1、专题 18 解创新数列之匙一 【学习目标】1会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法【知识要点】1数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集1， 2，n上的函数(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等1数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公
2、式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集1， 2，n上的函数 (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等二 【方法总结】1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意.(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前 n 项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解.(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解程序(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数
3、为载体构造数列，应用数列理论求解.(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建 立数列的递推关系式，然后求解问题.三题型典例分析1.数列与函数的综合例 1. 设函数 fx是定义在 0,上的单调函数，且对于任意正数 ,xy有 ，已知12f，若一个各项均为正数的数列 na满足 ，其中 nS是数列 na的前 项和，则数列 n中第 18 项 18（ ）A. 136 B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前 n项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知 nS求 a的一般步骤：（1）当 1时，由 1aS求 1的值；（2）当 n时，由
4、 ，求得 的表达式；（3）检验 1a的值是否满 足（2）中的表达 式，若不满足则分段表示 na；（4）写出 na的完整表达式练习 1. 设函数 fx是定义在 0,上的单调函数，且对于任意正数 ,xy有 ，已知 12f，若一个各项均为正数的数列 na满足 ，其中nS是数列 na的前 项和，则数列 n中第 18 项 18（ ）A. 136 B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【解析】f（S n）=f（a n）+f （a n+1）-1=f 12an（a n+1）函数 f（x）是定义域在（0，+ ）上的单调函数，数列a n各项为正数 S n= 12an（a n+1）当 n=1 时，可得 a1=1
5、；当 n2 时，S n-1= 12an-1（a n-1+1），-可得 an= 12 an（a n+1）- an-1（a n-1+1）（a n+an-1） （ an-an-1-1）=0a n0 ，a n-an-1-1=0 即 an-an-1=1数列a n为等差数列，a 1=1，d=1；a n=1+（n-1）1=n 即 an=n 所以18故选 C练习 2.已知 是 R上的奇函数，则数列 na的通项公式为（ ） A. na B. 2na C. 1na D. 【答案】C【解析】 是奇函数， ，令 12x， ，令 12x， ， ， ，令 n， ，令 12xn， ， ， ，同理可得 ， ，故选 C练习 3
6、. 设等差数列 na的前 项和为 nS，已知 ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 f(x)=x3+2016x,则 f(x)=3x2+20160，所以 f(x)在 R 上单调递增,且 f(x)为奇函数。由条件得,f( 2013a)=1,f( 41a)=1， ,从而 + 2013=2，又等差数列 n的前 项和为 nS，所以 2016S= = =2016，因为 f( 3a)=1,f( 41a)=1,f(x)在 R 上单调递增，所以 4 201,即 203，故选：D.练习 4. 数列 12,na 是正整数 1,n 的任一排列，且同时满足以下两个条件： 1；当 时，
7、( ).记这样的数列个数为 f.（I）写出 的值；（II）证明 2018f不能被 4 整除.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）依题意，易得： ；（2）把满足条件的数列称为 n项的首项最小数列.对于 n个数的首项最小数列，由于 1a，故 或 3.分成三类情况，利用已知条件逐一进行 验证即可.试题解析：（）解： . （）证明：把满足条件的数列称为 n项的首项最小数列.对于 n个数的首项最小数列，由于 1a，故 2或 3.（1）若 2a，则 构成 1项的首项最小数列，其个数为 1fn；（2）若 ，则必有 4a，故 构成 3n项的首项最小数列，其个数为 3fn；（3）若
8、2,a则 3=或 35. 设 1k是这数列中第一个出现的偶数，则前 k项应该是 ， 1k是 或 k，即 ka与 是相邻整数.由条件，这数列在 1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为 2 在 1ka之后，故 1k后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系： ， 5n.由此递推关系和（I）可得， 各数被 4 除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它们构成 14 为周期的数列，又 ，所以 8f被 4 除的余数与 2f被 4 除的余数相同，都是 1，故 201不能被 4 整除. 2 特殊数列例 2.
9、已知数列 ,则 2017a一定是A. 奇数 B. 偶数 C. 小数 D. 无理数【答案】A【解析】因为 ,所以 ,则数列na从第 3 项开始,每一项均为其前两项的和,因为前两项均为 1,是奇数,所以从第三项开始,第 3n 项均为偶数,第 3n+1 项均为奇数,第 3n+2 项均为奇数,所以 2017a一定是奇数 .【方法规律总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律 )、比较(比较已知数列) 、归纳、转化 (转化为特殊数列)、联想( 联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征； 拆项后的特征；各项的符号特征和绝
10、对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用 处理.练习 1 已知数列 na满足 ，则 10a（ ）A. 30e B. 40 C. 103eD. 103【答案】C【解析】 ， 231nae（ ）03故选 C.练习 2. 设 nS为数列 na的前 项和， ，且 123a.记 nT 为数列1na的前 项和，若 ，则 m的最小值为（ ）A. 3 B. 2 C. 3 D. 1【答案】A【解析】由 2anan1=32n1（n2 ） ，得， 由 2anan1=32n1（n2） ，且 3a1=2a2，可得 2a2a1=6，即 2a1=6
11、，得 a1=3数列 12na是以 为首项，以 14为公比的等比数列，则 （2+2 2+23+2n） 22n21n 对nN *，T nm，m 的最小值为 13故答案为 A。【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和 0 比研究单调性，直接研究表达式的单调性。3.数列的性质例 3. 已知数列 则 7a （ ）A. 12 B. 4 C. 1或 1 D. 2【答案】B【解析】由条件可知 ，两边去倒数得 是等差数列，故
12、，故得 故答案选 B【方法总结】已知数列 要求通项，可以两边取倒数，得到 1na是等差数列，已知 1a可以求出 1a ，再根据等差数列的性质求出数列的通项公式， ，再取倒数可以求出 2n，代入 n=7,求得结果即可.练习 1. 数列 na定义为 10， 1a， ， *nN（1）若 ，求 的值；（2）当 0a时，定义数列 nb， ， ，是否存在正整数 ,ij，使得 .如果存在，求出一组 ,ij，如果不存在，说明理由.【答案】(1)2；(2) 答案见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得 ，裂项求和有 的值是 2；(2)结合所给的递推关系讨论可得存在一组 满足题意.试题解析：(1) 所以故所以（2
13、）由得 ，两边平方所以当 1kba时，由 知又 ，数列 na递增，所以 21kba类似地， 又所以存在正整数 ,ij， 存在一组练习 2. 在数 1 和 2 之间插入 n 个正数，使得这 n+2 个数构成递增等比数列，将这 n+2 个数的乘积记为 nA，令 (1)数列 na的通项公式为 na=_；(2) =_【答案】 2n; 【解析】 1设在数 和 之间插入 n个正数，使得这 2n个数构成递增等比数列 nb则 ，即 12q， 为此等比数列的公比故数列 na的通项公式为 2na2由 1可得 ，又, *nN故答案为练习 3. 已知两个等差数列 na和 b的前 n项和分别为 nA和 B，且 ， 5a
14、b， n为整数的正整数 n的取值集合为【答案】9； 2,351【解析】试题分析：由等差数列的性质和求和公式可得 ，可得 n的取值。即 13n或 4或 16n或 n 12,从而 n ,351,即集合为 2351， ， ，故 nab为整数的正整数 的取值集合为 35， ， ，4数学文化与数列的应用例 4 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 70 万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚 3 万元，以后每月增加 2 万元如果从今年一月起投资 500 万元添加回收净化设备（改造设备时间不计） ，一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本据测算，添加回收净化设备并投
15、产后的前 5 个月中的累计生产净收入 gn是生产时间 n个月的二次函数（ k是常数） ，且前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万，从第 6 个月开始，每个月的生产净收入都与第 5 个月相同同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励 100 万元（1）求前 8 个月的累计生产净收入 8g的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入【答案】 （1） ；（2）经过 9 个月投资开始见效。【解析】试题分析: （1）根据 g（3）得到 k，再计算 g（5）和 g（5） g（4） ，而 g（8）=g（5）+3g（5）g（ 4），从而得到结果；（2）
16、求出投资前后前 n 个月的总收入，列不等式解出 n 的范围即可试题解析（1）据题意 ，解得 10k， 第 5 个月的净收入为 5g万元， 所以， 万 元（2）即要想投资开始见效，必须且只需，即 当 时， 即 不成立；当 5n时， 即 ， 验算得， 9时， 所以，经过 9 个月投资开始见效。练习 1用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为 1 150 元，购买当天先付 150 元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20 个月还清，月利率为 1%，按复利计算若交付 150 元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留
17、 4 个有效数字)参考数据：(11%) 191.208 ，(11%) 201.220，(1 1%) 211.232.【答案】详见解析.【解析】试题分析: 购买当天先付款后，所欠款数可求，用 20 个月还清，月利率为 1%，按复利计息，分期付款的总款数，是等比数列的前 20 项和，求出可得买这件家电实际付款数，以及每个月应还款数.试题解析:由题易得 x(11%) 19x(11%) 18x(11%)x1 000(11%) 20，即 x 1 000(11%) 20，所以 x 55.45，即每月还款 55.45 元所以买这件家电实际付款 55.45201501 259( 元)，每月还款 55.45 元
18、练习 2.吴敬九章算法比类大全中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？ （ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C【解析】设塔顶 1a 盏灯，则 ，解得 13a 故选 C练习 3. 某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图) ，其中，记 1OA， 2， 3， 8OA的长度构成的数列为，则 na的通项公式 na_.【答案】 na【解析】根据题意：OA 1=A1A2=A2A3=A7A8=1 21n， a是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列 .练习 4. “中国剩余定理” 又称“孙子定理”1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子
19、算经中“ 物不知数”问题的解法传至欧洲187 4 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” “中国剩余定理 ”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 到 2016 这 2016 个数中，能被 3 除余 1 且被 5 整除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 na，则此数列的项数为_【答案】 35【解析】试题分析：将题目转化为 1na即是 3的倍数，也是 5的倍数，也即是 15的倍数即，当 134k， 5201k，当 35k时， 1206k，故，数列共有 项.5.新定义数列例 5. 对于给定的正
20、整数 k，如果各项均为正数的数列 na满足：对任意正整数 ()nk，总成立，那么称 是“ Qk数列”（1）若 na是各项均为正数的等比数列，判断 n是否为“ 2数列”，并说明理由；（2）若 既是“ 2Q数列”，又是“ 3Q数列”，求证： na是等比数列【答案】 （1）见解析；（2）见解析。【解析】试题分析：（1）假设a n是各项均为正数的等比数列，由等比数列的性质可得： 41naq n即可证明（2） na既是“ 2Q数列”，又是“ 3Q数列”，可得可得 对于任意 nN *（n4）都成立即可证明试题解析：（1） na是“ 2数列”，理由如下：因为 n是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为 q当
21、2时，有 41na n所以 na是“ Q数列” （2）因为 既是“ 2数列”，又是“ 3Q数列”，所以 n， ， 3， 由得， 1， ， n， 得， 3n， 因为数列 na各项均为正数，所以 3n， 所以数列 从第 3 项起成等比数列，不妨设公比为 q中，令 4得， ，所以 32a中，令 3n得， ，所以 21q所以数列 na是公比为 q的等比数列练习 1 记 项正项数列为 12,.na，其前 n 项积为 nT ，定义 为“相对叠乘积”， 如果有 2013 项的正项数列 的“相对叠乘积”为 2013，则有 2014 项的数列 的“相对叠乘积”为( )A. 2014 B. 2016 C. 304
22、2 D. 4027【答案】D【解析】由题意得 2014 项的数列 10，a 1，a 2，a 2013 的 “相对叠乘积” 为lg10（10T 1） （10T 2） （10T 3）（10T n）=lg10 2014+lg（T 1T2Tn）=2014+2013=4027故选：D【方法规律总结】：本题属阅读型试题，考查利用对数的运算法则解决问题的能力及学生的阅读理解能力，解题时要认真审题，注意准确理解“叠乘积”的概念，利用对数的运算法则可得 lg10（10T 1） （10T 2）（10T 3）（10T n）=lg10 2014+lg（T 1T2Tn）即得解.练习 2. 已知数列 具有性质 P：对任意
23、 i， ija与 ji两数至少有一个属于 A（）分别判断数集 1,34与 ,26是否具有性质 P，并说明理由（） 求证： a（）求证： 【答案】 （1）具有性质 P（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）直接根据定义进行判断：由于 34与 均不属于数集 1,34，所以 1,34不具有性质 P，而肯定时需全面检验：由于 12， ， 16， 2， 6， ， ， 2， ， 6，都属于数集 1,236，所以 ,36具有性质 P （2）取极端位置的数： na与 中至少有一个属于 A，而 na，所以 naA，即证 1a （3）从数列单调性上寻找条件：，所以 1na， 21n， ， 12na， n，
24、代入即得结论（）由于 34与 均不属于数集 ,34，所以该数集不具有性质 P，由于 12， ， 16， 2， 6， ， 1， 2， 3， 6，都属于数集 1,236，所以该数集具有性质 P（）因为 具有性质 P，所以 na与 中至少有一个属于 A，由于 ，所以 na，故 naA，从而 1naA，所以 1（）因为 ，所以 kna，故 由 A具有性质 P可知 ，又因为 ，所以 1na， 21na， ， 12na， n，从而，所以 练习 3. 用 x表示不超过 x的最大整数，例如 3， 1,2， ,32已知数列 na满足1a， ，则 【答案】 205【解析】试题分析:因 ，故 ，又 na1，则 ，所
25、以.故应填答案2015.6.找规律例 6. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的的个数是（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】D练习 1. 已知等差数列a n中， 将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是_.【答案】598【解析】等差数列a n中， ， 而第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，依此类推第 19 行有 19 个数则第 19 行的最后一个数是数列的第1+2+19=190 项，则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是该数列的第 2
26、00 项， 20a=1+1993=598故答案为：598点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式，解题的关键是先根据等差数列中的两项求出数列的通项，然后弄清数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是该数列的第几项，根据通项公式即求解.练习 2. 观察如下规律： ，该组数据的前 2025 项和为_【答案】45【解析】项数 N=1+3+5+2n-1= 2n=2025,n=45,相同数凑成一组和为 1，共 45 个 1，所以，填 45.练习 3. 如图所示的数阵中，用 ,Amn表示第 行的第 n个数，则以此规律 8,2A为_ 【答案】 12【解析】由题可令每一行的第一个数的分母为 na，则有，利用累
27、加法，可得 从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于前一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和令从第三行开始第二个数字为 3nb，则 ，将所有等式的左边和右边分别相加得 ，所以 所以 故本题应填 127.项和互化的综合问题例 7. 已知数列 na的首项为 2，前 n项的和为 nS，且 （ *nN） （1）求 2的值；（2）设 ，求数列 nb的通项公式；（3）是否存在正整数 ，使得 3na为整数，若存在求出 n，若不存在说明理由.【答案】 （1） 243a；（2） 14nb；（3） 1n【解析】试题分析：（1）令 n=1 可得 2a；（2）由 ，得 ，所以 ，所以 ，两式相减整理可得 ，即1nb
28、，故得数列 nb是等差数列；（3）结合（2） 可求得 ，则，然后根据 413n，且 41n为 12 的约数可求得 1n。（1）易得 2143a（2）由 ，得 ，所以 所以 ，由-，得 因为 10na，所以 所以 ，即 ，即 1nb，所以数列 nb是公差为 1 的等差数列 因为 ，所以数列 n的通项公式为 14nb （3）由（2）知， ，所以 ，所以 ，所以数列 41na是常数列 由 1243a，所以 则 ， 注意到 413n，且 41n为 12 的约数，所以 ，由 *nN知8.分奇偶数项的讨论问题例 8. 已知数列 na、 b，其中， 12a，数列 na满足 , ，数列 nb满足 （1）求数列
29、 na、 b的通项公式；（2）是否存在自然数 m，使得对于任意 有 恒成立？若存在,求出 的最小值；（3）若数列 nc满足 ，求数列 nc的前 项和 nT【答案】 （1） 2nb；（2）存在， 16m；（3） 【解析】 （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列a n的通项公式b 1=2，b n+1=2bn 可知b n是首项为 2，公比为 2 的等比数列，由此能求出b n的通项公式 （2） bn=2n假设存在自然数 m，满足条件，先求出，将问题转化成 824可求得 的取值范围；（3）分 n 是奇数、n 是偶数两种情况求出 Tn，然后写成分段函数的形式。 练习 2已知各项均为正数的数列 a的的前 项
30、和为 nS，对 *N，有 （）求数列 na的通项公式；（）令 ，设 nb的前 项和为 nT，求证： 1n【答案】 （I） ;（）证明过程见解析；【解析】试题分析：（）利用 整理得 1na ,进而计算可得结论；（）通过分母有理化可知 ，并项相加即得结论.试题解析：（I）当 1n时， ，得 1a或 0（舍去） 当 2n时， ， ，两式相减得，所以数列 na是以 1 为首相，1 为公差的等差数列， （）练习 3. 已知曲线 上有一点列 过点 nP在 x 轴上的射影是 nQ ,0nx（ ），且 1 x2 3 xn2 n+1n2. （nN*）（1）求数列 n的通项公式 ；（2）设四边形 的面积是 nS，求 ；（3）在（2）条件下，求证： .【答案】 （1） 21nx （2） 314nS（3）见解析【解析】试题分析：（1）当 n2 时，n 用 n-1 代，与原式作差，可解得 xn=2n1。(2) 由点在曲线上得，根据直角梯形面积公式可求。 （3）由（2）得 n31S4， ） 累加可证。（1）n=1 时， x1=1n2 时， 1 2 3 xn-1= n2（n1）2 又 1 2 3 n2n+1n2. 得： xn=2n1（n=1 仍成立）故 n=2n1 （2） ， 又 nnPQ2， 故四边形 的面积为： （3）
