 的定义域为 D，其中 a为常数；（1）若 RD，且 fx是奇函数，求 a的值；学_科网（2）若 a， 1,0，函数 fx的最小值是 g，求 的最大值；（3）若 0，在 ,上存在 n个点 i ，满足 10x， na，使得 ，求实数 a的取值范围；【答案】(1) 0 (2) (3) 4a【解析】
14、 （1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得 对任意 xR恒成立，变形可得 0ax对任意 xR恒成立，可求 0a；(2)将函数 的解析式讨论去掉绝对值号，。两段函数的对称轴都为 2ax，因为 。讨论 2a与-1 的大小，可得两段二次函数在区间 1,0上的单调性，求得最小值。得最小值 ，求两段的取值范围，取较大的为最大值。 （3）由（2）可知 fx在 02a， 上单调递增，在 2a， 上单调递减，所以 ，由绝对值不等式可得，所以，整理得28a，解得 4a为所求.试题解析：解：(1) fx是奇函数， 对任意 xR恒成立， ，即 0ax对任意 xR恒成立， 0a；(2)， 1a， ， ， 10x，(3)0a，且 fx在 02a， 上单调递增，在 2a， 上单调递减，而要使满足条件的点存在，必须且只需 ，即28a，解得 4a为所求.【点睛】1、函数为奇函数，求解析式中字母的值：方法一，奇函数定义 ；方法二，定义域中特殊的自变量 0,x ， ；方法三，如定义域中含有 0，则 0f。2、解析式含绝对值的函数，求最值时，应讨论去掉绝对值号，转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值，当对称轴不确定时，应讨论 2ba与定义域端点的大小，判断函数的单调性求最值。