1、1/1117.1 勾股定理课时 2 勾股定理的实际应用 基础训练知识点 勾股定理的实际应用1.(2017 广东深圳锦华实验学校期中)小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m,当它把绳子的下端拉开 4m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )A.7m B.7.5m C.8m D.9m2.(2017 陕西西安铁一中月考改编)如图,已知圆柱底面的周长为 4dm,圆柱的高为 2dm,在圆柱的侧面上,过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( )A.4 dm B.2 dm22C.2 dm D.4 dm553.(2018 湖南湘潭中考)九章算术是我国古代最
2、重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,ABC 中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求 AC 的长.如果设 AC=x,则可列方程为 .2/114.(2018 贵州黔南州二模)如图是聶立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4 米,AB=8 米,MAD=45,MBC=30,则警示牌的高CD 约为 米.(结果精确到 0.1 米,参考数据: 1.41, 1.73)235.(2017 河南南阳期末)中华人民共和国道路交通安全法规定:小汽车在城市街路上行驶的速度不得超过
3、 70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 正前方 30m 的 C 处,过了 2s 后,测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50m,这辆小汽车超速了吗?6.如图,有一只喜鹊在一棵 3m 高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树 24m 远的一棵大树上,大树高 14m,且巢离树顶部 1m,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为 5m/s,那么它至少需要多长时间才能赶回巢中?3/114/11参考答案1.B解析:如图,BC=4m,设旗杆 AB=xm,则 AC=(x+1)m.在 RtABC 中,AC 2=AB2+BC2,所以(x+1) 2=
4、x2+42,解得 x=7.5.故选 B.2.A解析:如图,将圆柱展开,依题意,得 AB=2dm,BC= 4=2(dm),在 RtABC 中,由12勾股定理,得 AC= dm,所以这圈金属丝的周长最小为 4 dm.22ABC 2故选 A.3.x2+32=(10-x)2解析:AC=x,AC+AB=10,AB=10-x.在 RtABC 中,AC 2+BC2=AB2,x 2+32=(10-x)2.4.2.9解析:在 RtAMD 中,MAD=45,DM=AM=4 米.在 RtBMC 中,MB=AM+AB=4+8=12(米),MBC=30,BC=2MC.由 MC2+MB2=BC2=4MC2,得 3MC2=
5、144,CM=4 米,3CD=CM-DM=4 -42.9(米),故警示牌的高 CD 约为 2.9 米.35.解析:在 RtABC 中,AC=30m,AB=50m.根据勾股定理得 BC= 225034(),ABCm所以小汽车的速度为 =20(m/s)=72(km/h).405/11因为 7270,所以这辆小汽车超速了.答:这辆小汽车超速了.6.解析:如图,过 A 作 AECD 于点 E.由题意知 AB=3m,CD=14-1=13(m),BD=24m,则 CE=13-3=10(m),AE=24m.在 RtAEC 中,AC 2=CE2+AE2=102+242,故 AC=26m,则 265=5.2.答
6、:它至少需要 5.2s 才能赶回巢中.6/1117.1 勾股定理课时 2 勾股定理的实际应用 提升训练1.(2018 安徽安庆四中课时作业)一根长 18cm 的牙刷置于底面直径为 5cm、高为12cm 的圆柱形杯子中,牙刷露在杯子外面的长度为 hcm,则 h 的取值范围是 ( )A.5h6 B.6h7C.5h6 D.5h62.(2018 湖北襄阳四中课时作业)如图是一个长、宽都是 3cm,高 BC=9cm 的长方体纸箱,BC 上有一点 P,且 PC= BC,则一只蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点23P 的最短距离是 ( )A.6 cm B.3 cm C.10cm D.12cm233.(20
7、18 福建厦门一中课时作业)如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最短的路程为 ( )A.600m B.500m C.400m D.300m4.(2018 河北衡水六中课时作业)如图,在一个高 BC=6 米、长 AC=10 米、宽为2.5 米的楼梯表面铺设地毯,若每平方米地毯 40 元,则铺设地毯至少需要花费7/11元.5.(2018 江苏南京外国语学校课时作业)我国古代有这样一道数学题:枯木一根直立地上,高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图所示,把枯木看作一个圆
8、柱体,圆柱的局为 20 尺(一丈是十尺),底面周长为 3 尺,有葛藤自点 A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点 B 处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.6.(2018 河南洛阳五中课时作业)小明听说“武黄城际列车”已经开通.便设计了如下问题:如图,以往从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B,现在可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C,再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB=80km,BC=20km,ABC=120.请你帮助小明解决以下问题:(1)求 A,C 之间的距离;(参考数据: 4.6)21(2)若客车的平均速度为 60km/h,市内公共汽车的平均速度为 40km/h,城际
9、列车的平均速度为 180km/h,为了最短时间到达武昌客运站,小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间)8/117.(2018 山西太原三十七中课时作业)有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为 6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.9/11参考答案1.C解析:根据题意,得杯子中牙刷长度的最小值等于杯子的高 12cm,最大值等于=13(cm),因为牙刷的长为 18cm,所以 h 的取值范围是 18-13h18-21512,即 5h6.故选 C.2.A解析:(1)如图 1,AD=3cm,DP=3+6=9(
10、cm),在 RtADP 中,AP= (cm);23910(2)如图 2,CP=6cm,AC=3+3=6(cm),在 RtACP 中,AP= ,因为6()cm3 ,所以蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是 6 cm.1062 2故选 A.名师点睛:求解最短路径问题,关键是将立体图形转化为平面图形.3.B解析:如图,小明去书店共有三种走法:AC书店;AB书店;ABD书店.曙光路与环城路垂直,BDE 为直角三角形,BDBE,的路程大于的路程,因此只要比较,的路程即可.在 RtABC 和 RtEDB 中,CAB=BED=90,ACB=EBD,AB=ED,RtABCRtEDB,BE=A
11、C=300m,而 BC= ,EC=500-300=200(m),的路程为 300+200=230450()m500(m),的路程为 400+300=700(m),最短路程为 500m.故选 B.10/114.1400解析:在 RtABC 中,AB= =8(米),地毯面积为22106ACB(8+6)2.5=142.5=35(米 2),铺设地毯至少需要花费 3540=1400(元).5.25解析:如图,一条直角边 AC(即枯木的高)长为 20 尺,另一条直角边 BC 长为 53=15(尺),因此葛藤的最短长度为 =25(尺).20156.解析:如图,过点 C 作 CEAB,交 AB 的延长线于点
12、E,ABC=120,CBE=60,BCE=30.又BC=20km,BE=10km,CE= (km).2013在 RtACE 中,AC 2=AE2+CE2=(80+10)2+(10 )2=8100+300=8400,AC=20 =92(km).1(2)小明应选择乘城际列车.理由如下:乘客车需时间 t1=80(),63h乘城际列车需时间 t2= 91(),40 ,1903小明应选择乘城际列车.11/11名师点睛:非直角三角形问题,可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形问题进行解决,通常以特殊角为一锐角,构造直角三角形.7.解析:记直角三角形绿地为 RtABC,ACB=90,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m,扩充部分为 RtACD,扩充成等腰三角形 ABD 应分以下三种情况:如图 1,当 AB=AD=10m 时,易得 CD=CB=6m,所以ABD 的周长为 32m.如图 2,当 AB=AD=10m 时,易得 CD=4m,由勾股定理得 AD= 245,ACDm所以ABD 的周长为(20+4 )m.如图 3,当 AB 为等腰三角形的底时,设 AD=BD=xm,则 CD=(x-6)m,由勾股定理得(x-6) 2+82=x2,解得 x= ,53所以ABD 的周长为 m.803综上,扩充后等腰三角形绿地的周长为 32m 或（20+4 )m 或 m.5803
